1、2020-2021学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A. x2+10B. x2+12xC. x22x0D. x22x32. 若O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与O的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定3. 把方程x210x50变形为（x+h）2k的形式可以是（）A. （x5） 230B. （x5） 25C. （x+5） 25D. （x+5） 2304. 一组数据26，32，32，36，46，7，52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨
2、水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5. 如图，A、B、C是O上的点，且ACB140在这个图中，画出下列度数的圆周角：40，50，90，140，仅用无刻度的直尺能画出的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 如图，AB为半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，在上取一点M，上取一点N，使得AMN110，则下列说法正确的是（）A. 点N在上，且NCNDB. 点N在上，且NCNDC. 点N在上，且NDNBD. 点N在上，且NDNB二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7. 一组数据：2，3，2，0，4极差是_8. 若
3、x1，x2是一元二次方程x22x20200的两个实数根，则x1+x2+x1x2_9. 已知圆锥底面半径为5cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是_cm210. 某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是_11. 一个不透明的袋中装有6个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相同把袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出黄球记为事件A，摸出的球不是黄球记为事件B，若P（A）2P（B），则m与n的数量关系是_12. 如图，O是ABC的外接圆，ABAC，若OBC20，则ACB_13. 如图，O是等边ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若等边A
4、BC的边长为6，则阴影部分的面积是_14. 如图，在扇形中，点C、D在上，连接、交于点E，若，的度数为50，则_15. 如图，在半径为5的O中，弦AB8，D是的中点，过点B作BCAB交O于点C，连接CD，则CD_16. 如图，在RtABC中，ACB90，B30，AB4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CEAD于E，过点E作EFAB交BC于点F，则CF的最大值是 _三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解下列方程：（1）x2+4x10；（2）(x1)(x+3)5(x1)18. 甲、乙两名同学分别从我和我的家乡、夺冠
5、、姜子牙三部电影中随机选择一部观看（1）甲同学选择夺冠的概率是 ；（2）求甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率19. 某校举办了一次题为“致敬最美逆行者”的演讲比赛甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图如图（学生成绩均为整数）：（1）根据以上信息，填空：组别平均数/分中位数/分方差/分2甲72.8乙7（2）如果学校准备选派其中一组参加区级比赛，你认为选派哪一组参赛更好？为什么？20. 如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是所在圆的圆心，O的半径为13m，求桥拱的高度（弧的中点到弦的距离）21. 已知关于x的一元二次方程mx2+（4m2）x+4m40（m为常数，且m0）（1）求
6、证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值22. 如图，利用一面长度为25m的墙，用50m的铁栅栏围成一个矩形停车场ABCD（AD25m），在BC边有一个4m宽的门，若矩形ABCD的面积为340m2，求AB的长23. 如图，在四边形ABCD中，AD/BC，O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DEDF（1）求证：AB/CD；（2）连接AF，求证：ABAF24. 如图，A、B是O上的点，以OB为直径作O1仅用无刻度的直尺完成下列作图（1）在图中，在O1上作出一个点C，使与长度相等；（2）在图中，在O上作出一个点D，使与的长
