1、2021 年内蒙古呼伦贝尔市莫旗中考数学二模试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确。共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分） 125 的平方根是（ ） A5 B5 C5 D 2下列计算正确的是（ ） Aa2+a22a4 Ba2a3a6 C （a2）2a4 D （a+1）2a2+1 3如图所示的立方体，如果把它展开的图形是（ ） A B C D 4下列说法中正确的个数是（ ） 不可能事件发生的概率为 0； 一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大； 在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值； 收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率
2、 A1 B2 C3 D4 5关于 x 的方程（m2）x22x+10 有实数解，那么 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm3 Cm3 Dm3 且 m2 6在 2016 年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校 5 位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154， 158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ） A平均数为 160 B中位数为 158 C众数为 158 D方差为 20.3 7如果将一副三角板按如图方式叠放，那么1 等于（ ） A120 B105 C60 D45 8若 3x5，3y4，9z2，则 32x+y 4z 的值为（ ） A B10 C20 D25 9 将抛物线yx24
3、x+6向上平移1个单位长度， 再向左平移3个单位长度后， 得到的抛物线解析式是 （ ） Ay（x+1）2+3 By（x+1）2+1 Cy（x5）2+3 Dy（x5）2+1 10国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018 年至 2020 年我国快递业务收入由 5000 亿元 增加到 7500 亿元设我国 2018 年至 2020 年快递业务收入的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A5000（1+2x）7500 B5000（1+x）7500 C5000（1+x）27500 D5000+5000（1+x）+5000（1+x）27500 11如图，四边形 ABDE 是O 的内接四边形
4、，CE 是O 的直径，连接 BC，DC若BDC20，则 A 的度数为（ ） A90 B100 C110 D120 12如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片，使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处， 折痕为 AE，且 EF3，则 AB 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 二、填空题（本题 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分） 13分解因式：4m216n2 145 月 15 日，我国首颗火星着陆巡视器天问一号成功着陆于火星，已知地球与火星最近距离大约是 5500 万千米，用科学记数法表示为 千米 15一个 n 边形的内角和比它的外角和大 360，则 n
5、等于 16如图，长方体的长为 4cm，宽为 2cm，高为 5cm，若用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达 点 B，则所用细线的长度最短为 cm 17如图，直线 lx 轴于点 P，且与反比例函数 y1（x0）及 y2（x0）的图象分别交于点 A， B，连接 OA，OB，已知OAB 的面积为 3，则 k1k2 三解答题（共三解答题（共 69 分分） 18计算： （） 1 +2cos60（+2021）0 19 先化简，再求值：，其中 x 是不等式的最小整数解 20 某一天，小明和小亮想利用所学过的测量知识来测量一棵古树的高度 AB他们带着测量工具来到这棵古 树前，由于有围栏保护，他们
6、无法到达古树的底部 B，如图所示，于是他们先在古树周围的空地上选择 一点 D，通过测倾器测的角度为 45，再在 BD 的延长线上确定一点 F，使 DF5 米，并在 F 处通过测 倾器测的角度为 30，测倾器的高度 CDEF1 米已知点 F、D、B 在同一水平直线上，且 EF、CD、 AB 均垂直于 FB，则这棵古树的高度 AB 为多少米？（结果保留根号） 21 已知：如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 为 BC 边的中点 （1）过点 D 作直线 DEBC，交线段 AB 于点 E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作 法） ； （2）在（1）的条件下，连接 CE，求证：AEC
7、E 22 在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有 3 个大小、材质完全相同的小球其中甲袋中的小球上分别标有数 字 0、1、2；乙袋中的小球上分别标有数字1、2、0现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数 字为 x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为 y，以此确定点 M 的坐标（x，y） （1）请你用画树状图或列表的方法，写出点 M 所有可能的坐标； （2）求点 M（x，y）在函数 yx1 的图象上的概率 23 中招体育考试在即，为了解我校九年级学生的体育水平，随机抽取了九年级若干名学生的模拟测试成绩 进行统计分析，并根据成绩分为四个等级（A、B、C、D） ，绘制了如下统计图表（不完整）
