1、2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 2.7 2.7 二二次根式次根式 ( (第第1 1课时课时) ) 北师大版北师大版 数学数学 八八年年级级 上册上册 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 导入新知导入新知 某某手机手机操作系统操作系统的图标为圆角矩形，长为的图标为圆角矩形，长为 cm，宽，宽 为为 cm，则它的面积是多少呢？，则它的面积是多少呢？ 5 3 35如何计算如何计算 ？ 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 1. 了解了解二次根式二次根式的概念及的概念及二次根式二次根式有意义有意义的的 条件条件. 2. 理解理解最简二次根式最简二次根式的定义并会识别的定义并会识别. 素养
2、目标素养目标 3. 会运用二次根式的会运用二次根式的乘法法则乘法法则和和积的算术平积的算术平 方根方根的性质进行简单运算的性质进行简单运算. 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 根指数都为根指数都为2; ; 被开方数为非负数被开方数为非负数. . 这些式子有什么共同特征？这些式子有什么共同特征？ )25,24( )(, 121 49 ,2 . 7,11, 5cbbcbc其中 探究新知探究新知 知识点 1 二次根式的概念二次根式的概念 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 两个必备特征两个必备特征 外貌特征：含有“外貌特征：含有“ ” 内在特征：被开方数内在特征：被开方数a 0 一般地，我
3、们把形如一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式. “ ”. “ ”称为二次根号称为二次根号. . (0)aa 提示：提示：a可以是数，也可以是式可以是数，也可以是式. . 探究新知探究新知 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 例例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解：解： ( (1)()(4)()(6) )均是二次根式均是二次根式，其中，其中x2+4属于“非负数属于“非负数+ +正正 数”的形式一定大于零数”的形式一定大于零. .( (3)()(5) )( (7) )均不是二次根式均不是二次根式. . 是否含二是否含二 次根
4、号次根号 被开方数是被开方数是 不是非负数不是非负数 二次二次 根式根式 不是二次根式不是二次根式 是是 是是 否否 否否 分析：分析： 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式利用二次根式的定义识别二次根式 （1） ； （2）81； （3） ；（；（4） （5） （6） ；（；（7） 148 . 0-3 (0)x x (0 m mnn n ， 异号，） 2 4x 3 15 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 下列下列各式是二次根式吗各式是二次根式吗? ? 是是 是是 是是 是是 是是 巩固练习巩固练习 （1） （2） （3） （4） （6） （5） （7）
5、（8） （9） （10） 3212- 不是不是 3 8 不是不是 24 a 不是不是 )0(-mm12 a 不是不是 2 23aa 1- 2 x 不是不是 24 3 1 变式训练变式训练 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 例例2 当当x是怎样的实数时是怎样的实数时, , 在实数范围内有意义在实数范围内有意义? ? 2x 解：解：由由x-200，得，得 x2. 当当x2时，时， 在实数范围内有意义在实数范围内有意义. . 思考思考 当当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：解：由题意得由题意得x-10， 所以所以x1. 探究新知探究
6、新知 素养考点素养考点 2 利用二次根式有意义的条件求字母利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围的取值范围 （1） 1 1 x 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 解解：因为被开方数因为被开方数需大于或等于零，需大于或等于零， 所以所以x+30，即，即x-3. 因为分母因为分母不能等于零，不能等于零， 所以所以x-10，即，即x1. . 所以所以x-3 且且x1. . 归纳小结归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需要使二次根式在实数范围内有意义，即需 满足满足被开方数被开方数00，列不等式求解即可，列不等式求解即可. .若二次根式为若二次根式为 分式的分母时，应同时考虑分式的分母
7、时，应同时考虑分母不为零分母不为零. . 探究新知探究新知 （2） 1 3 x x 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / x取何值时取何值时, ,下列二次根式有意义下列二次根式有意义? ? 3 x 2 1 x 巩固练习巩固练习 xx31（1） （2） x1 x0 （3） 1 x （4） x为全体实数为全体实数 x0 （5） （6） x0 x0 x-1且且x2 ( (7) ) 0 )2( 3 1 x x x （9） 1 2 x x0 x为全体实数为全体实数 ( (8) ) x x2 2 4x 变式训练变式训练 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / （1） ， ； ， ； ， ； ， 6 6
