1、2020 年山东省青岛市市南区中考数学二模试卷年山东省青岛市市南区中考数学二模试卷 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分） 1.的算术平方根是（ ） A3 B3 C3 D6 2 如图是一个水管的三叉接头，它的左视图是（ ） A B C D 3 国产手机芯片麒麟 980 是全球首个 7 纳米制程芯片，已知 1 纳米0.000000001 米，将 7 纳米用科学记数 法表示为（ ）米 A7109 B710 9 C7108 D7109 4 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图，在平面上取定一点 O 称为极点；从点 O 出发引一条射线 Ox 称为极轴；线段
2、 OP 的长度称为极径点 P 的极坐标就可以用线段 OP 的长度以及从 Ox 转动到 OP 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即 P（6，50）或 P（6，310）或 P（6，410）等，则点 P 关于点 O 成中心对称的点 Q 的极坐标表示不正确的是（ ） AQ（6，490） BQ（6，590） CQ（6，110） DQ（6，230） 5 已知O 的直径为 6cm，M 是直线 l 上一点，且点 M 与圆心 O 之间的距离为 3cm，则直线 l 与O 的位置 关系是（ ） A相切 B相切或相交 C相交 D相离或相切 6 已知抛物线 y1x2+1 与双曲线 y2在同一直角坐标系中的图象
3、如图所示，则当 y1y2时，x 的取值范围 是（ ） Ax1 Bx0 Cx0 或 x1 Dx0 或 0 x1 7 如图，将ABC 绕点 P 顺时针旋转 90得到ABC，则点 P 的坐标是（ ） A （1，1） B （1，2） C （1，3） D （1，4） 8 如图，在矩形 ABCD 中，AD12，AEBD，垂足为 E，ED3BE，点 P、Q 分别在 BD，AD 上，则 AP+PQ 的最小值为（ ） A4 B2 C6 D4 二、填空题（本题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分） 9 分解因式：4a3+4a2a 10 某市某楼盘准备以每平方米 7200 元的均价对外销售，由于国务院有
4、关房地产的新政策出台后，购房者持 币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米 5832 元的均价开盘 销售则平均每次下调的百分率为 11 如图，反比例函数 y（k0）的图象经过 A，B 两点，过点 A 作 ACx 轴，垂足为 C，过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D，连接 AO，连接 BO 交 AC 于点 E，若 OCCD，四边形 BDCE 的面积为 3，则 k 的值 为 12 如图，ABC 中，以 A 为圆心且半径为 2 的圆恰好与 BC 相切于点 D，分别交 AB、AC 于点 E、F，点 P 是A 上一点，若DPF30，则图中阴影部分的面积为 13 如图，
5、在等腰ABC 中，ABAC，BAC44BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则CEF 的度数是 度 14 如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是 3cm，3cm，5cm，在这个长方体每个面的中心位置，从前到 后， 从左到右， 从上到下分别打一个边长为1cm的正方形通孔， 那么打孔后的长方体的表面积为 cm2 三、作图题（本题满分 4 分） 15 已知：ABC 求作：O，其中 O 为 AC 的中点，且O 与直线 BC 相切 四、解答题（本题满分 74 分，共有 9 道小题） 16（1）化简： （1+）； （2）解不等式组，并写出它的整数解 17 受
6、疫情影响，商场的客流量大幅减少某商场为了吸引顾客，决定举办抽奖活动，规则如下：有红色、 蓝色两个不透明的盒子，每个盒子里都放置三张标有数字 2、3、4 的纸牌（除数字外其它都相同） 参加 抽奖的顾客从两个盒子里各摸出一张纸牌，将红色盒子摸出的数字做十位，将蓝色盒子摸出的数字做个 位，组成一个两位数如果得到的两位数是奇数，则视为一等奖，如果得到的两位数是偶数，则视为二 等奖，都可获得相应金额的购物券 （1） 请利用列表或画树状图的方法列出可能出现的所有结果，并求出参加一次抽奖活动能获得一等奖的 概率； （2）如果获得一等奖可得到 30 元的购物券，获得二等奖可得到 15 元的购物券，那么顾客参加