8、： 成绩等级 A B C D 人数 60 10 请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生有 名，成绩为 B 类的学生人数为 名，这组数据的中位数所在等级为 ； （2）请补全条形统计图； （3）根据调查结果，请估计我校九年级学生（约 900 名）体育测试成绩为 D 类的学生人数 24 如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC、AC 交于点 D、E，过点 D 作 DFAC， 垂足为点 F （1）求证：直线 DF 是O 的切线； （2）求证：BC24CFAB； （3）若O 的半径为 2，CDF22.5，求图中阴影部分的面积 25 某水果经销商到水果种
9、植基地采购葡萄，经销商一次性采购葡萄的采购单价 y（元/千克）与采购量 x（千 克）之间的函数关系图象如图中折线 ABBCCD 所示（不包括端点 A） ， （1）当 500 x1000 时，写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若经销商一次性付了 16800 元货款，求经销商的采购单价是多少？ （3）葡萄的种植成本为 8 元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过 1000 千克，当采购量是多 少时，水果种植基地获利最大，最大利润是多少元？ 26 如图，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，点 P 为 OA 边上任意一点（与点 O，A 不重合） ，连接 CP， 过点 P 作 PM
10、CP 交 AB 于点 D，且 PMCP，过点 M 作 MNOA，交 BO 于点 N，连接 ND，BM，设 OPt （1）求点 M 的坐标（用含 t 的代数式表示） （2） 试判断线段 MN 的长度是否随点 P 的位置的变化而改变？请说明理由 当 t 为何值时， 四边形 BNDM 的面积最小 （3）在（2）的结论下，若有一条以直线 AB 为对称轴，过 C，M 两点的抛物线，请思考，是否存在直 线 AB 上一动点 E，抛物线上一动点 F，使得以点 P，M，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出满足要求的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一
11、选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 125 的平方根是（ ） A5 B5 C5 D 【分析】直接利用平方根的定义得出答案 【解答】解：25 的平方根是5 故选：A 2下列计算正确的是（ ） Aa2+a22a4 Ba2a3a6 C （a2）2a4 D （a+1）2a2+1 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方分别求出每个式子的值，再 判断即可 【解答】解：A、结果是 2a2，故本选项错误； B、结果是 a5，故本选项错误； C、结果是 a4，故本选项正确； D、结果是 a2+2a+1，故本选项错误； 故选：C 3如图所示的立方体，如果把它展开的图形是（ ）
12、A B C D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题同时注意图示中的阴影的位置关系 【解答】解：选项 A、C 中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符； 选项 B 中折叠后三角形和圆的位置不符，所以正确的是 D 故选：D 4下列说法中正确的个数是（ ） 不可能事件发生的概率为 0； 一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大； 在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值； 收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率 A1 B2 C3 D4 【分析】利用概率的意义、利用频率估计概率的方法对各选项进行判断后即可确定正确的选
13、项 【解答】解：不可能事件发生的概率为 0，正确； 一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大，正确； 在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，正确； 收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频数，错误， 故选：C 5关于 x 的方程（m2）x22x+10 有实数解，那么 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm3 Cm3 Dm3 且 m2 【分析】由于 x 的方程（m2）x22x+10 有实数解，则根据其判别式即可得到关于 m 的不等式，解 不等式即可求出 m 的取值范围但此题要分 m2 和 m2 两种情况 【解答】解： （1）当 m2 时，原方程变为2
14、x+10，此方程一定有解； （2）当 m2 时，原方程是一元二次方程， 有实数解， 44（m2）0， m3 所以 m 的取值范围是 m3 故选：B 6在 2016 年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校 5 位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154， 158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ） A平均数为 160 B中位数为 158 C众数为 158 D方差为 20.3 【分析】分别利用平均数、中位数、众数及方差的定义求解后即可判断正误 【解答】解：A、平均数为（158+160+154+158+170）5160，正确，故本选项不符合题意； B、按照从小到大的顺序排列为 15