7、度相等25. 如图，在RtABC中，ACB90，点D在AC边上，以AD为直径作O交AB于点E，连接CE，且CBCE（1）求证：CE是O的切线；（2）若CD2，AB4，求O的半径26. 某商店销售甲、乙两种零食，甲零食每袋成本为5元，乙零食每袋成本为7元甲零食现在的售价为10元，每天卖出30袋；售价每提高1元，每天少卖出2袋乙零食现在的售价为14元，每天卖出6袋；售价每降低1元，每天多卖出4袋假定甲、乙两种零食每天卖出的袋数的和不变（和为36袋），且售价均为整数（1）当甲零食的售价提高2元，则甲零食每天卖出袋，乙零食的售价为元；（2）当甲零食的售价提高多少元时，销售这两种零食当天的总利润是268
8、元？27. 【提出问题】（1）已知点P是O外的一点，在O上找一点A，使P、A两点间距离最短如图，连接OP，OP与O交点A即为所求，此时线段PA最短为了证明点A即为所求，不妨在O上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PBPA请完成这个证明【变式探究】（2）已知直线l与O相离，在O上找一点M，使点M到直线l的距离最短小明给出下列解答，请你补全小明解答小明的解答如图，过点O作ONl，垂足为N，ON与O的交点M即为所求，此时线段MN最短为了证明点M即为所求，不妨在O上另外任取一点P，过点P作PQl，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQMN，OQON，OP+PQON又，OP+PQOM+MN又OPOM，P
9、QMN【拓展研究】（3）如图，已知直线l和直线外一点A，线段MN长度为1请用直尺和圆规作出一个O，使O经过点A，且O上的点到直线l的距离的最小值为1（不写作法，保留作图痕迹）（4）如图，在ABC中，AC8，BC12，C30，O经过点A，且O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的O上的点记为点P，若点P在ABC的内部（不包括边界），则O的半径r的取值范围是2020-2021学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A. x2+10B. x2+12xC. x22x0D.
10、x22x3【答案】B【解析】【分析】计算四个方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可【详解】解：A、x2+10，02410，所以方程没有实数解；B、x22x+10，（2）2410，所以方程有两个相等的实数解；C、x22x0，（2）24040，所以方程有两个不相等的实数解；D、x22x30，（2）241（3）160，所以方程有两个相等的实数解故选B【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式.2. 若O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与O的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定【答案】C【解
11、析】【分析】若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离，由此进行判断即可【详解】解：根据圆心到直线的距离5大于圆的半径4，则直线和圆相离故选C【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离.3. 把方程x210x50变形为（x+h）2k的形式可以是（）A. （x5） 230B. （x5） 25C. （x+5） 25D. （x+5） 230【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案【详解】解：x210x50，x210x+2530，（x5）230，故选A【点睛
12、】本题主要考查了一元二次方程的配方法，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的配方法.4. 一组数据26，32，32，36，46，7，52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】C【解析】【分析】平均数是一组数据总和除以总数；中位数是将一组数据按照一定顺序排列后,取最中间这个数或最中间两个数的平均数；众数是指一组数据中出现次数最多的数；方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数.利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断【详解】解：因为平均数是一组数据总和除以总数
13、；中位数是将一组数据按照一定顺序排列后,取最中间这个数或最中间两个数的平均数；众数是指一组数据中出现次数最多的数；方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数.所以这组数据的平均数、方差和中位数都与第6个数有关，而这组数据的众数与第6个数无关故选C【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的定义,解决本题的关键是要熟练掌握平均数,中位数,众数,方差的定义5. 如图，A、B、C是O上的点，且ACB140在这个图中，画出下列度数的圆周角：40，50，90，140，仅用无刻度的直尺能画出的有（）A 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】作直径AD，连接BD，在上
