1、2.22.2 平方根平方根/ / 2.2 2.2 平方根平方根( (第第2 2课时课时) ) 北师北师大大版版 数学数学 八年级八年级 上册上册 2.22.2 平方根平方根/ / 1.什么叫做算术平方根？什么叫做算术平方根？ 2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们 的算术平方根的算术平方根. . 100； 1； 36 121; ; 0; ; - -0.0025; ; ( (- -3) ) 2 ; ; - -25； ； 导入新知导入新知 如如果一个果一个正数正数x的平方等于的平方等于a, ,那么这个正数那么这个正数x叫做叫做a的的 算
2、术平方根算术平方根. 2.22.2 平方根平方根/ / （1）32= = ，（，（3）2= = ； （2） 2 3 2 = = ， 2 3 2 = = ； （3）0.82= = ，（，（0.8）2= = . 9 0.64 0.64 3. 填空填空 9 讨论讨论 反过来反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？ 导入新知导入新知 4 9 4 9 2.22.2 平方根平方根/ / 1.了解了解平方根的概念；掌握平方根的平方根的概念；掌握平方根的特征特征. 2.能能正确正确区分区分平方根与算术平方根的意义平方根与算术平方根的意义. 素养目标素养目标 3.能能利
3、用开平方与平方互为逆运算的关系，利用开平方与平方互为逆运算的关系， 求某些求某些非负数的平方根非负数的平方根. 2.22.2 平方根平方根/ / 问题问题 9的算术平方根是的算术平方根是3，也就是说，也就是说3的平方是的平方是9，还有其他还有其他数数， 它它的平方等于的平方等于9吗吗？ 3和和-3有什么特征？有什么特征？ 由于由于（- -3）2= =9 ，所以还有，这个数是，所以还有，这个数是- -3. 因此平方等于因此平方等于9的数有两个，的数有两个，3和和- -3. 3和和- -3互为相互为相 反数，会不反数，会不 会是巧合呢会是巧合呢? ? 探究新知探究新知 知识点 1 平方根的概念和特
4、征平方根的概念和特征 2.22.2 平方根平方根/ / ( (1) ) 0.8的平方等于的平方等于0.64，那么，那么0.64的算术平方根就是的算术平方根就是_ ( (2) ) 2 5的平方等于 的平方等于 4 25， ，那么那么 4 25的 的算术平方根就是算术平方根就是_ ( (3) ) 展厅地面为正方形，其面积是展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边长为，则其边长为_m. . 0.8 7 探究新知探究新知 做一做，想一想做一做，想一想 问题问题 平方平方等于等于0.64， 4 25， ，49的数还有吗的数还有吗？ 2 5 2.22.2 平方根平方根/ / 写出左圈和右圈中的“？”表
5、示的数：写出左圈和右圈中的“？”表示的数： - -11 11 0.6 0 没有没有 x2 x 8 -8 ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ - -4 - -0.6 64 121 0.36 0 探究新知探究新知 填一填，填一填，想一想想一想 3 4 - -3 4 9 16 2.22.2 平方根平方根/ / 根据根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定 的数的数. .我们抽象出下述概念：我们抽象出下述概念： 例如：例如： ( (1) )2= =1，1的平方根为的平方根为1. 探究新知探究新知 一般地，如果有一个数一般地，如果有一个数x的平方等
6、于的平方等于a，即，即x2= =a，那么这个，那么这个 数数x叫叫做做a的的平方根（平方根（也叫作也叫作二次方根）二次方根）. . 2.22.2 平方根平方根/ / 1. 121的平方根是什么？的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？的平方根是什么？ 4. - -9有没有平方根？为什么？有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负没有，因为一个数的平方不可能是负数数. . 探究新知探究新知 3. 16 49的平方根是什么 的平方根是什么？ 11 4 7 2.22.2 平方根平方根/ / 通过这些题目的解答，你能发现什么通过这些题目的解答，你能发现什么? ? 问题问题 （1）正
7、数有几个平方根？）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？有几个平方根？ （3）负数呢？）负数呢？ 有没有一个数有没有一个数 的平方是负数？的平方是负数？ 因为因为任何实数的平方都为非负数，所以任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根负数没有平方根， 也没有算术平方根也没有算术平方根. . 探究新知探究新知 2.22.2 平方根平方根/ / 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 平平方根的方根的性质性质： 1.正数正数有有两两个平方根，两个平方个平方根，两个平方根根互互为相反数为相反数. 2.0的平方根还是的平方根还是0. 3.负数没有负数没有平方根平方根. 2.22.2 平方根平方根/