15、4，158，158，160，170，位于中间位置的数为 158，故中位数为 158， 正确，故本选项不符合题意； C、数据 158 出现了 2 次，次数最多，故众数为 158，正确，故本选项不符合题意； D、这组数据的方差是 S2（154160）2+2（158160）2+（160160）2+（170160）228.8， 错误，故本选项符合题意 故选：D 7如果将一副三角板按如图方式叠放，那么1 等于（ ） A120 B105 C60 D45 【分析】先求出2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 【解答】解：如图，2904545， 由三角形的外角性质得，12+60
16、， 45+60， 105 故选：B 8若 3x5，3y4，9z2，则 32x+y 4z 的值为（ ） A B10 C20 D25 【分析】首先把底数统一化成 3，逆用同底数幂的乘法，幂的乘方法则，即可得到答案 【解答】解：9z2， （32）z2， 32z2， 3x5，3y4， 原式32x3y34z （3x）23y（32z）2 52422 25 故选：D 9 将抛物线yx24x+6向上平移1个单位长度， 再向左平移3个单位长度后， 得到的抛物线解析式是 （ ） Ay（x+1）2+3 By（x+1）2+1 Cy（x5）2+3 Dy（x5）2+1 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则解答 【解答
17、】解：将抛物线 yx24x+6（x2）2+2 向上平移 1 个单位长度，再向左平移 3 个单位长度后 所得新抛物线的表达式为 y（x2+3）2+2+1，即 y（x+1）2+3 故选：A 10国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018 年至 2020 年我国快递业务收入由 5000 亿元 增加到 7500 亿元设我国 2018 年至 2020 年快递业务收入的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A5000（1+2x）7500 B5000（1+x）7500 C5000（1+x）27500 D5000+5000（1+x）+5000（1+x）27500 【分析】根据题意可得等量关系：2
18、018 年的快递业务量（1+增长率）22020 年的快递业务量，根据 等量关系列出方程即可 【解答】解：设我国 2018 年至 2020 年快递业务收入的年平均增长率为 x， 由题意得：5000（1+x）27500， 故选：C 11如图，四边形 ABDE 是O 的内接四边形，CE 是O 的直径，连接 BC，DC若BDC20，则 A 的度数为（ ） A90 B100 C110 D120 【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论 【解答】解：CE 是O 的直径， CDE90， BDC20， BDECDEBDC70， 四边形 ABDE 是O 的内接四边形， A180BDE110， 故选
19、：C 12如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片，使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处， 折痕为 AE，且 EF3，则 AB 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】先根据矩形的性质求出 BC 的长，再由翻折变换的性质得出CEF 是直角三角形，利用勾股定 理即可求出 CF 的长，再在ABC 中利用勾股定理即可求出 AB 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，AD8， BC8， AEF 是AEB 翻折而成， BEEF3，ABAF，CEF 是直角三角形， CE835， 在 RtCEF 中，CF4， 设 ABx， 在 RtABC 中，AC2AB2+BC
20、2，即（x+4）2x2+82，解得 x6， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 13分解因式：4m216n2 4（m+2n） （m2n） 【分析】原式提取 4 后，利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式4（m+2n） （m2n） 故答案为：4（m+2n） （m2n） 145 月 15 日，我国首颗火星着陆巡视器天问一号成功着陆于火星，已知地球与火星最近距离大约是 5500 万千米，用科学记数法表示为 5.5107 千米 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的 整数位数少 1，据此判断即可 【解答】解：550
21、0 万千米55000000 千米5.5107千米 故答案为：5.5107 15一个 n 边形的内角和比它的外角和大 360，则 n 等于 6 【分析】根据 n 边形的内角和为（n2） 180，外角和等于 360列出方程求解即可 【解答】解：根据题意得： （n2） 180360360， 解得 n6 故答案为：6 16如图，长方体的长为 4cm，宽为 2cm，高为 5cm，若用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达 点 B，则所用细线的长度最短为 13 cm 【分析】根据两点之间线段最短，把立体图形展开为平面图形，利用勾股定理即可解决问题； 【解答】解：将长方体的四个侧面展开如图，连接
22、 A、B， 根据两点之间线段最短， AB13cm 故答案为：13 17如图，直线 lx 轴于点 P，且与反比例函数 y1（x0）及 y2（x0）的图象分别交于点 A， B，连接 OA，OB，已知OAB 的面积为 3，则 k1k2 6 【分析】由反比例函数的图象过第一象限可得出 k10，k20，再由反比例函数系数 k 的几何意义即可 得出 SOAPk1，SOBPk2，根据OAB 的面积为 2 结合三角形之间的关系即可得出结论 【解答】解：反比例函数 y1（x0）及 y2（x0）的图象均在第一象限内， k10，k20 APx 轴， SOAPk1，SOBPk2 SOABSOAPSOBP（k1k2）3