7、一次抽奖 活动所获得购物券金额的平均数为 元 18“2020 青岛全球创投风投网络大会”5 月在青岛成功举办，本市一研究机构为了了解 1060 岁年龄段 市民对本次大会的关注程度，随机选取了一些年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制 成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 年龄段 频数（人数） 第 1 组 10 x20 10 第 2 组 20 x30 a 第 3 组 30 x40 70 第 4 组 40 x50 30 第 5 组 50 x60 40 （1）请直接写出 a ，m ，第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度； （2）请补全上面的频
8、数分布直方图； （3）若本市现有 1060 岁的市民 550 万人，则 4050 岁年龄段关注本次大会的人数约有多少？ 19 在 2020 年 5 月 27 日，我国派遣了一支登山队成功地登上了珠峰之巅，再次以中国人的身份，站上了珠 峰顶部已知一个人登山时的动作可以简化成下图所示，他的大腿长 AB、AC 为 45cm，上坡时大腿之间 的夹角BAC65，某段山坡 DF 的坡度为 i问这名登山队员沿着这段山坡，大约走多少步才 能将自己所处位置的海拔提高 50 米？ （结果保留整数，sin65，tan65，cos65） 20 为了应对“新冠”防疫对口罩的需求，某药店的口罩专柜，对 A，B 两种品牌的
9、口罩分两次采购试销后， 供不应求，计划继续采购进行销售已知这两种口罩过去两次的进货情况如下表： 第一次 第二次 A 品牌口罩数/个 8000 10000 B 品牌口罩数/个 6000 8000 累计采购款/元 29200 37600 （1）问 A，B 两种品牌口罩的进货单价各是多少元？ （2） 由于 A 品牌口罩的销量好于 B 品牌， 药店决定采购 A 品牌的口罩数比 B 品牌口罩数的多 1000 个， 在采购总价不超过 43600 元的情况下，最多能购进多少个 A 品牌口罩？ 21 如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 的对应点 B，连接 BC，交 AD 于点 E，过点 B作
10、 B FCD，交 AC 于点 F （1）求证：ABECDE； （2）若ACB30，则四边形 BFCD 是什么特殊四边形？请加以证明 22 发石车是古代远程攻击的武器，现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运行，距离发射点 20 米时 达到最大高度 10 米，如图所示，现将发石车至于与山坡底部 O 处，山坡上有一点 A，距离 O 的水平距 离为 30 米，垂直高度 3 米，AB 是高度为 3 米的防御墙 （1）求石块运行的函数关系式； （2）计算说明石块能否飞越防御墙 AB； （3）石块飞行时与坡面 OA 之间的最大距离是多少？ （4）如果发石车想恰好击中点 B，那么发石车应向后平移多远？ 2
11、3 提出问题：有 12 个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是 4、3、5，现要用这 12 个纸盒搭成一 个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 分析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究 探究一：我们以两个长、宽、高都分别是 4、3、5 的长方体为例进行分析我们发现，无论怎样放置这 两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化， 经过操作，发现共有 3 种不同的摆放方式，如图所示 （1）请计算图 1、图 2、图 3 中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（cm） 宽（cm） 高（
12、cm） 表面积（cm2） 图 1 5 4 6 148 图 2 10 4 3 164 图 3 5 8 3 根据上表可知，表面积最小的是 所示的长方体 （填“图 1” 、 “图 2” 、 “图 3” ） 探究二：有 4 个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是 5、4、3，现要用这 4 个纸盒搭成一个大 长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不 方便，可以按照下列思路考虑： 在图 1 的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到 586 的长方体，这个长方体的表面积 为 ； 在图 2 的基础上继续摆，要