8、/ 探究新知探究新知 根号根号 被开方数被开方数 根指数根指数 可以省略可以省略 知识点 2 平方根的读法和表示平方根的读法和表示 非负数非负数a的平方的平方根表示为：根表示为： 正数正数a有两个有两个平方根，一个是平方根，一个是a的算术的算术平方根平方根 a，另一个另一个是是 - - a. .它们互为相反数它们互为相反数. .这两个平方根这两个平方根合起来记合起来记作作 a，读作读作 “正、负根号正、负根号a”.”. a 2 2.22.2 平方根平方根/ / 例如例如 探究新知探究新知 5的平方根表示的平方根表示为：为： 4的平方根表示的平方根表示为：为： 25 36的平方根表示 的平方根表
9、示为：为： 0的的平方根表示平方根表示为为: : 规定规定: : 0的平方根为的平方根为0. + + 0= =0. - - 0= =0 0 25 36 ， ， 25 36= = 5 6 5， 4， 4= =2 2.22.2 平方根平方根/ / 求下列各数的平方根求下列各数的平方根: : ( (3) ) 0.0004 ( (5) ) 11 ( (4) ) (2) ( (1) )64 ( (2) ) 49 121 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 求平方根求平方根 例 （- -25）2 2.22.2 平方根平方根/ / 探究新知探究新知 497 = 12111 （2）因为因为 ，所以所以 的
10、平方根是的平方根是 即即 . 121 49 11 7 2 749 = 11121 （） （3）因为）因为(0.02)2=0.0004 ，所以，所以0.0004的平方根的平方根 是是0.02,即即 0.0004=0.02 解解: : （1） 因为因为（8）2= =64 ，64的平方根为的平方根为8, , 即即 . . 648 2.22.2 平方根平方根/ / 探究新知探究新知 （4）因为）因为(25)2=（-25）2，所以（，所以（-25）2的平方根的平方根 是是25,即即 . 2 -25=25（） （5）11的平方根的平方根是是 . 11 2.22.2 平方根平方根/ / 求下列各数的平方根：
11、求下列各数的平方根： （1）81； （2） ； （3）0.49; 解解：（1）因为因为 ( (9) )2= =81， （3）因为因为( (0.7) )2=0.49， 所以所以0.49的平方根为的平方根为0.7 所以所以81的平方根为的平方根为9 巩固练习巩固练习 即即 . . 819 （2）因为因为 , 2 416 525 所以所以 的的平方根是平方根是 ， 16 255 4 即即 . . 164 255 即即 . . 0.490.7 16 25 变式训练变式训练 2.22.2 平方根平方根/ / +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 平方平方 已知一个数，求它的平方的运算，叫作已知
12、一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算平方运算. . 知识点 2 平方与开方的关系平方与开方的关系 探究新知探究新知 2.22.2 平方根平方根/ / +1 - -1 +2 - -2 +3 - -3 1 4 9 ？运算？运算 反之，已知一个数的平方，求这个数的运算反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？是什么？ 求一个数求一个数的平方根的平方根的运算叫作的运算叫作开平方开平方. . 探究新知探究新知 2.22.2 平方根平方根/ / 开平方与平方是什么关系？开平方与平方是什么关系？ a的平方根的平方根 底底 数数 幂幂 被开方数被开方数 ax 互为互为 逆运算逆运算 ax 2 指数指数
13、根号根号 已知底数和指数求幂已知底数和指数求幂 已知幂和指数求底数已知幂和指数求底数 开 平 方 运 算 开 平 方 运 算 平 方 运 算 平 方 运 算 探究新知探究新知 2.22.2 平方根平方根/ / 开平方开平方与与平方的对比填空平方的对比填空 正正 数数 与与 零零 任 何 数 任 何 数 2 a 2 幂幂 平平 方方 根根 开 方 开 方 平 方 平 方 运算运算 符号符号 适用适用 范围范围 运算结运算结 果名称果名称 性质性质 正数有正数有 个平方根个平方根,它们是它们是 , 零的平方根是零的平方根是 , 负负数数 . 正数的平方是正数的平方是 数数; 零的平方是零的平方是
14、; 负数的平方是负数的平方是 数数. 正正 正正 0 2 互为相反数互为相反数 0 没有平方根没有平方根 探究新知探究新知 2.22.2 平方根平方根/ / 1.包含关系：平方根包含算术平方根，算包含关系：平方根包含算术平方根，算术术 平方平方根是平方根的一种根是平方根的一种. . 平方根与算术平方根的联系与区别：平方根与算术平方根的联系与区别： 2.只有非负数才有平方根和算术平方根只有非负数才有平方根和算术平方根. . 3. 0的平方根是的平方根是0，算术平方根也是，算术平方根也是0. 区别：区别： 1.个个数不同：一个正数有两个平方根，数不同：一个正数有两个平方根， 但但只有一个算术平方根