23、， 解得：k1k26 故答案为：6 三解答题三解答题 18计算： （） 1 +2cos60（+2021）0 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根性质，以及特殊角的三角函数值计算即可 求出值 【解答】解：原式32+21 1+11 1 19 先化简，再求值：，其中 x 是不等式的最小整数解 【考点】分式的化简求值；一元一次不等式的整数解 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式的取值范围，找出符合条件的 x 的 最小整数解代入进行计算即可 【解答】解：原式 解不等式x1 得：x2 x 是不等式x1 的最小整数解 x1， 原式2 20 某
24、一天，小明和小亮想利用所学过的测量知识来测量一棵古树的高度 AB他们带着测量工具来到这棵古 树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部 B，如图所示，于是他们先在古树周围的空地上选择 一点 D，通过测倾器测的角度为 45，再在 BD 的延长线上确定一点 F，使 DF5 米，并在 F 处通过测 倾器测的角度为 30，测倾器的高度 CDEF1 米已知点 F、D、B 在同一水平直线上，且 EF、CD、 AB 均垂直于 FB，则这棵古树的高度 AB 为多少米？（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识 【答案】这棵古树的高度 AB 为米 【分析】直接利用锐角
25、三角函数关系得出 AN 的长，进而得出答案 【解答】解：连接 EC 并延长交 AB 于点 N， 由题意可得：ENAB，四边形 EFDC 是矩形， 故 FDEC5 米，EFDCBN1 米， 则设 ANx 米，故 CNx 米， 可得：tan30， 解得：x， 则 AB+1（米） ， 答：这棵古树的高度 AB 为米 21 已知：如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 为 BC 边的中点 （1）过点 D 作直线 DEBC，交线段 AB 于点 E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作 法） ； （2）在（1）的条件下，连接 CE，求证：AECE 【考点】作图基本作图 【专题】作图题；推理
26、能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据角平分线的作图方法即可得到结论； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论 【解答】解： （1）如图所示，直线 DE 即为所求； （2）根据尺规作图可知 DE 垂直平分 BC， ECEB，EDB90， ACBEDB90， ACED， 点 D 为 BC 边的中点， DE 是ABC 的中位线， AEBE， ECEB， AECE 22 在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有 3 个大小、材质完全相同的小球其中甲袋中的小球上分别标有数 字 0、1、2；乙袋中的小球上分别标有数字1、2、0现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数 字为
27、 x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为 y，以此确定点 M 的坐标（x，y） （1）请你用画树状图或列表的方法，写出点 M 所有可能的坐标； （2）求点 M（x，y）在函数 yx1 的图象上的概率 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法 【专题】常规题型；概率及其应用 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由点 M（x，y）在函数 yx1 的图象上的有： （0，1） 、 （1，0） ，直接利用概率公式求解即可求 得答案 【解答】解： （1）画树状图得： 则点 M 所有可能的坐标为： （0，1） ， （
28、0，2） ， （0，0） ， （1，1） ， （1，2） ， （1，0） ， （2，1） ， （2，2） ， （2，0） ； （2）点 M（x，y）在函数 yx1 的图象上的有： （0，1） 、 （1，0） ， 点 M（x，y）在函数 yx1 的图象上的概率为： 23 中招体育考试在即，为了解我校九年级学生的体育水平，随机抽取了九年级若干名学生的模拟测试成绩 进行统计分析，并根据成绩分为四个等级（A、B、C、D） ，绘制了如下统计图表（不完整） ： 成绩等级 A B C D 人数 60 10 请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生有 名，成绩为 B 类的学生人数为
29、名，这组数据的中位数所在等级为 ； （2）请补全条形统计图； （3）根据调查结果，请估计我校九年级学生（约 900 名）体育测试成绩为 D 类的学生人数 【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据频数除以频率，求得抽查的学生数，根据频率乘总数，求得成绩为 B 类的学生人数， 根据等级为 A、B 的人数，判断这组数据的中位数所在等级； （2）根据 B 类和 C 类的学生数，进行画图即可； （3）根据九年级学生总数乘以 5%，求得体育测试成绩为 D 类的学生人数 【解答】解： （1）105%200，20050%100， 60100160，
30、这组数据的中位数所在等级为 B； （2）补图：B 类 100；C 类 20015%30； （3）D 类：9005%45（人） 24 如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC、AC 交于点 D、E，过点 D 作 DFAC， 垂足为点 F （1）求证：直线 DF 是O 的切线； （2）求证：BC24CFAB； （3）若O 的半径为 2，CDF22.5，求图中阴影部分的面积 【考点】圆的综合题 【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；应用意识 【答案】 （1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程； （3）2 【分析】 （1）连接 OD，由 DFAC，证明 ODAC 即可
