1、20202021学年度高二数学第一学期期中调研测试试题（时间：120分钟 总分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 2. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 4. 已知等差数列满足，则它的前10项的和A. 138B. 135C. 95D. 235. 古代数学著作九章算术有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一
2、天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）A. 6天B. 7天C. 8天D. 9天6. “”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知数列中，()，则（ ）A. B. C. D. 28. 设椭圆两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 下列命题中的真命题是（ ）
3、A. B. C. D. 10. 若，则下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知椭圆的焦距为4，则能使椭圆的方程为的是（ ）A. 离心率为B. 椭圆过点C. D. 长轴长为312. 已知等比数列的公比，等差数列的首项，若，且，则下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 椭圆的短轴长为_.14. 已知，且，则的最小值是_.15. “，” 为假命题，则实数最大值为_16. 椭圆（ab0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_四、解答
4、题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 用一根长为10米的绳子围成一个矩形，设矩形的一条边的长为米.（1）所围成的矩形的面积能否大于6平方米，若能，求出的范围；若不能，说明理由（2）求所围成矩形的面积的最大值.18. 记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式;（2）求，并求的最小值.19. 已知.（1）若，求实数取值范围;（2）请在，恒成立，使得，这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，并解答问题.若_，求实数的取值范围.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且成等比数列.（1）求的通项公
5、式;（2）设，求的前项和.21. 已知椭圆的离心率，并且经过定点（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆的左、右焦点分别为，为上的一点，若三角形为直角三角形，求的值.22. 如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，（1）求椭圆的离心率；（2）已知的面积为，求a，b的值20202021学年度高二数学第一学期期中调研测试试题（时间：120分钟 总分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据否定的定义书写命题即可
6、.【详解】全称命题的否定“”.故选：C.2. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2故选C【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题3. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】，解得或，即，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集，考查
7、一元二次不等式的解法.4. 已知等差数列满足，则它的前10项的和A. 138B. 135C. 95D. 23【答案】C【解析】【详解】试题分析：，考点：等差数列的通项公式和前n项和公式 5. 古代数学著作九章算术有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）A. 6天B. 7天C. 8天D. 9天【答案】C【解析】【分析】由等比数列前项和公式求出这女子第一天织布尺，由此利用等比数列前项和公式能求出要使织布的总尺
8、数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天【详解】解：设该女子第一天织布尺，则，解得，前天织布的尺数为：，由，得，解得的最小值为8故选：【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题6. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先由解得，从而可判断.详解】由，可解得，即，由“”是“”的必要不充分条件可得“”是“”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查了充分性和必要性的判断，解题的关键是先解出对数不等式的等价条件，属于基础题.7. 已知数
9、列中，()，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由递推关系确定数列的周期，运算即可得解.【详解】因为，()，所以，所以数列的周期为3，又，所以.故选：A.8. 设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系
10、,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 下列命题中的真命题是（ ）A B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据指数，二次函数，对数，三角函数的性质，逐项判断即可.【详解】A.，根据指数函数值域知正确；B.，取，计算知，错误；C.，取，计算，故正确；D.，的值域为，故正确；故选：10. 若，则下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】对A，利用指数函数的单调性；对B，利用基本不等式；对C，