14、取一点E，连接AE、BE，如图，利用圆周角定理得到AEB140，ABD90，利用圆内接四边形性质得到D40，根据互余可计算出BAD50详解】解：作直径AD，连接BD、AB，如图，ACB+D180，D18014040，AD为直径，ABD90，BAD90D50；在上取一点E，连接AE、BE，AEBACB140故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径6. 如图，AB为半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，在上取一点M，上取一点N，使得AMN110，则下列说法正确的
15、是（）A. 点N在上，且NCNDB. 点N在上，且NCNDC. 点N在上，且NDNBD. 点N在上，且NDNB【答案】D【解析】【分析】连接MD，如图，先计算出BOD45，则OBD67.5，利用圆内接四边形的性质得到AMD112.5，则利用AMN110可判断点N在上，然后计算DON5，BON40得到，则可判断BNDN【详解】解：连接MD，OD、ON、BD，如图，C是的中点，D是的中点，BOD9045，OBOD，OBDODB（18045）67.5，AMD180ABD18067.5112.5，AMN110，点N在上，DMNAMDAMN2.5，DON2DMN22.55，BON40，BNDN故选：D【
16、点睛】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了圆心角、弧、弦的关系二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7. 一组数据：2，3，2，0，4的极差是_【答案】6【解析】【分析】根据极差就是最大值与最小值的差的定义即可求解【详解】解：最大的值是4，最小值是-2，则极差是：4-（-2）=6故答案是：6【点睛】本题考查了极差的知识，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值8. 若x1，x2是一元二次方程x22x20200的两个实数根，则x1+x2+x1x2_【答案】2018【解析】
17、【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可【详解】解：x1，x2是一元二次方程x22x20200的两根，x1+x22； x1x22020则x1+x2+x1x22+（2020）2018故答案为：2018【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系.9. 已知圆锥底面半径为5cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是_cm2【答案】65【解析】【分析】【详解】圆锥的底面半径、高和母线长组成直角三角形，且圆锥的高为12cm，底面半径为5cm， 根据勾股定理，圆锥的母线长为：13cm圆锥的底面周长等于它的侧
18、面展开图的弧长，侧面展开图的弧长为10cm圆锥的侧面展开图的面积为：故答案为：6510. 某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是_【答案】10%【解析】【分析】设降价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次降价后降至每件32.4元，可列方程求解【详解】解：设降价百分率为x，列方程：40（1x）232.4解得x10.1，x21.9（不合题意舍去）故答案为：10%【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，根据题意列出方程是解题的关键11. 一个不透明的袋中装有6个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相同把袋中的球搅匀，从中
19、任意摸出一个球，摸出黄球记为事件A，摸出的球不是黄球记为事件B，若P（A）2P（B），则m与n的数量关系是_【答案】m+n3【解析】【分析】根据概率公式求出摸到黄球和摸不到黄球的概率，再根据P（A）2P（B），列出关系式，然后求解即可得出答案【详解】解：一个不透明的袋中装有6个黄球，m个红球，n个白球，任意摸出一个球，是黄球的概率P（A），摸出的球不是黄球的概率P（B）P（A）2P（B），m+n3，故答案为：m+n3【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式.12. 如图，O是ABC的外接圆，ABAC，若OBC20，则ACB_【答案】55【解析】【分析】连接O
20、C，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出BOC140，则利用圆周角定理得到A70，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算ACB的度数【详解】解：连接OC，如图，OBOC，OCBOBC20，BOC180OBCOCB140，ABOC14070，ABAC，ACBABC（180A）（18070）55故答案为：55【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.13. 如图，O是等边ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若等边ABC的边长为6，则阴影部分的面积是_【答案】93【解析】【分析】连接OE、OB、OC，如图