13、使表面积小，就要重叠大面，得到 1046 的长方体，这个长方体的表面积 为 ； 在图 3 的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到 586 的长方体，这个长方体的表面积 为 ； 综上所述，有 4 个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是 5、4、3，要用这 4 个纸盒搭成一个大 长方体的表面积最小为 探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几 何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考： 将 4 分解质因数，得到 114，或 122 两种情况，通过与小长方体的长宽高 543 进行组合： 在 L515，K428，H326 时，达成的 L
14、KH 的大长方体最接近正方体，此时表面积 最小，表面积为 2（LK+KH+LH） （直接写出结果） 类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题： 有 12 个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是 4、3、5，现要用这 12 个纸盒搭成一个大长方体， 怎样搭可使长方体的表面积最小？ 拓展延伸：将 168 个边长为 1cm 的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表 面积是 cm2 24 已知：RtABC 与 RtDEF 中，ACBEDF90，DEF30，EF16cm，AC16cm，BC 12cm现将 RtABC 和 RtDEF 按图 1 的方式摆放，使点 C
15、与点 E 重合，点 B、C（E） 、F 在同一条 直线上，并按如下方式运动 运动一：如图 2，ABC 从图 1 的位置出发，以 1cm/s 的速度沿 EF 方向向右匀速运动，DE 与 AC 相交 于点 Q，当点 Q 与点 D 重合时停止运动； 运动二：在运动一结束后，如图 3，将 RtABC 绕着点 C 顺时针旋转，CA 与 DF 交于点 Q，CB 与 DE 交于点 P，此时点 Q 在 DF 上匀速运动，速度为 1cm/s，当 QCDF 时停止旋转； 运动三：在运动二结束后，如图 4，RtABC 以 1cm/s 的速度沿 EF 向终点 F 匀速运动，直到点 C 与点 F 重合时为止 从运动一开
16、始计时（中间停止不计时） ，设运动时间为 t（s） 解答下列问题： （1）在运动一过程中，是否存在某一时刻，点 Q 正好在F 的平分线上，若存在，求出此时 t 的值；若 不存在，请说明理由 （2） 在运动二过程中， 是否存在某一时刻， 点 Q 正好在线段 AB 的中垂线上， 若存在， 求出此时 t 的值； 若不存在，请说明理由 （3）在运动三过程中，设 RtABC 与 RtDEF 的重叠部分的面积为 S（cm2） ，求 S 与 t 之间的函数关 系式，并直接写出自变量 t 的取值范围； （4）在 RtABC 从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s 2020 年山东省青岛市市南区中考数学
17、二模试卷 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分） 1.的算术平方根是（ ） A3 B3 C3 D6 【考点】算术平方根 【专题】二次根式；运算能力 【答案】A 【分析】先求出9，再根据算术平方根的定义求出即可 【解答】解：9， 的算术平方根是3， 故选：A 2 如图是一个水管的三叉接头，它的左视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【答案】A 【分析】找到从左面看所得到的图形即可 【解答】解：它的左视图是下面一个圆，上面是一个矩形的三边与下面圆形的上半圆组成的图形 故选：A 3 国产手机芯片麒麟 980 是全球首个 7 纳米制程芯片，已知 1 纳米
18、0.000000001 米，将 7 纳米用科学记数 法表示为（ ）米 A7109 B710 9 C7108 D7109 【考点】科学记数法表示较小的数 【专题】实数；数感 【答案】B 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：7 纳米70.000000001 米710 9 米 故选：B 4 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图，在平面上取定一点 O 称为极点；从点 O 出发引一条射线 Ox 称为极轴；线段 OP 的长
19、度称为极径点 P 的极坐标就可以用线段 OP 的长度以及从 Ox 转动到 OP 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即 P（6，50）或 P（6，310）或 P（6，410）等，则点 P 关于点 O 成中心对称的点 Q 的极坐标表示不正确的是（ ） AQ（6，490） BQ（6，590） CQ（6，110） DQ（6，230） 【考点】中心对称；坐标与图形变化旋转 【专题】平移、旋转与对称；推理能力 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质解答即可 【解答】解：P（6，50）或 P（6，310）或 P（6，410） ， 由点 P 关于点 O 成中心对称的点 Q 可得：点 Q 的极坐标为（