11、利用不等式的性质；对D，利用基本不等式.进行判断即可.【详解】对A，由指数函数的单调性可知，当，有，故A 正确；对B，当时，不成立，故B错误；对C，当时，不成立，故C错误；对D，成立，从而有成立，故D正确；故选：AD.【点睛】本题考查利用已知函数及基本不等式的应用，求解时注意基本不等式成立的条件，考查分类讨论思想的应用，属于基础试题11. 已知椭圆的焦距为4，则能使椭圆的方程为的是（ ）A. 离心率为B. 椭圆过点C. D. 长轴长为3【答案】ABC【解析】【分析】根据椭圆的性质逐项计算可得.【详解】因为椭圆的焦距为4，所以，若离心率，则，椭圆的方程为，故A正确；若椭圆过点，则，所以，椭圆的方
12、程为，故B正确；若，解得，椭圆的方程为，故C正确；若椭圆长轴长为，则，故D错误，故选：ABC.12. 已知等比数列的公比，等差数列的首项，若，且，则下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可.【详解】对选项A，因为，所以，故A正确；对选项B，因为，所以或，即或，故B错误；对选项C，D，因为异号，且，所以中至少有一个负数，又因为，所以，故C错误，D正确.故选：AD【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 椭圆的短轴长为_.【答
13、案】【解析】【分析】根据椭圆方程确定焦点位置求解【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，所以，则椭圆的短轴长为.故答案为：14. 已知，且，则的最小值是_.【答案】1【解析】【分析】由基本不等式可得，结合已知即可得解.【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值是1.故答案为：1.15. “，” 为假命题，则实数的最大值为_【答案】【解析】【分析】由已知可得，“，”为真命题，从而有恒成立，结合二次函数的性质可求【详解】由“，”为假命题，可知，“，”为真命题，恒成立，由二次函数的性质可知，则实数，即的最大值为故答案为：.【点睛】本题考查全称命题的否定、不等式恒成立求参数范围，考查转化与化归
14、思想、函数与方程思想的应用，求解时注意等号能否取到16. 椭圆（ab0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_【答案】【解析】【详解】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，.又已知，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭
15、圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 用一根长为10米的绳子围成一个矩形，设矩形的一条边的长为米.（1）所围成的矩形的面积能否大于6平方米，若能，求出的范围；若不能，说明理由（2）求所围成的矩形的面积的最大值.【答案】（1）能，；（2）【解析】【分析】（1）依题意得所围成的矩形的面积为，解不等式即可；（2）求函数即可【详解】（1）依题意得所围成的矩形的面积为，由即，解得；（2）由，当时，；所以所围成的矩形的面积的最大值为18. 记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式;（2）求，并求最小值.【答案】（1
16、）；（2），的最小值为.【解析】【分析】（1）设数列公差，由等差数列求和公式运算可得公差，即可得解；（2）由等差数列的求和公式可得，结合二次函数的性质可得的最小值.【详解】（1）设数列的公差为d，则，解得，所以；（2）由（1）得，则；由，所以当时，取最小值.19. 已知.（1）若，求实数取值范围;（2）请在，恒成立，使得，这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，并解答问题.若_，求实数的取值范围.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）或；（2）选：；选：.【解析】【分析】（1）代入数值，解一元二次不等式即可得解；（2）选：转化条件为，结合基本不等式即可得解；选：转化条件
17、为，结合基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意，即，解得或；（2）选：因为，恒成立，所以，恒成立，即，当时，当且仅当时，等号成立，所以；选：因为，使得，所以，使得，即，当时，当且仅当时，等号成立，所以.20. 已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且成等比数列.（1）求的通项公式;（2）设，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设数列公差，由等差数列的通项、求和公式及等比中项的性质运算即可得解；（2）由裂项相消法运算即可得解.【详解】（1）设数列的公差为，由题意，即，解得， ；（2）由题意，所以.21. 已知椭圆的离心率，并且经过定点（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆
18、的左、右焦点分别为，为上的一点，若三角形为直角三角形，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由椭圆的性质及离心率公式、经过的点运算即可得解；（2）按照、分类，运算即可得解.【详解】（1）设椭圆E的半焦距为c，则，解得，所以椭圆方程为；（2）由（1）得，若，则，代入椭圆方程得，得；若，则，代入椭圆方程得，得；若，则，又，解得，所以综上，或满足题意.22. 如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，（1）求椭圆的离心率；（2）已知的面积为，求a，b的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用，求椭圆的离心率；（2）设，则，利用余弦定理以及已知的面积为，直接求， 的值【详解】解：（1）；（2）设；则，在中， ，面积【点睛】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题
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