21、，根据等边三角形的性质得ABCACB60，BC6，再利用切线的性质和内心性质得到OEBC，BO平分ABC，OC平分ACB，从而得到OBEOCE30，再计算OE，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分SABCSO3SOBCSO进行计算【详解】解：连接OE、OB、OC，如图，ABC为等边三角形，ABCACB60，BC6，O是等边ABC的内切圆，OEBC，BO平分ABC，OC平分ACB，OBEOCE30，OBOC，OEBC，BECEBC3，在RtOBE中，OEBE，S阴影部分SABCSO3SOBCSO36（）293故答案为93【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等
22、；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了等边三角形的性质和切线的性质14. 如图，在扇形中，点C、D在上，连接、交于点E，若，的度数为50，则_【答案】145【解析】【分析】作所对的圆周角APB，连接OC，OD，BD，根据圆周角定理求出APB和CBD的度数，从而求出ADB的度数，结合三角形外角的性质，即可求解【详解】作所对的圆周角APB，连接OC，OD，BD，如图所示，APB=AOB=120=60，ADB=180-APB=180-60=120，的度数为50，COD=50，CBD=COD=25，AEB=CBD+ADB=25+120=145，故答案是：145【点睛】本题主要考查圆周角定
23、理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握构造同弧所对的圆周角，是解题的关键15. 如图，在半径为5的O中，弦AB8，D是的中点，过点B作BCAB交O于点C，连接CD，则CD_【答案】4【解析】【分析】连接AC，AD，OD，设OD与AB交于点E，由BCAB可得出线段AC为O的直径，进而可得出ACD90，由D是的中点，利用垂径定理可得出ODAB及AE的长度，在RtAEO中，利用勾股定理可求出OE的长，结合DEODOE可得出DE的长，在RtAED中，利用勾股定理可求出AD的长，再在RtADC中，利用勾股定理可求出CD的长【详解】解：连接AC，AD，OD，设OD与AB交于点E，如图所示，BCAB，ABC90
24、，线段AC为O的直径，ACD90D是的中点，ODAB，且AEBEAB4在RtAEO中，AO5，AE4，AEO90，OE3，DEODOE532在RtAED中，AE4，DE2，AED90，AD2在RtADC中，AD2，AC10，ADC90，CD4故答案为：4【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理，利用垂径定理及勾股定理，求出及的长是解题的关键16. 如图，在RtABC中，ACB90，B30，AB4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CEAD于E，过点E作EFAB交BC于点F，则CF的最大值是 _【答案】【解析】【分析】如图，取AC中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T证明OEAC1，推出点E
25、的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与O相切时，CF的值最大【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于TACB90，AB4，B30，CAB60，ACAB2，CEAD，AEC90，AOOC1，OEAC1，点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，当FT与O相切时，CF的值最大，直线CF，直线EF都是O的切线，FCFE，FCEFEC，CAE+ACE90，ACE+ECF90，CAEFCE，CEF+AET90，AET+EAT90，FECEAT，CAEEAT30，CFFE，OCOE，OFEC，ADCE，OFAD，COFCAD30，CFOCtan30，CF的最大值为故答案为：
26、【点睛】本题主要考查直角三角形30角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与O相切时，CF的值最大三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解下列方程：（1）x2+4x10；（2）(x1)(x+3)5(x1)【答案】（1）x12+，x22；（2）x11，x22【解析】【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可【详解】解：（1）x2+4x10，a1，b4，c1，4241(1)200，则x2，即x12+，x22；（2）
27、(x1)(x+3)5(x1)，(x1)(x+3)5(x1)0，(x1)(x2)0，则x10或x20，解得x11，x22【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记求根公式，熟练运用因式分解法解一元二次方程18. 甲、乙两名同学分别从我和我的家乡、夺冠、姜子牙三部电影中随机选择一部观看（1）甲同学选择夺冠的概率是 ；（2）求甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两人选择同一部电影的情况，再利用概率公式求解即可【详解】解：（1）有三部不同的电影，恰
