1、第十一章 三角形一、单选题（每题3分，共30分）1（2021湖南湘西八年级期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，你认为这样做的道理是（ ）A两点之间，线段最短 B垂线段最短 C三角形具有稳定性 D两直线平行，内错角相等 2（2020浙江八年级期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ）A6B7C8D103（2021广东汕头市八年级一模）下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）A B C D4（2020山西城区初二期末）下列结论中正确
2、的有 （ ）若一个三角形中最大的角是80，则这个三角形是锐角三角形；三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 ；一个三角形最少有一个角不小于60；一个等腰三角形一定是钝角三角形A1个B2个C3个D4个5（2021河南焦作市八年级期末）如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）ABCD6（2021福建莆田市九年级一模）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）A6米B12米C16米D20米7.（2020绵阳市初二期末）如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则A与1+2之间有
3、一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A1+22A B1+2ACA2（1+2） D1+2=12A 8（2021河北保定市九年级一模）嘉淇用一些完全相同的ABC纸片拼接图案，已知用六个ABC纸片按照如图1所示的方法拼接，可得外轮廓是正六边形图案，若用n个ABC纸片按如图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（）A正七边形B正八边形C正九边形D正十边形9（2020四川雅安初一期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下列说法正确的是（ ）ABCD10（2021山东淄博市九年级一模）如图，四边形中，依次是各边中点，是四边形内的一点.若四边形，的面积分别为
4、5，6，7，则四边形的面积为（ ）A5.5B6C6.5D7 二、填空题（每题3分，共24分）11（2021江苏扬州市九年级二模）如图，在坐标系内构造出小正方形的边长均为单位长1的84网格，且点A，B，C都是格点，则的重心坐标为_12（2021北京西城区七年级期末）在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是_ 度，这个多边形的边数是_13（2020江苏崇川八年级期末）如图，AD是ABC的角分平线，CE是ABC的高，BAC=60，BCE=50，点F为边AB上一点，当BDF为直角三角形时，则ADF的度数为_14（2021浙江杭州市八年级期中）如图1，赤道式日晷是中国古代最经
5、典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直； （1）晷针与晷面夹角为_；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为_15（2021河北唐山市九年级二模）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直则_ 16（2020云南师大附中初一期末）在四边形中，与的角平分线交于点，过点作交于点，连接，则_17（2021山东省青岛第二十六中学八年级期中）如图，ABC的面积为1第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1BAB，B1CBC，C1ACA
6、，顺次连接A1，B1，C1，得到A1B1C1第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1A1B1，B2C1B1C1，C2A1C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到A2B2C2，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作 _ 18（2021江苏连云港市中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D若，则_三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）19（2021江苏八年级专题练习）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O（1）若，求的度数；（2）试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性20（2020浙江杭
7、州市八年级月考）如图，在中，是边上的高线（1）若是边上的中线，求的长（2）若是的平分线，求的大小21（2021吉林长春市九年级模拟）图、图、图均是66的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法（1）在图中以线段为边画一个，使其面积为6（2）在图中以线段为边画一个，使其面积为6（3）在图中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且22（2021山西临汾市侯马五中八年级月考）在日常生活中观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使
8、用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形（1）请根据下列图形填写表中空格：正多边形的边数3456正多边形的每个内角的度数（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，使这两种不同的正多边形能铺满地面成一个平面图形？说明你的理由23（2021安徽省宣城市奋飞学校）如图，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图的图