20、6，230） ， （6，490） ， （6，590） ， 故选：C 5 已知O 的直径为 6cm，M 是直线 l 上一点，且点 M 与圆心 O 之间的距离为 3cm，则直线 l 与O 的位置 关系是（ ） A相切 B相切或相交 C相交 D相离或相切 【考点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力 【答案】B 【分析】欲求直线与圆的位置关系，关键是明确直线上一点到圆心的距离恰好等于圆的半径，也就是说 直线与圆至少有一个交点 【解答】解：圆 O 的半径 r3cm， 且直线上存在一点到圆心的距离 d3cm， 直线与圆至少有一个交点 当圆与直线有且只有一个交点时，交
21、点到圆心的距离为 3cm， 此时直线与圆相切 当直线与圆有两个交点时，交点到圆心的距离为 3cm 此时直线与圆相交 直线与圆的位置关系是相交或相切 故选：B 6 已知抛物线 y1x2+1 与双曲线 y2在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当 y1y2时，x 的取值范围 是（ ） Ax1 Bx0 Cx0 或 x1 Dx0 或 0 x1 【考点】二次函数与不等式（组） 【专题】数形结合 【答案】C 【分析】根据函数图象，写出抛物线在双曲线上方部分的 x 的取值范围即可 【解答】解：由图可知，x0 或 x1 时抛物线在双曲线上方， 所以，当 y1y2时，x 的取值范围是 x0 或 x1 故选：C 7
22、 如图，将ABC 绕点 P 顺时针旋转 90得到ABC，则点 P 的坐标是（ ） A （1，1） B （1，2） C （1，3） D （1，4） 【考点】坐标与图形变化旋转 【专题】网格型 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质得到点 A 的对应点为点 A，点 B 的对应点为点 B，再根据旋转的性质得 到旋转中心在线段 AA的垂直平分线，也在线段 BB的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中 心 【解答】解：ABC 绕 P 点顺时针旋转 90得到ABC， 点 A 的对应点为点 A，点 C 的对应点为点 C， 作线段 AA和 CC的垂直平分线，它们的交点为 P（1，2） ， 旋转中心的坐标为（1
23、，2） 故选：B 8 如图，在矩形 ABCD 中，AD12，AEBD，垂足为 E，ED3BE，点 P、Q 分别在 BD，AD 上，则 AP+PQ 的最小值为（ ） A4 B2 C6 D4 【考点】矩形的性质；轴对称最短路线问题 【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识 【答案】C 【分析】在 RtABE 中，利用三角形相似可求得 AE、DE 的长，设 A 点关于 BD 的对称点 A，连接 A D，可证明ADA为等边三角形，当 PQAD 时，则 PQ 最小，所以当 AQAD 时 AP+PQ 最小，从 而可求得 AP+PQ 的最小值等于 DE 的长，可得出答案 【解答】解：
24、设 BEx，则 DE3x， 四边形 ABCD 为矩形，且 AEBD， ABEDAE， AE2BEDE，即 AE23x2， AEx， 在 RtADE 中，由勾股定理可得 AD2AE2+DE2，即 122（ x）2+（3x）2，解得 x2， AE6，DE6， 如图，设 A 点关于 BD 的对称点为 A，连接 AD，PA， 则 AA2AE12AD，ADAD12， AAD 是等边三角形， PAPA， 当 A、P、Q 三点在一条线上时，AP+PQ 最小， 又垂线段最短可知当 PQAD 时，AP+PQ 最小， AP+PQAP+PQAQDE6 故选：C 二、填空题（本题满分 18 分，共有 6 道小题，每小
25、题 3 分） 9 分解因式：4a3+4a2a 【考点】因式分解提公因式法 【专题】整式；符号意识 【答案】a（2a1）2 【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案 【解答】解：原式a（4a24a+1） a（2a1）2 故答案为：a（2a1）2 10 某市某楼盘准备以每平方米 7200 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持 币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米 5832 元的均价开盘 销售则平均每次下调的百分率为 【考点】一元二次方程的应用 【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力 【答案】10% 【分析】设
