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    江苏省淮安市淮安区2020-2021学年高二上期中数学试题(含答案解析)

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    江苏省淮安市淮安区2020-2021学年高二上期中数学试题(含答案解析)

    1、20202021学年度高二数学第一学期期中调研测试试题(时间:120分钟 总分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 命题“”的否定是( )A. B. C. D. 2. 设是椭圆上的动点,则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A. B. C. D. 3. 已知集合,则( )A. B. C. D. 4. 已知等差数列满足,则它的前10项的和A. 138B. 135C. 95D. 235. 古代数学著作九章算术有如下的问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一

    2、天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,若要使织布的总尺数不少于30尺,则至少需要()A. 6天B. 7天C. 8天D. 9天6. “”是“”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知数列中,(),则( )A. B. C. D. 28. 设椭圆两焦点为,若椭圆上存在点,使,则椭圆的离心率的取值范围为.A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9. 下列命题中的真命题是( )

    3、A. B. C. D. 10. 若,则下列不等式中正确的是( )A. B. C. D. 11. 已知椭圆的焦距为4,则能使椭圆的方程为的是( )A. 离心率为B. 椭圆过点C. D. 长轴长为312. 已知等比数列的公比,等差数列的首项,若,且,则下列结论一定正确的是( )A. B. C. D. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 椭圆的短轴长为_.14. 已知,且,则的最小值是_.15. “,” 为假命题,则实数最大值为_16. 椭圆(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_四、解答

    4、题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 用一根长为10米的绳子围成一个矩形,设矩形的一条边的长为米.(1)所围成的矩形的面积能否大于6平方米,若能,求出的范围;若不能,说明理由(2)求所围成矩形的面积的最大值.18. 记为等差数列的前项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)求,并求的最小值.19. 已知.(1)若,求实数取值范围;(2)请在,恒成立,使得,这两个条件中选择一个补充在下面的问题中,并解答问题.若_,求实数的取值范围.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.20. 已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10,且成等比数列.(1)求的通项公

    5、式;(2)设,求的前项和.21. 已知椭圆的离心率,并且经过定点(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左、右焦点分别为,为上的一点,若三角形为直角三角形,求的值.22. 如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,(1)求椭圆的离心率;(2)已知的面积为,求a,b的值20202021学年度高二数学第一学期期中调研测试试题(时间:120分钟 总分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 命题“”的否定是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据否定的定义书写命题即可

    6、.【详解】全称命题的否定“”.故选:C.2. 设是椭圆上的动点,则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a,接利用椭圆的定义,转化求解即可【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2故选C【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,属于基础题3. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合,由此求得.【详解】,解得或,即,所以.故选:B【点睛】本小题主要考查集合交集,考查

    7、一元二次不等式的解法.4. 已知等差数列满足,则它的前10项的和A. 138B. 135C. 95D. 23【答案】C【解析】【详解】试题分析:,考点:等差数列的通项公式和前n项和公式 5. 古代数学著作九章算术有如下的问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,若要使织布的总尺数不少于30尺,则至少需要()A. 6天B. 7天C. 8天D. 9天【答案】C【解析】【分析】由等比数列前项和公式求出这女子第一天织布尺,由此利用等比数列前项和公式能求出要使织布的总尺

    8、数不少于30尺,该女子所需的天数至少为多少天【详解】解:设该女子第一天织布尺,则,解得,前天织布的尺数为:,由,得,解得的最小值为8故选:【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用,属于基础题6. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先由解得,从而可判断.详解】由,可解得,即,由“”是“”的必要不充分条件可得“”是“”的必要不充分条件,故选:B.【点睛】本题主要考查了充分性和必要性的判断,解题的关键是先解出对数不等式的等价条件,属于基础题.7. 已知数

    9、列中,(),则( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由递推关系确定数列的周期,运算即可得解.【详解】因为,(),所以,所以数列的周期为3,又,所以.故选:A.8. 设椭圆的两焦点为,若椭圆上存在点,使,则椭圆的离心率的取值范围为.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系

    10、,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9. 下列命题中的真命题是( )A B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据指数,二次函数,对数,三角函数的性质,逐项判断即可.【详解】A.,根据指数函数值域知正确;B.,取,计算知,错误;C.,取,计算,故正确;D.,的值域为,故正确;故选:10. 若,则下列不等式中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】对A,利用指数函数的单调性;对B,利用基本不等式;对C,

    11、利用不等式的性质;对D,利用基本不等式.进行判断即可.【详解】对A,由指数函数的单调性可知,当,有,故A 正确;对B,当时,不成立,故B错误;对C,当时,不成立,故C错误;对D,成立,从而有成立,故D正确;故选:AD.【点睛】本题考查利用已知函数及基本不等式的应用,求解时注意基本不等式成立的条件,考查分类讨论思想的应用,属于基础试题11. 已知椭圆的焦距为4,则能使椭圆的方程为的是( )A. 离心率为B. 椭圆过点C. D. 长轴长为3【答案】ABC【解析】【分析】根据椭圆的性质逐项计算可得.【详解】因为椭圆的焦距为4,所以,若离心率,则,椭圆的方程为,故A正确;若椭圆过点,则,所以,椭圆的方