9、形称之为“8字形”如图，在图的条件下，DAB和BCD的角平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题：(1)在图中，请直接写出A，B，C，D之间的数量关系；(2)在图中，若D40，B36，试求P的度数；(3)如果图中D和B为任意角时，其他条件不变，试问P与D，B之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)24（2021河南驻马店市八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“梦想三角形”反之，若一个三角形是“梦想三角形
10、”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 （2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？25（2021山西九年级专题练习）阅读与探究请阅读下列材料，完成相应的任务：凸四边形的性质研究如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等例如，在图
11、1中，凸四边形的对角线，相交于点，且，的面积分别为，则有，证明过程如下：任务：（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2，任意凸四边形的对角线相交于点，分别记，的面积为，求证；（3）如图3，在四边形中，对角线相交于点，则四边形的面积为_26（2021浙江杭州市八年级期中）如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：（1）如图2，当_时，；当_时，；（2）如图，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点M、N时；与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由；若使得，求出、的度数，并直接写出此时的度
12、数；若使得，求的度数范围附加题（1-2题，每题5分， 3-4题每题10分，共30分）1（2021江苏八年级期中）如图，点，分别是边，上一点，连接，交于点，若的面积为18，则与的面积之差等于（ ）A3BCD62（2021苏州外国语学校八年级期中）如图，在中，、分别平分、，M、N、Q分别在、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_3（2020江西省宜春实验中学八年级期中）已知的面积是，请完成下列问题：（1）如图1所示，若是的边上的中线，则的面积_的面积（填“”“”或“”）（2）如图2所示，若，分别是的，边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连接，由得：，同理：，设，则，由题意得：，可列方程
13、组为，解得_，通过解这个方程组可得四边形的面积为_（3）如图3所示，请你计算四边形的面积，并说明理由4（2021江苏镇江市八年级期中）将纸片的一角折叠，使点落在点的位置，折痕为（1）如图1，点落在内的点的位置若，那么与有怎样的位置关系，请说明理由；如图2，、与之间有怎样的数量关系？并说明理由； 连接、，已知、恰好分别平分、（如图3），、与之间有怎样的数量关系，并说明理由； （2）如图4，点落在外的点的位置连接、，如果、恰好分别平分的两个外角，那么、与之间的数量关系是_（请直接写出结果）第十一章 三角形一、单选题（每题3分，共30分）1（2021湖南湘西八年级期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”
14、，你认为这样做的道理是（ ）A两点之间，线段最短 B垂线段最短 C三角形具有稳定性 D两直线平行，内错角相等【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性解答即可【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，故选：C【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，三角形的这个稳定性在生产生活中经常使用2（2020浙江八年级期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意
15、两个螺丝间的距离的最大值为（ ）A6B7C8D10【答案】B【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可【详解】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-465+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-276+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+310，不能构成三角形，此种情况不成立；选6+2、3、4作为三角形，则三边长
16、为8、3、4；而3+48，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7故选：B【点睛】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键3（2021广东汕头市八年级一模）下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）A B C D【答案】B【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，能满足此条件的AD即为所求，依次判断即可【详解】解：A. 所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；C.所作过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；
17、故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法4（2020山西城区初二期末）下列结论中正确的有 （ ）若一个三角形中最大的角是80，则这个三角形是锐角三角形；三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 ；一个三角形最少有一个角不小于60；一个等腰三角形一定是钝角三角形A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据锐角三角形的定义判断；根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断；根据三角形的内角和定理判断；根据等腰三角形的性质判断【解析】解： 若一个三角形中最大的角是80，则这个三角形是锐角三角形，根据锐角三角形的定义可知，本说法正确；三角形的角平