26、平均每次下调的百分率为 x，根据题意列出方程，求出方程的解得到 x 的值，即可得到结果 【解答】解：设平均每次下调的百分率为 x，根据题意得， 7200（1x）25832， 解得 x10.1，x21.9（不符合题意，舍去） ， 答：平均每次下调的百分率为 10% 故答案为：10% 11 如图，反比例函数 y（k0）的图象经过 A，B 两点，过点 A 作 ACx 轴，垂足为 C，过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D，连接 AO，连接 BO 交 AC 于点 E，若 OCCD，四边形 BDCE 的面积为 3，则 k 的值 为 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征 【
27、专题】反比例函数及其应用；应用意识 【答案】8 【分析】先证明OCEODB，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方和 OCCD，可知OBD 的面积为 4，由于反比例函数图象特征可知 k 的值 【解答】解：如图所示， ACx 轴，BDx 轴， BDAC， OCEODB， （）2， OCCD， ， 四边形 BDCE 的面积为 3， ODB 的面积为 4， 点 B 在反比例函数 y的图象上， k8 故答案为：8 12 如图，ABC 中，以 A 为圆心且半径为 2 的圆恰好与 BC 相切于点 D，分别交 AB、AC 于点 E、F，点 P 是A 上一点，若DPF30，则图中阴影部分的面积为 【考点】圆周
28、角定理；切线的性质；扇形面积的计算 【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力 【答案】2 【分析】连接 AD，根据切线的性质得到 ADBC，根据圆周角定理求出DAC，根据正切的定义求出 DC，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案 【解答】解：连接 AD， BC 是是A 的切线， ADBC， 由圆周角定理得，DAC2DPF60， CDADtanDAC22， 图中阴影部分的面积 ADC 的面积扇形 DAF 的面积 22 2， 故答案为：2 13 如图，在等腰ABC 中，ABAC，BAC44BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，
29、则CEF 的度数是 度 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题） 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力 【答案】44 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBCOCB46，求出OCB 即可解 决问题 【解答】解：如图，连接 BO， 等腰ABC 中，ABAC，BAC44， ABCACB（18044）268， AO 是BAC 的平分线， BAO22， 又OD 是 AB 的中垂线， OBAOAB22， OBCOCB682246， EF 垂直平分线段 OC， CEF904644 故答案为：44 14 如图所示，一个长方体的长、宽、高分别
30、是 3cm，3cm，5cm，在这个长方体每个面的中心位置，从前到 后， 从左到右， 从上到下分别打一个边长为1cm的正方形通孔， 那么打孔后的长方体的表面积为 cm2 【考点】认识立体图形；几何体的表面积 【专题】几何图形；几何直观 【答案】104 【分析】打孔后的长方体的表面积原来长方体的表面积6 个正方形的面积+24 个矩形的面积 【解答】解：打孔后的长方体的表面积2（33+35+35）6+8（11）+8（11）+8（2 1）104（cm2） 三、作图题（本题满分 4 分） 15 已知：ABC 求作：O，其中 O 为 AC 的中点，且O 与直线 BC 相切 【考点】切线的性质；作图复杂作图
31、 【专题】作图题；尺规作图；几何直观 【答案】见试题解答内容 【分析】作 AC 的垂直平分线找到 AC 的中点 O，过点 O 作直线 BC 的垂线，垂足为 D，以点 O 为圆心， OD 长为半径作O 即可 【解答】解：如图，O 即为所求 四、解答题（本题满分 74 分，共有 9 道小题） 16（1）化简： （1+）； （2）解不等式组，并写出它的整数解 【考点】分式的混合运算；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解 【专题】分式；一元一次不等式(组)及应用；运算能力 【答案】 （1）； （2）0.5x3；0、1、2、3 【分析】 （1）首先计算小括号里面的加法，然后计算小括号外面的除法即
