1、2019 级高三第一次考试数学试题（理科）级高三第一次考试数学试题（理科） (满分 150 分，时间 120 分钟) 一、单选题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分） 1集合 1,2,3,4,5A,( , ),Bx y xA yA xyA,则B中所含元素个数为（ ） A3 B6 C8 D10 2下面是关于复数 2 1 z i 的四个命题：其中的真命题为（ ） 1: 2pz 2 2: 2pzi 3: pz的共轭复数为1 i 4: pz的虚部为 1 A 23 ,pp B 12 ,p p C 24 ,pp D 34 ,p p 3已知命题 p：x1,x2R,(f(x2)f(x1)(x2x1)0
2、,则p 是（ ） Ax1,x2R,(f(x2)f(x1)(x2x1)0 B x1,x2R,(f(x2)f(x1)(x2x1)0 Cx1,x2R,(f(x2)f(x1)(x2x1)0 D x1,x2R,(f(x2)f(x1)(x2x1)b2， 下列命题为真命题的是 （ ） Ap q B pq C pq D pq 5已知lnx， 5 log 2y ， 2 1 ez，则（ ） A.xyz B.zxy C.zyx D.yzx 6下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（ ） A cos2yx ，xR B 2 logyx，xR 且 x0 C 2 xx ee y ,xR D 3+1 yx，
3、xR 7函数在区间(0,1)内的零点个数是（ ） A0 B1 C2 D3 8已知函数 3 3yxxc的图象与x轴恰有两个公共点，则c（ ） A2 或 2 B9 或 3 C1 或 1 D3 或 1 9设a，b都是不等于1的正数，则“3 33 ab ”是“log 3log 3 ab ”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 10设函数( ) x f xxe，则（ ） A1x 为 ( )f x的极大值点 B 1x 为 ( )f x的极小值点 C1x为 ( )f x的极大值点 D 1x为 ( )f x的极小值点 11已知函数 1 ( ) ln(1) f x x
4、x ,则 ( )yf x的图像大致为（ ） A B C D 12若 0,)x，则下列不等式恒成立的是（ ） A 2 1 x exx B 2 111 1 241 xx x C 2 1 cos1 2 xx D 2 1 ln(1) 8 xxx 二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13若“0,tan 4 xxm ”是真命题，则实数m的最小值为_. 14若函数 6,2 3log,2 a xx f x x x （0a且1a ）的值域是4,，则实数a的取 值范围是_ 15若函数 2 ( )ln()f xxxax 为偶函数，则a_ 16设曲线 x ye在点（0,1）处的切线与曲线 1 (0
5、)yx x 上点处的切线垂直，则的 坐标为_ 三、解答题（共 6 小题，70 分） （一）必考题：每题 12 分，共 60 分. 17 （12 分）在ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c,角 A，B，C 成等差数列 求cosB的值； 边 a，b，c 成等比数列，求sinsinAC的值 18 （12 分） 如图， 直三棱柱 111 ABCABC中， 1 1 2 ACBCAA，D是棱的中点， （1）证明： （2）求二面角的大小. 19 （12 分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取 了 100 名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育
6、节目时间的频率 分布直方图； 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” ()根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？ ()将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽 样方法每次抽取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X若每次 抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列，期望和方差 附： 20 （12 分）已知曲线 C: 22 (5)(2)8m xmy(mR) （1） 若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围； （2） 设 m=4，曲线 c 与 y 轴的交点为 A
7、，B（点 A 位于点 B 的上方） ，直线 y=kx+4 与 曲线 c 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证：A，G，N 三点共线 21 （12 分）已知函数( )lnf xxx x （1）求函数 ( )f x的极值； （2）若mZ，且 (1)( )m xf x对任意1x 恒成立，求m的最大值 （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. 22 （10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y中，直线l的参数方程为 1 3 2 3 2 xt yt （t为参数） 以原点为极点，x轴正半轴为极轴建