28、好选择夺冠的有1种情况，甲同学选择夺冠的概率是；故答案为：；（2）我和我的家乡、夺冠、姜子牙三部电影分别用A、B、C表示，画树状图如下：共有9种等可能的情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的有3种，则甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率是【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，正确列表或画出树状图，掌握概率公式是解题的关键19. 某校举办了一次题为“致敬最美逆行者”的演讲比赛甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图如图（学生成绩均为整数）：（1）根据以上信息，填空：组别平均数/分中位数/分方差/分2甲72.8乙7（2）如果学校准备选派其中一组参加区级比赛，你认为选派哪一组参赛更好？为什么？
29、【答案】（1）6.5，7，1.8；（2）乙组，理由见解析【解析】【分析】（1）根据中位数、平均数和方差的计算公式分别进行解答，即可得出答案；（2）从中位数和方差的意义两方面进行分析，即可得出答案【详解】解：（1）甲组：4分的有1人，6分有4人，7分的有1人，8分的有2人，9分的有1人，10分的有1人，把这些数从小大排列为4、6、6、6、6、7、8、8、9、10，则中位数是：6.5（分），乙组：5分的有2人，6分有1人，7分的有4人，8分的有1人，9分的有2人，平均数是：（5+5+6+7+7+7+7+8+9+9）7（分），乙组的方差是：2（57）2+（67）2+4（77）2+（87）2+2（97
30、）21.8故答案为：6.5，7，1.8；（2）因为乙组的中位数高于甲组，且乙组的方差小于甲组的方差，比甲组的成绩稳定，所以应派乙组参赛更好【点睛】本题主要考查了平均数，中位数和方差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.20. 如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是所在圆的圆心，O的半径为13m，求桥拱的高度（弧的中点到弦的距离）【答案】桥拱的高度为8m【解析】【分析】过O作ODAB交于C，垂足为D，由垂径定理得ADBD2412（m），设CDx(m)，则OD（13x）m，在 中，根据勾股定理得出方程，解方程即可【详解】如图所示：过O作ODAB交于C，垂足为D，则ADB
31、D2412（m），设CDx(m)，则OD（13x）m，根据勾股定理得：，即，解得：x8，即桥拱的高度为8m【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键21. 已知关于x的一元二次方程mx2+（4m2）x+4m40（m为常数，且m0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值【答案】（1）见解析；（2）1，2【解析】【分析】（1）先计算判别式的值得到40，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式法解方程得到x12+，x22，然后根据有理数的整除性确定整数m的值【详解】解（1）证明：（4m2）24
32、m（4m4）40，方程总有两个不相等的实数根；（2），方程的两个实数根都是整数，为整数，整数m为1，2【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，用公式法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.22. 如图，利用一面长度为25m的墙，用50m的铁栅栏围成一个矩形停车场ABCD（AD25m），在BC边有一个4m宽的门，若矩形ABCD的面积为340m2，求AB的长【答案】17m【解析】【分析】设边AB的长为xm，则边AD的长为（50+42x）m根据题意可列出一元二次方程，解方程则可得出答案【详解】解：设边AB的长为xm，则边AD的长为（50+42x）m根据题意，得：（50+4
33、2x）x340，整理得：x227x+1700，解得：x117，x210，当x110时，50+42x542103425，不符合题意，舍去，当x217时，50+42x542172025，符合题意，答：矩形停车场ABCD的边AB长为17m【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键23. 如图，在四边形ABCD中，AD/BC，O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DEDF（1）求证：AB/CD；（2）连接AF，求证：ABAF【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）借助弦相等对应的弧
34、相等，弧相等所对的圆周角得到AC，进而ABCD；（2）连接AF，由（1）知四边形ABCD是平行四边形，得到BAFB，故ABAF【详解】解：（1）AD/BC，A+B180，DEDF， ，AC，B+C180，AB/CD；（2）连接AF，AB/CD，AD/BC，四边形ABCD是平行四边形，BD，四边形AFCD是圆内接四边形，AFC+D180，AFC+AFB180，AFBDB，ABAF【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题关键是熟练掌握在同圆或者等圆中，有两条弦、两条弧、两个圆周角，其中有一组量相等，其它的量全部相等24. 如图，A、B是O上的点，以OB为直径作O1仅用无刻度的直尺完成下列作图（1）在图