32、可 （2）首先求出其中各不等式的解集，然后求出这些解集的公共部分即可 【解答】解： （1） （1+） （2）解不等式 5x3x1，得：x0.5， 解不等式2，得：x3， 则不等式组的解集为0.5x3， 不等式组的整数解为 0、1、2、3 17 受疫情影响，商场的客流量大幅减少某商场为了吸引顾客，决定举办抽奖活动，规则如下：有红色、 蓝色两个不透明的盒子，每个盒子里都放置三张标有数字 2、3、4 的纸牌（除数字外其它都相同） 参加 抽奖的顾客从两个盒子里各摸出一张纸牌，将红色盒子摸出的数字做十位，将蓝色盒子摸出的数字做个 位，组成一个两位数如果得到的两位数是奇数，则视为一等奖，如果得到的两位数是
33、偶数，则视为二 等奖，都可获得相应金额的购物券 （1） 请利用列表或画树状图的方法列出可能出现的所有结果，并求出参加一次抽奖活动能获得一等奖的 概率； （2）如果获得一等奖可得到 30 元的购物券，获得二等奖可得到 15 元的购物券，那么顾客参加一次抽奖 活动所获得购物券金额的平均数为 元 【考点】概率公式；列表法与树状图法 【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；推理能力 【答案】 （1）可能出现的所有结果见解析，； （2）20 元 【分析】 （1）画出树状图，即可得出结论； （2）由加权平均数即可得出答案 【解答】解： （1）画树状图如图： 可能出现的所有结果有 9 个，参加一次抽
34、奖活动能获得一等奖的结果有 3 个， 参加一次抽奖活动能获得一等奖的概率为； （2）由（1）得：参加一次抽奖活动能获得一等奖的概率为，参加一次抽奖活动能获得二等奖的概率 为， 顾客参加一次抽奖活动所获得购物券金额的平均数为20（元） ， 故答案为：20 18“2020 青岛全球创投风投网络大会”5 月在青岛成功举办，本市一研究机构为了了解 1060 岁年龄段 市民对本次大会的关注程度，随机选取了一些年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制 成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 年龄段 频数（人数） 第 1 组 10 x20 10 第 2 组 20 x
35、30 a 第 3 组 30 x40 70 第 4 组 40 x50 30 第 5 组 50 x60 40 （1）请直接写出 a ，m ，第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度； （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）若本市现有 1060 岁的市民 550 万人，则 4050 岁年龄段关注本次大会的人数约有多少？ 【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图 【专题】统计的应用；数据分析观念 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）先根据第 1 组的人数及其所占百分比求出总人数，再进一步求解即可； （2）根据以上所求数据即可补全图形； （3）用总人数乘
36、以样本中第 4 组人数所占比例即可 【解答】解： （1）被调查的总人数为 105%200， a20025%50，m%30200100%15%，即 m15， 第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 360126， 故答案为：50、15、126； （2）补全频数分布直方图如下： （3）4050 岁年龄段关注本次大会的人数约有 55082.5（万人） 19 在 2020 年 5 月 27 日，我国派遣了一支登山队成功地登上了珠峰之巅，再次以中国人的身份，站上了珠 峰顶部已知一个人登山时的动作可以简化成下图所示，他的大腿长 AB、AC 为 45cm，上坡时大腿之间 的夹角BAC65，某段山坡 D
37、F 的坡度为 i问这名登山队员沿着这段山坡，大约走多少步才 能将自己所处位置的海拔提高 50 米？ （结果保留整数，sin65，tan65，cos65） 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力 【答案】231 步 【分析】过点 C 作 CHAD 于点 H，延长 CE 交 DG 于点 M，得矩形 CHDM，根据三角函数可得登山队 员每走一步，海拔提高大约提高cm，进而可得结论 【解答】解：如图，过点 C 作 CHAD 于点 H，延长 CE 交 DG 于点 M， 得矩形 CHDM， CHDM， 根据题意可知： 山坡 DF 的坡度为 i，AB
38、AC45cm，BAC65， sinBACsin65， CH45（cm） ， ， EM（cm） ， 登山队员每走一步，海拔提高大约提高cm， 50m5000cm， 5000231.48231（步） 答：这名登山队员沿着这段山坡，大约走 231 步才能将自己所处位置的海拔提高 50 米 20 为了应对“新冠”防疫对口罩的需求，某药店的口罩专柜，对 A，B 两种品牌的口罩分两次采购试销后， 供不应求，计划继续采购进行销售已知这两种口罩过去两次的进货情况如下表： 第一次 第二次 A 品牌口罩数/个 8000 10000 B 品牌口罩数/个 6000 8000 累计采购款/元 29200 37600 （