18、分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故此说法错误；如果三角形中每一个内角都小于60，那么三个角三个角的和小于180，与三角形的内角和定理相矛盾，故此说法正确；一个等腰三角形，它的顶角既可以是钝角，也可以是直角或锐角，所以等腰三角形不一定是钝角三角形，此说法错误；正确的说法是，共2个，故选：B【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角形及钝角三角形，熟记定理与性质是解题的关键5（2021河南焦作市八年级期末）如图，为的
19、一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）ABCD【答案】C【分析】由三角形外角性质结合图形，逐项判断即可【详解】，故A选项正确，不符合题意；由三角形外角性质即可直接得出，故B选项正确，不符合题意；没有条件可以证明出和的关系，故C选项错误，符合题意；，故D选项正确，不符合题意；故选C【点睛】本题考查三角形外角性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解答本题的关键6（2021福建莆田市九年级一模）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）A6米B12米C16米D20米【答案】B【分析】根
20、据机器人每次转的方向和角度得出机器人所走过的路线是正多边形，求出正多边形的边数在结合每次走的距离即可解答【详解】根据题意可得，机器人所走过的路线是正多边形，每一次都是左转，向前走米，正多边形的边数为，机器人所走的总路程为（米），故选：B【点睛】本题考查了正多边形的应用，解题关键是根据每次转的方向和角度求出正多边形的边数7.（2020绵阳市初二期末）如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则A与1+2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A1+22A B1+2ACA2（1+2） D1+2=12A【分析】根据折叠得出ADEADE，AEDAED，
21、求出2ADE1801，2AED1802，推出ADE90-121，AED90-122，在ADE中，A180（AED+ADE），代入求出即可【解答】解：如图，延长BD和CE交于A，把ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部，ADEADE，AEDAED，2ADE1801，2AED1802，ADE90-121，AED90-122，在ADE中，A180（AED+ADE），A=121+122，即2A1+2故选：A【点评】本题考查了折叠的性质和三角形的内角和定理的应用，关键是得出等式ADE90-121，AED90-122，A180（AED+ADE）8（2021河北保定市九年级一模）嘉淇用一些完全相同的
22、ABC纸片拼接图案，已知用六个ABC纸片按照如图1所示的方法拼接，可得外轮廓是正六边形图案，若用n个ABC纸片按如图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（）A正七边形B正八边形C正九边形D正十边形【答案】C【分析】根据第一个图外轮廓是正六边形图案可求的ABC纸片的为，则,新多边形的一个内角为，因为是正多边形，利用正多边形的内角和公式即可求解【详解】正六边形的每个内角为：,由题意可知，新的图案是一个正多边形，新多边形的一个内角为设新多边形的边数为 则 故选C【点睛】本题考查了三角形内角和为，正多边形的内角公式，多边形内角和公式，理解题意求出正多边形的一个内角是解题的关键9（2020四川雅
23、安初一期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下列说法正确的是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据，是高，可得,又因为是角平分线，可得，故能得到AEG=DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；因为是中线，是角平分线，得不到HCB=HBC，故该说法错误；,可得EAG=DBA，因为DBA=2EBC，故能得到该说法正确；根据中线平分面积，可得该说法正确【解析】解：，是高,是角平分线AEG=DGBDGB=AGE，故该说法正确；因为是中线，是角平分线，得不到HCB=HBC，故该说法错误；,EAG=DBADBA=2EBC，EAG=2EBC，故该说法正确；根据中线平分面积，可得，故该说
24、法正确故选C【点睛】本题主要考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，熟练各线的特点和性质是解决本题的关键10（2021山东淄博市九年级一模）如图，四边形中，依次是各边中点，是四边形内的一点.若四边形，的面积分别为5，6，7，则四边形的面积为（ ）A5.5B6C6.5D7【答案】B【分析】连接，可以得出，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，由此可以求出S四边形DHOG【详解】解：如图，连接，E、F、G、H依次是各边的中点，和等底等高，同理可证，S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，四边形，的面积分别为5，6，7，解得：，故
25、选：B【点睛】本题考查了关于四边形中点的面积问题，解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论二、填空题（每题3分，共24分）11（2021江苏扬州市九年级二模）如图，在坐标系内构造出小正方形的边长均为单位长1的84网格，且点A，B，C都是格点，则的重心坐标为_【答案】（4，2）【分析】根据重心的定义即可得答案【详解】重心是三角形三边中线的交点，的重心坐标为（4，2），如图，故答案为：（4，2）【点睛】本题考查平面直角坐标系及三角形重心的定义，重心是三角形三边中线的交点；熟练掌握定义是解题关键12（2021北京西城区七年级期末）在一个 边形中，