8、立极坐标系，的极坐标 方程为 （）写出的直角坐标方程； （）为直线l上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标 22 （10 分）选修 4-5：已知函数( ) | 1| 2|,0f xxxa a. （1）当1a 时，求不等式 ( )1f x 的解集； （2）若 ( )f x 的图象与x轴围成的三角形面积大于 6，求a的取值范围 2019 级高三第一次考试数学试题（理科）答案级高三第一次考试数学试题（理科）答案 16DCCBDB 712BABDBC 131 141,2 151 16 17（1）由已知 ,解得，所以 （2）解法一：由已知，及，根据正弦定理得， 所以 18二面角的大小为30 19（
9、1） 由频率分步直方图可知， 在抽取的 100 人中， “体育迷”有 25 人， 从而2 2 列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将2 2列联表中的数据代入公式计算， 得 22 2 11221221 1212 ()100 (30 1045 15)100 3.030 75 25 45 5533 n n nn n x nnn n 因为3.0303.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关 2,BAC ABC 3 B 1 cos 2 B 2 bac 1 cos 2 B 2 sinsinsinBAC 2 3 sinsin1 c
10、os 4 ACB （2）由频率分步直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25，将频率视为概率，即从 观众中抽取一名“体育迷”的概率为 1 4 . 由题意 X 1 (3, ) 4 B ，从而 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 13 ()3 44 E Xnp 139 ()(1)3 4416 D Xnpp 20 (1)曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，当且仅当 50 20 m m ， ， 解得 2m5，所 以 m 的取值范围是(2，5) (2)当 m4 时，曲线 C 的方程为 x22y28，点 A，B 的坐标分别为(0，2)，(0， 2) 由 22
11、4 28 ykx xy ， ， 得(12k2)x216kx240. 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1kx14，y2kx24，x1 x2 2 16 1 2 k k ，x1x2 2 24 1 2k .直线 BM 的方程为 y2 1 1 2y x x，点 G 的坐标为 1 1 3 1 2 x y ， . 因为直线 AN 和直线 AG 的斜率分别为 kAN 2 2 2y x ，kAG 1 1 2 3 y x ，所以 kAN kAG 21 21 22 3 yy xx 21 21 26 3 kxkx xx 12 12 2 ()4 3 xx k x x 2 2 16 2 4
12、 1 2 24 3 1 2 k k k k 0. 即 kANkAG.故 A，G，N 三点共线 21（1） 函数 ( )f x的的定义域为(0,)， ( )ln2fxx ， 2 0,ex ， ( )0fx ， 2 e ,x ，( )0fx ， 即函数 ( )f x 在 2 0,e 单调递减，在 2, e 单调递增， 所以 ( )f x 的极小值是 22 f ee ，无极大值； （2） 因为 (1)( )m xf x 对任意1x 恒成立， 即 ln 1 xxx m x 对任意1x 恒成立， 令 ln ( ) 1 xxx g x x ，则 2 ln2 ( ) (1) xx g x x ，令 ( )l
13、n2(1)h xxxx ，则 11 ( )10 x h x xx ， 于是得函数 ( )h x在(1,)上单调递增， 而(3)1ln30h ，(4) 22ln20h ， 方程 ( )0h x 在(1, )上存在唯一实根 0 (3,4)x ，并满足 00 ln2xx ， 当 0 1xx 时， ( )0h x ，即 ( )0g x ，当 0 xx 时， ( )0h x ，即 ( )0g x ， 从而得函数 ln ( ) 1 xxx g x x 在 0 1,x上单调递减，在 0, x 上单调递增， 即有 0000 min00 00 1 ln12 ( )(3,4) 11 xxxx g xg xx xx
14、 ， 则 min0 ( )(3,4)mg xx ， 所以整数m的最大值是 3 22.（）由2 3sin，得 2 2 3 sin， 从而有，所以 （） 设， 又， 则， 故当时，C取最小值，此时点的直角坐标为 23. （I）当1a 时， 1f x 化为121 10 xx ， 当1x时，不等式化为40 x ，无解； 当11x 时，不等式化为32 0 x，解得 2 1 3 x； 当1x时，不等式化为20 x ，解得1 2x 所以 1f x 的解集为 2 2 3 xx （II）由题设可得， 1 2 ,1, 31 2 , 1, 1 2 , xa x f xxaxa xa xa 所以函数 f x的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 21,0 3 a A ，21,0Ba，,1C a a，ABC的面积为 22 1 3 a 由题设得 22 16 3 a，故2a 所以 a 的取值范围为2,
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