15、只有一个算术平方根. . 联系：联系： 探究新知探究新知 2.表表示法不同：平方根表示为：示法不同：平方根表示为： 而算术平方根表示而算术平方根表示为为 . ，a a 2.22.2 平方根平方根/ / 例例 求下列各式的值：求下列各式的值： 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 开平方的有关计算开平方的有关计算 解解：（1） ； 366 （2） ； 0.810.9 （3） . . 497 93 49 360 81 9 ；.（1） （2） （3） 2.22.2 平方根平方根/ / 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 _;) 3( 2 22 68_ 169 100 _ 13 10 3 10 求求
16、下列各式的下列各式的值值. . 2.22.2 平方根平方根/ / 探究新知探究新知 2 (0)aa a 64 7.2 a 49 121 想一想想一想 2 7 2. 2. 等于多少？等于多少？ 2 64 2 49 121 1. 等于多少？等于多少？ 等于等于多少多少？ 2 a 3.对于正数对于正数a, , 等于多少？等于多少？ 2.22.2 平方根平方根/ / 探究新知探究新知 做一做，想一想做一做，想一想 _(_,_,_, ) 6 5 5 . 032 2 222 2 222 _,_, (_, (_ 5 ( 2)( 3)0.5) 6 2 _ a 2 3 0.5 2 3 0.5 5 6 5 6 a
17、 2.22.2 平方根平方根/ / 探究新知探究新知 小结小结 a a2 a 0 - -a ( (a0) ) ( (a= =0) ) ( (a0) ) 不一不一定相等，只有当定相等，只有当a0时，它们才时，它们才相等相等. 当当a0 时，时， 没有没有意义意义. 2 ()a 2 2 ()aa 之间有什么关系？一定相等吗？之间有什么关系？一定相等吗？ 与与 2.22.2 平方根平方根/ / 2. 化简化简 的结果是的结果是（ ） A- -4 B4 C 4 D2 1. 若若一个数的平方等于一个数的平方等于5，则这个数，则这个数等于等于_ B 连接中考连接中考 5 42 2.22.2 平方根平方根/
18、 / 1.下列说法正确的是下列说法正确的是_ -3是是9的平方根的平方根; 25的平方根是的平方根是5; - -36的平方根是的平方根是- -6; 平方根等于平方根等于0的数是的数是0; 64的算术平方根是的算术平方根是8. B 2.下列说法不正确的是下列说法不正确的是_ A.0的平方根是的平方根是0 B.- -22的的平方根是平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 2.22.2 平方根平方根/ / 3. 判判断下列说法是否
19、正确断下列说法是否正确. . 正确正确. . （4）( (- -4) )2的平方根是的平方根是- -4. （1） 是是 的一个平方根；的一个平方根； 5 7 25 49 （2） 是是6的算术平方根的算术平方根； 6 （3） 的值是的值是4； 16 正确正确. . 不正确，不正确，是是4. 不正确，不正确，是是4. . 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2.22.2 平方根平方根/ / 4.求求下列各式的值：下列各式的值： 289（1） 0.0625（2） （3） 121 64 课堂检测课堂检测 解解:（1） 28917 （2） - 0.0625-0.25 （3） 1211
20、1 648 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2.22.2 平方根平方根/ / 1.a的一个平方根是的一个平方根是3，则另一个平则另一个平方根是方根是 ，a= . 2.81的平方根是的平方根是_， 的算术平方根是的算术平方根是_ . 3.3a- -2和和2a- -3是一个正数的两个平方根是一个正数的两个平方根，则这两个平方则这两个平方 根是根是_和和_，这个数是这个数是_. 81 - -3 9 93 1 - -1 1 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 2.22.2 平方根平方根/ / 一一个正数的两个平方根分别是个正数的两个平方根分别是2a1和和a4， 求这个数求这个数 解：解：由于一个正数的两个平方根是由于一个正数的两个平方根是2a1和和a4， 则有则有2a1a40，即，即3a30， 解解得得a1. 所以这个数为所以这个数为(2a1)2(21)29. 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 2.22.2 平方根平方根/ / 平方根平方根 平方根的平方根的概念概念 开平方及相关开平方及相关运算运算 平方根的平方根的性质性质 课堂小结课堂小结 2.22.2 平方根平方根/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
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