26、除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是_ 度，这个多边形的边数是_【答案】60 8 【分析】根据未知角的范围和内角和公式求得多边形的边数，再求得未知角的度数即可；【详解】，又即解得：为正整数 故答案为：60,8【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解不等式组，理解题意列不等式组求解是解题的关键13（2020江苏崇川八年级期末）如图，AD是ABC的角分平线，CE是ABC的高，BAC=60，BCE=50，点F为边AB上一点，当BDF为直角三角形时，则ADF的度数为_【答案】20或60【分析】分情况讨论：当BFD=90时，当BDF=90时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可【解析
27、】如图所示，当BFD=90时，AD是ABC的角分平线，BAC=60，BAD=30，RtADF中，ADF=60；如图，当BDF=90时，同理可得BAD=30CE是ABC的高，BCE=50，BFD=BCE=50，ADF=BFDBAD=20，综上所述：ADF的度数为20或60故答案为：20或60【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键14（2021浙江杭州市八年级期中）如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直； （1）晷针与晷面夹角为_；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹
28、角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为_【答案】 【分析】由垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条平行线，即可判断出晷针与晷面垂直，即晷针与晷面夹角为 由平行线的性质即可求出，根据题意可求出，再根据三角形内角和定理即可求出，最后由对顶角相等即可求出，即太阳光与该晷面所夹锐角度为【详解】根据题意晷面与赤道平行，地轴与赤道垂直，地轴与晷面垂直，又晷针与地轴平行，晷针与晷面垂直即晷针与晷面夹角为可将题干中图简化为如下图：根据题意结合图形可知：，即，即，即太阳光与该晷面所夹锐角度为故答案为，【点睛】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理理解题意，能看懂赤道式日晷的二维图形是解答本题的关键15（2021河
29、北唐山市九年级二模）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直则_ 【答案】54【分析】如图，标注字母，先求解正五边形的内角的大小，再利用平行线的性质及角的和差求解 再利用三角形的内角和求解 从而利用平行线的性质可得答案【详解】解：如图，标注字母，由题意得： 故答案为：【点睛】本题考查的是平行线的性质，正多边形的内角和，三角形的内角和，掌握利用平行线结合内角和定理进行计算是解题的关键16（2020云南师大附中初一期末）在四边形中，与的角平分线交于点，过点作交于点，连接，则_【答案】5【分析】设BCE=4x，CBF=5x，设ADE=EDC=y，构
30、建方程组求出x，y，证明CFB=90，再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题【解析】解：，可以假设BCE=4x，则CBF=5x，DE平分ADC，CE平分DCB，ADE=EDC，ECD=ECB=4x，设ADE=EDC=y，ADBF，A+ABF=180，ADC+DCB+CBF=180，2y+13x=180，DEC=115，EDC+ECD=65，即y+4x=65 ，联立解得x=10，y=25，BCF=40，CBF=50，CFB=90，BFEC，CE=2BF，设BF=m，则CE=2m，解得(负值舍去)，CE=2m=5，故答案为5【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，二元
31、一次方程组等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或方程组组解决问题17（2021山东省青岛第二十六中学八年级期中）如图，ABC的面积为1第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1BAB，B1CBC，C1ACA，顺次连接A1，B1，C1，得到A1B1C1第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1A1B1，B2C1B1C1，C2A1C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到A2B2C2，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作 _【答案】4【分析】先根据已知条件求出A1B1C1及A2B2C2的面积，再根据两三角形的
32、倍数关系求解即可【详解】解：ABC与A1BB1底相等（ABA1B），高为1：2（BB12BC），故面积比为1：2，ABC面积为1，SA1B1B2同理可得，SC1B1C2，SAA1C2，SA1B1C1SC1B1C+SAA1C+SA1B1B+SABC2+2+2+17；同理可证SA2B2C27SA1B1C149，第三次操作后的面积为749343，第四次操作后的面积为73432401故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过4次操作故答案为：4【点睛】本题考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可18（2021江苏连云
33、港市中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D若，则_【答案】【分析】连接ED，由是的中线，得到，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可【详解】解：连接ED是的中线，设，与是等高三角形，故答案为：【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）19（2021江苏八年级专题练习）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O（1）若，求的度数；（2）试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性【答案】（1）30；（2）BOC=A+B+C，证明