39、1）问 A，B 两种品牌口罩的进货单价各是多少元？ （2） 由于 A 品牌口罩的销量好于 B 品牌， 药店决定采购 A 品牌的口罩数比 B 品牌口罩数的多 1000 个， 在采购总价不超过 43600 元的情况下，最多能购进多少个 A 品牌口罩？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；应用意识 【答案】 （1）A 品牌口罩的进货单价为 2 元，B 品牌口罩的进货单价为 2.2 元； （2）最多能购进 13000 个 A 品牌口罩 【分析】 （1）设 A 品牌口罩的进货单价为 x 元，B 品牌口罩的进货单价为 y 元，根据总
40、价单价数量 结合两次的进货情况表中的数据，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 m 个 B 品牌口罩，则购进（m+1000）个 A 品牌口罩，根据总价单价数量结合采购总 价不超过 43600 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，再将其代入（ m+1000）中取最大值即可得出结论 【解答】解： （1）设 A 品牌口罩的进货单价为 x 元，B 品牌口罩的进货单价为 y 元， 依题意得：， 解得： 答：A 品牌口罩的进货单价为 2 元，B 品牌口罩的进货单价为 2.2 元 （2）设购进 m 个 B 品牌口罩，则购进（m+1000）
41、个 A 品牌口罩， 依题意得：2（m+1000）+2.2m43600， 解得：m8000， m+100013000 答：最多能购进 13000 个 A 品牌口罩 21 如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 的对应点 B，连接 BC，交 AD 于点 E，过点 B作 B FCD，交 AC 于点 F （1）求证：ABECDE； （2）若ACB30，则四边形 BFCD 是什么特殊四边形？请加以证明 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；多边形；翻折变换（折叠问题） 【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力 【答案】 （1）证明见解析部分 （2）结论：四边
42、形 BFCD 是菱形证明见解析部分 【分析】 （1）根据 AAS 证明三角形全等即可 （2）结论：四边形 BFCD 是菱形首先证明 FBFAFC，再证明 AC2AB2CD，推出 BF CD，即可解决问题 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， BCDA90，ABCD， 由翻折可知，ABAB，ABEB90， ABCD，ABECDE90， AEBCED， ABECDE（AAS） （2）解：结论：四边形 BFCD 是菱形 理由：四边形 ABCD 是矩形， BCD90， ACBACB30， DCB30， FBCD， FBCDCE30， FBCBCF30， CFFB， ABC90， FABFB
43、A60， FBFAFC， B90，ACB30， AC2AB2CD， FBCD， FBCD， 四边形 BFCD 是平行四边形， CFCD， 四边形 BFCD 是菱形 22 发石车是古代远程攻击的武器，现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运行，距离发射点 20 米时 达到最大高度 10 米，如图所示，现将发石车至于与山坡底部 O 处，山坡上有一点 A，距离 O 的水平距 离为 30 米，垂直高度 3 米，AB 是高度为 3 米的防御墙 （1）求石块运行的函数关系式； （2）计算说明石块能否飞越防御墙 AB； （3）石块飞行时与坡面 OA 之间的最大距离是多少？ （4）如果发石车想恰好击中点 B
44、，那么发石车应向后平移多远？ 【考点】二次函数的应用 【专题】数形结合；待定系数法；一次函数及其应用；二次函数的应用；几何直观；运算能力；应用意 识 【答案】 （1）yx2+x（0 x40） ； （2）石块能飞越防御墙 AB； （3）石块飞行时与坡面 OA 之间的最大距离是 8.1 米 （4）如果发石车想恰好击中点 B，那么发石车应向后平移（410）米 【分析】 （1）设石块运行的函数关系式为 ya（x20）2+10，用待定系数法求得 a 的值即可求得答案； （2）把 x30 代入 yx2+x，求得 y 的值，与 6 作比较即可； （3）用待定系数法求得 OA 的解析式为 yx，设抛物线上一点