31、； （2）连接 AD，由ADCDFC，可得，即 CD2CFAC，再证明 CDBC 即可； （3）连接 AD，OE，根据已知求出AOE90，从而可得 S扇形AOE和 SAOE，即可得到答案 【解答】解： （1）连接 OD，如图： ABAC， BC， OBOD， BODB， CODB， ODAC， DFAC， ODAC， 直线 DF 是O 的切线； （2）连接 AD，如图： AB 为O 直径， ADBADC90， DFAC， DAC90ADFFDC， 而CC， ADCDFC， ，即 CD2CFAC， ABAC，ADBADC90， CDBC， （BC）2CFAB， BC24CFAB； （3）连接 A
32、D，OE，如图： DFAC，CDF22.5， CB67.5， BAC45， OAOE， AOE90， O 的半径为 2， S扇形AOE，SAOE2， S阴影S扇形AOESAOE2 25 某水果经销商到水果种植基地采购葡萄，经销商一次性采购葡萄的采购单价 y（元/千克）与采购量 x（千 克）之间的函数关系图象如图中折线 ABBCCD 所示（不包括端点 A） ， （1）当 500 x1000 时，写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若经销商一次性付了 16800 元货款，求经销商的采购单价是多少？ （3）葡萄的种植成本为 8 元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过 1000 千克，
33、当采购量是多 少时，水果种植基地获利最大，最大利润是多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用 【答案】 （1）y 与 x 之间的函数关系式为：y0.02x+40； （2）经销商的采购单价是 28 元； （3）一次性采购量为 800 千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为 12800 元 【分析】 （1）根据函数图象中的点 B 和点 C 可以求得当 500 x1000 时，y 与 x 之间的函数关系式； （2）根据题意可以求得经销商一次性付了 16800 元货款，经销商的采购单价； （3）根据题意可以分为两种讨论，然后进行对比即可解答本题 【解答】解： （1）设当 500 x1000
34、时，y 与 x 之间的函数关系式为：yax+b， BC 段过点（500，30）和点（1000，20） ， ， 解得， 即 y 与 x 之间的函数关系式为：y0.02x+40； （2）当 x500 时，y30，采购总费用为 15000 元； 当 x1000 时，y20 采购总费用为 20000 元； 150001680020000， 该经销商一次性采购量 500 x1000， 该经销商采购单价为：0.02x+40， x（0.02x+40）16800， 解得 x11400（不符合题意，舍去） ，x2600， 0.02x+400.02600+4028， 经销商的采购单价是 28 元； （3）当采购量
35、是 x 千克时，蔬菜种植基地获利 W 元， 当 0 x500 时，W（308）x22x，则当 x500 时，W 有最大值 11000 元， 当 500 x1000 时，W（y8）x（0.02x+32）x0.02x2+32x0.02（x800）2+12800， 当 x800 时，W 有最大值为 12800 元， 综上所述，一次性采购量为 800 千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为 12800 元 26 如图，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，点 P 为 OA 边上任意一点（与点 O，A 不重合） ，连接 CP， 过点 P 作 PMCP 交 AB 于点 D，且 PMCP，过点 M 作 M
36、NOA，交 BO 于点 N，连接 ND，BM，设 OPt （1）求点 M 的坐标（用含 t 的代数式表示） （2） 试判断线段 MN 的长度是否随点 P 的位置的变化而改变？请说明理由 当 t 为何值时， 四边形 BNDM 的面积最小 （3）在（2）的结论下，若有一条以直线 AB 为对称轴，过 C，M 两点的抛物线，请思考，是否存在直 线 AB 上一动点 E，抛物线上一动点 F，使得以点 P，M，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出满足要求的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）如图 1 中，过 M 作 MGO
37、A 于 G，只要证明 RtOCPRtGPM，推出 MGOPt，PG OC2，由此即可解决问题 （2）根据两点间距离公式，求出 MN 的长即可解决问题 （3）画出图象，由图象可知当点 F 的横坐标为 0 或 4 或 2，由此即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，过 M 作 MGOA 于 G， CPPM， CPO+MPG90， 又COOA， CPO+OCP90， MPGOCP， 在OCP 和GPM 中， ， OCPGPM， MGOPt，PGOC2 M（2+t，t） （2）四边形 OABC 是边长为 2 的正方形， B（2，2） ， 直线 OB 的解析式为 yx， 又MNAO， N（t，t） ， MN2， MN 的长度不随 P 的位置的变化而改变， ABMG PADPMG， ， ， AD， BD， BAMN， sBDMN2（t1）2+， 0， 当 t1 时，四边形 BNDM 的面积最小 （3）如图 2 中， 由图象可知当点 F 的横坐标为 0 或 4 或 2， 点 F 的坐标为（0，2）或（4，2）或（2，）
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