34、见解析【分析】（1）先利用三角形的外角性质求出BDO=90，再利用三角形内角和定理即可求得B的度数；（2）用三角形外角的性质，表示出BOC，BEC，等量代换最后得出结论【详解】解：，；，；理由：，【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题关键是灵活应用三角形外角的性质20（2020浙江杭州市八年级月考）如图，在中，是边上的高线（1）若是边上的中线，求的长（2）若是的平分线，求的大小【答案】（1）CD4cm；（2）5【分析】（1）根据三角形的面积公式计算三角形的底边BC，再根据三角形中线的性质进行求解;（2）根据三角形内角和定理计算BAC和EAC，再根据角平分线的定义计算出DAC
35、,最后根据角的和差关系进行计算求解即可.【详解】解：（1）AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE3cm，SABC12cm2，SADC6cm2，AECD6，3CD6，解得：CD4（cm）；（2）B40，C50，BAC90，又AD平分BAC，DAC45又AE是边BC上的高EAC40，DAE45405.【点睛】本题主要考查三角形中线，角平分线，高，解决本题的关键是要熟练掌握三角形中重要线段的性质.21（2021吉林长春市九年级模拟）图、图、图均是66的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均
36、在格点上，不要求写出画法（1）在图中以线段为边画一个，使其面积为6（2）在图中以线段为边画一个，使其面积为6（3）在图中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案【详解】解：（1）如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求；（3）如图所示，四边形即为所求；【点睛】考核知识点：作三角形和四边形.利用三角形面积公式求解是关键.22（2021山西临汾市侯马五中八年级月考）在日常生活中观察各种建筑物
37、的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形（1）请根据下列图形填写表中空格：正多边形的边数3456正多边形的每个内角的度数（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，使这两种不同的正多边形能铺满地面成一个平面图形？说明你的理由【答案】（1）60；90；108；
38、120；（2）正三角形、正四边形，正六边形能够铺满地面，（3）正八边形和正四边形；正三角形和正十二边形理由见解析【分析】（1）根据正多边形的性质、多边形的内角和即可求解；（2）根据正多边形的几个内角加在一起能否等于360即可得；（3）选正方形和正八边形；然后根据“几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角”列出方程，根据其整数解的个数即可得出答案【详解】解：（1）当正多边形的边数为3时，正三角形每个内角的度数为=60，当正多边形的边数为4时，正四边形每个内角的度数为=90，当正多边形的边数为5时，正五边形每个内角的度数为=108，当正多边形的边数为6时，正六边形每个内角的度数为=120，当正多
39、边形的边数为n时，正n边形每个内角的度数为，故答案为：60；90；108；120；（2）正三角形、正四边形，正六边形能够铺满地面，正三角形:660360；正四边形:490360；六边形:3120360（3）计算出另外几个正多边形的每个内角， 七边形: 八边形: 九边形: 十边形: 十二边形: 可以选择:正八边形和正四边形；正三角形和正十二边形【点睛】本题考查了正多边形的内角和及应用，较难的是题（3），读懂新定义，正确列出方程是解题关键23（2021安徽省宣城市奋飞学校）如图，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图的图形称之为“8字形”如图，在图的条件下，DAB和BCD的角平
40、分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题：(1)在图中，请直接写出A，B，C，D之间的数量关系；(2)在图中，若D40，B36，试求P的度数；(3)如果图中D和B为任意角时，其他条件不变，试问P与D，B之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)【答案】（1）A+D=B+C；（2）38；（3）2P=B+D【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；（2）根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；（3）根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得
41、，然后整理即可得证【详解】解：（1）在中，在中，（对顶角相等），；（2），、分别是和的角平分线，又，；（3）根据“8字形”数量关系，所以，、分别是和的角平分线，整理得，【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键24（2021河南驻马店市八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“梦想三角形”反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 （2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？【答案】（1）或；（2），都是“梦想三角形”，理由见解析【分析】（1）分两种情形：当108是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可（2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：AOB、AOC都是“梦想三角形”【详解】解
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