45、 P（t，t2+t） ，过点 P 作 PQx 轴，交 OA 于点 Q，则 Q（t，t） ，用含 t 的式子表示出 d 关于 t 的表达式，再利用二次函数的性质可 得答案； （4）设向左平移后的解析式为 y（xh）2+10，把（30，6）代入解析式求得 h 即可 【解答】解： （1）设石块运行的函数关系式为 ya（x20）2+10， 把（0，0）代入解析式得：400a+100， 解得：a， 解析式为：y（x20）2+10，即 yx2+x（0 x40） ； （2）石块能飞越防御墙 AB，理由如下： 把 x30 代入 yx2+x 得 y900+307.5， 7.56， 石块能飞越防御墙 AB； （3
46、）设 OA 的解析式为 ykx， 把（30，3）代入得：330k， k， OA 的解析式为 yx， 如图，设抛物线上一点 P（t，t2+t） ，过点 P 作 PQx 轴，交 OA 于点 Q，则 Q（t，t） ， PQ 的长 dt2+tt t2+t 二次项系数为负， 图象开口向下，d 有最大值 当 t18 时，dmax182+188.1 石块飞行时与坡面 OA 之间的最大距离是 8.1 米 （4）设向左平移后的解析式为 y（xh）2+10， 把（30，6）代入解析式，得（30h）2+106， 解得 h1304，h230+4（舍） 20（304）410 如果发石车想恰好击中点 B，那么发石车应向后
47、平移（410）米 23 提出问题：有 12 个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是 4、3、5，现要用这 12 个纸盒搭成一 个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 分析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究 探究一：我们以两个长、宽、高都分别是 4、3、5 的长方体为例进行分析我们发现，无论怎样放置这 两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化， 经过操作，发现共有 3 种不同的摆放方式，如图所示 （1）请计算图 1、图 2、图 3 中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（cm
48、） 宽（cm） 高（cm） 表面积（cm2） 图 1 5 4 6 148 图 2 10 4 3 164 图 3 5 8 3 根据上表可知，表面积最小的是 所示的长方体 （填“图 1” 、 “图 2” 、 “图 3” ） 探究二：有 4 个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是 5、4、3，现要用这 4 个纸盒搭成一个大 长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不 方便，可以按照下列思路考虑： 在图 1 的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到 586 的长方体，这个长方体的表面积 为 ； 在图 2
49、 的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到 1046 的长方体，这个长方体的表面积 为 ； 在图 3 的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到 586 的长方体，这个长方体的表面积 为 ； 综上所述，有 4 个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是 5、4、3，要用这 4 个纸盒搭成一个大 长方体的表面积最小为 探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几 何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考： 将 4 分解质因数，得到 114，或 122 两种情况，通过与小长方体的长宽高 543 进行组合： 在 L515，K428，H3
50、26 时，达成的 LKH 的大长方体最接近正方体，此时表面积 最小，表面积为 2（LK+KH+LH） （直接写出结果） 类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题： 有 12 个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是 4、3、5，现要用这 12 个纸盒搭成一个大长方体， 怎样搭可使长方体的表面积最小？ 拓展延伸：将 168 个边长为 1cm 的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表 面积是 cm2 【考点】有理数的乘法；认识立体图形；几何体的表面积 【专题】规律型；推理能力；创新意识 【答案】探究一：158，图 1； 探究二：236，248，236，236；
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