35、中，在O1上作出一个点C，使与的长度相等；（2）在图中，在O上作出一个点D，使与的长度相等【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接OA交O1于点C，点C即为所求（2）连接AB交O1于点T，作直线OT交O于点D，点D，点D，点D即为所求【详解】解：（1）如图，连接OA交O1于点C，点C即为所求（2）如图，连接AB交O1于点T，作直线OT交O于点D，点D，点D或D即为所求【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行求解.25. 如图，在RtABC中，ACB90，点D在AC边上，以AD为直径作O交AB于点E，连接CE，且C
36、BCE（1）求证：CE是O的切线；（2）若CD2，AB4，求O的半径【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连接OE，DE，根据等腰三角形的性质和直径所对圆周角是直角得OEC90，于是得到结论；（2）设O的半径为r，则ODOEr，OCr+2，AC2r+2，由AC2+BC2AB2，OE2+CE2OC2得到关于r 的方程，即可求出半径【详解】（1）证明：如图，连接OE，DE，ACB90，A+B90，AD是O的直径，AEDDEB90，DEC+CEB90，CEBC，BCEB，ADEC，OEOD，OEDODE，A+ADE90，DEC+OED90，即OEC90，OECEOE是O的半径，CE是O
37、的切线；（2）解：在RtABC中，ACB90，CD2，AB ，BCCE，设O的半径为r，则ODOEr，OCr+2，AC2r+2，AC2+BC2AB2，（2r+2）2+BC2（）2，在RtOEC中，OEC90，OE2+CE2OC2，r2+BC2（r+2）2，BC2（r+2）2r2，（2r+2）2+（r+2）2r2（）2，解得r3，或r6（舍去）O的半径为3【点睛】本题主要考查的是切线的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键26. 某商店销售甲、乙两种零食，甲零食每袋成本为5元，乙零食每袋成本为7元甲零食现在的售价为10元，每天卖出30袋；售价每提高1元，
38、每天少卖出2袋乙零食现在的售价为14元，每天卖出6袋；售价每降低1元，每天多卖出4袋假定甲、乙两种零食每天卖出的袋数的和不变（和为36袋），且售价均为整数（1）当甲零食的售价提高2元，则甲零食每天卖出袋，乙零食的售价为元；（2）当甲零食的售价提高多少元时，销售这两种零食当天的总利润是268元？【答案】（1）26，13；（2）4【解析】【分析】（1）根据题意直接计算可得出答案；（2）设甲零食的售价提高x元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，可列出一元二次方程，解方程则可得出答案【详解】解：（1）甲零食的售价提高2元，则甲零食每天卖出302226（袋），则乙销售了10袋，乙零食的售价为141
39、13（元）故答案为：26，13；（2）设甲零食售价提高x元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，由题意得，（5+x）（302x）+（6+2x）（147）268，3x231x+760，解得x14，x2，售价均为整数，x4答：甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用，解决本题的关键是要正确找到等量关系准确的列出方程27. 【提出问题】（1）已知点P是O外的一点，在O上找一点A，使P、A两点间距离最短如图，连接OP，OP与O的交点A即为所求，此时线段PA最短为了证明点A即为所求，不妨在O上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PBPA请完成
40、这个证明【变式探究】（2）已知直线l与O相离，在O上找一点M，使点M到直线l的距离最短小明给出下列解答，请你补全小明的解答小明的解答如图，过点O作ONl，垂足为N，ON与O的交点M即为所求，此时线段MN最短为了证明点M即为所求，不妨在O上另外任取一点P，过点P作PQl，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQMN，OQON，OP+PQON又，OP+PQOM+MN又OPOM，PQMN【拓展研究】（3）如图，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1请用直尺和圆规作出一个O，使O经过点A，且O上的点到直线l的距离的最小值为1（不写作法，保留作图痕迹）（4）如图，在ABC中，AC8，BC12，C30，O经过点A，且O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的O上的点记为点P，若点P在ABC的内部（不包括边界），则O的半径r的取值范围是【答案】（1）见解析；（2）OP+PQOQ，ONOM+MN；（3）见解析；（4）1r4【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系以及同圆的半径相等即可得出结论；（2）根据三角形的三边关系以及同圆的半径相等即可得出结论；（3）作直线l的垂线垂足为P，在垂线上与点A同侧截取PTMN1，连接AT，作AT的垂直平分线交直线PT于点O，以O为圆心，OA为半径作O即为所求；
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