    12、程为,故B正确;若,解得,椭圆的方程为,故C正确;若椭圆长轴长为,则,故D错误,故选:ABC.12. 已知等比数列的公比,等差数列的首项,若,且,则下列结论一定正确的是( )A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可.【详解】对选项A,因为,所以,故A正确;对选项B,因为,所以或,即或,故B错误;对选项C,D,因为异号,且,所以中至少有一个负数,又因为,所以,故C错误,D正确.故选:AD【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用,考查学生分析问题的能力,属于中档题.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 椭圆的短轴长为_.【答

    13、案】【解析】【分析】根据椭圆方程确定焦点位置求解【详解】因为,所以椭圆的焦点在轴上,所以,则椭圆的短轴长为.故答案为:14. 已知,且,则的最小值是_.【答案】1【解析】【分析】由基本不等式可得,结合已知即可得解.【详解】因为,所以,当且仅当时,等号成立,所以的最小值是1.故答案为:1.15. “,” 为假命题,则实数的最大值为_【答案】【解析】【分析】由已知可得,“,”为真命题,从而有恒成立,结合二次函数的性质可求【详解】由“,”为假命题,可知,“,”为真命题,恒成立,由二次函数的性质可知,则实数,即的最大值为故答案为:.【点睛】本题考查全称命题的否定、不等式恒成立求参数范围,考查转化与化归

    14、思想、函数与方程思想的应用,求解时注意等号能否取到16. 椭圆(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_【答案】【解析】【详解】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:,.又已知,成等比数列,故,即,则.故.即椭圆的离心率为.【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程,然后化为有关的齐次式方程,进而转化为只含有离心率的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭

    15、圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 用一根长为10米的绳子围成一个矩形,设矩形的一条边的长为米.(1)所围成的矩形的面积能否大于6平方米,若能,求出的范围;若不能,说明理由(2)求所围成的矩形的面积的最大值.【答案】(1)能,;(2)【解析】【分析】(1)依题意得所围成的矩形的面积为,解不等式即可;(2)求函数即可【详解】(1)依题意得所围成的矩形的面积为,由即,解得;(2)由,当时,;所以所围成的矩形的面积的最大值为18. 记为等差数列的前项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)求,并求最小值.【答案】(1

    16、);(2),的最小值为.【解析】【分析】(1)设数列公差,由等差数列求和公式运算可得公差,即可得解;(2)由等差数列的求和公式可得,结合二次函数的性质可得的最小值.【详解】(1)设数列的公差为d,则,解得,所以;(2)由(1)得,则;由,所以当时,取最小值.19. 已知.(1)若,求实数取值范围;(2)请在,恒成立,使得,这两个条件中选择一个补充在下面的问题中,并解答问题.若_,求实数的取值范围.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)或;(2)选:;选:.【解析】【分析】(1)代入数值,解一元二次不等式即可得解;(2)选:转化条件为,结合基本不等式即可得解;选:转化条件

    17、为,结合基本不等式即可得解.【详解】(1)由题意,即,解得或;(2)选:因为,恒成立,所以,恒成立,即,当时,当且仅当时,等号成立,所以;选:因为,使得,所以,使得,即,当时,当且仅当时,等号成立,所以.20. 已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10,且成等比数列.(1)求的通项公式;(2)设,求的前项和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)设数列公差,由等差数列的通项、求和公式及等比中项的性质运算即可得解;(2)由裂项相消法运算即可得解.【详解】(1)设数列的公差为,由题意,即,解得, ;(2)由题意,所以.21. 已知椭圆的离心率,并且经过定点(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆

    18、的左、右焦点分别为,为上的一点,若三角形为直角三角形,求的值.【答案】(1);(2)或.【解析】【分析】(1)由椭圆的性质及离心率公式、经过的点运算即可得解;(2)按照、分类,运算即可得解.【详解】(1)设椭圆E的半焦距为c,则,解得,所以椭圆方程为;(2)由(1)得,若,则,代入椭圆方程得,得;若,则,代入椭圆方程得,得;若,则,又,解得,所以综上,或满足题意.22. 如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,(1)求椭圆的离心率;(2)已知的面积为,求a,b的值【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)直接利用,求椭圆的离心率;(2)设,则,利用余弦定理以及已知的面积为,直接求, 的值【详解】解:(1);(2)设;则,在中, ,面积【点睛】本题考查椭圆的简单性质,余弦定理的应用,考查计算能力,属于中档题


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