8、20 20 94 94 25162516 9 4 9 4 25 16 25 16 你发现了什你发现了什 么？么？ 探究新知探究新知 知识点 2 二次根式的运算法则二次根式的运算法则 做一做做一做 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / ， 6.480 ； （2）用计算器计算：）用计算器计算： ， 6.480 0.9255 0.9255 76 76 7 6 7 6 你有何你有何 发现？发现？ 探究新知探究新知 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / （a0，b0） ， （a0， b0） abab aa bb 商的算术平方根等于算术平方根的商的算术平方根等于算术平方根的商商. . 积的算术平方根等
9、于算术平方根的积的算术平方根等于算术平方根的积积. . 探究新知探究新知 归纳小结归纳小结 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 化化简简: : 解解：( (1) ) ( (2) ) ( (3) ) （1） ； （2） ；（3） . . 6481625 25525 6;66 81649 82178;64 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用二次根式的积的算术平方根进行计算利用二次根式的积的算术平方根进行计算 例例1 50 25 2252055 2. 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 化化简简: : 提示：提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的化简二次根式，就要把被开方数中的平
10、方数平方数 （或平方式）（或平方式）从根号里开从根号里开出来出来. . 巩固练习巩固练习 （1） 12（2） 1527（3） 3 4a 解解: : 2 4 323122 3 （1） 2 59959 3515327 （2） aa2 223 42aaa （3） 变式训练变式训练 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 解解: : 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 利用二次根式的商的算术平方根进行计算利用二次根式的商的算术平方根进行计算 化简：化简：（1） （2） （3） 例例2 （1） 55 ; 39 5 9 5 ; 9 2 ; 7 1 . 3 2271 14; 77777 2 （2） 13
11、1 3. 33 1 33 （3） 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 化简：化简： （7） 9 25 2）（ 2 1 3）（ 巩固练习巩固练习 解：解： 变式训练变式训练 49 1 16 （） 255 39 25 ; 9 （2） 122 22 1 . 22 （3） （1） 497 41 49 16 ; 6 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 2 32 4 73 3. 53 ， 特点：特点：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式. . 最简二次根式：最简二次根式： 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方一般地，被开方数不含分母
12、，也不含能开得尽方 的因数或因式，这样的二次根式，叫做的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式最简二次根式. . 讨论讨论 探究新知探究新知 知识点 3 最简二次根式的概念最简二次根式的概念 右边一组数有哪些特点？右边一组数有哪些特点？ 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 最简二次根式的条件：最简二次根式的条件： 是是二次二次根式；根式； 被开方数中被开方数中不含分母不含分母； 被开方数中不含能被开方数中不含能开得尽方开得尽方的因数或因式的因数或因式 探究新知探究新知 条件总结条件总结 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 例例 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式
13、？下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？ 不是最简二次根式的，请说明理由不是最简二次根式的，请说明理由 解：解：( (1) )不是不是，因为被开方数中含有分母因为被开方数中含有分母 ( (3) )不是不是, ,因为因为被开方数是小数被开方数是小数( (即含有分母即含有分母) ) ( (4) )不是不是，因为被开方数因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数中含有能开得尽方的因数4，422. ( (5) )不是不是，因为因为x36x29xx(x26x9)x(x 3)2，被开方数中含被开方数中含 有能开得尽方的因式有能开得尽方的因式 ( (6) )不是不是, ,因为因为分母中有二次根
14、式分母中有二次根式 . 23 23 )6( ;96)5( ;24)4( ;2 . 0)3( ;2)2( ; 3 1 ) 1 ( 232 xxxxx 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 识别最简二次根式识别最简二次根式 ( (2) )是是 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 方法点拨方法点拨 判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法： 利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断： ( (1) )被开方数被开方数不含分母不含分母，即被开方数必须是整数即被开方数必须是整数( (式式) )； ( (2
15、) )被开方数被开方数不含能开得尽方的因数不含能开得尽方的因数( (式式) )，即被开方数即被开方数 中每个因数中每个因数( (式式) )的指数都小于的指数都小于根指数根指数2；另外还要具备；另外还要具备 分母中不含二次根式的条件分母中不含二次根式的条件 探究新知探究新知 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 判断下列各式是否为最简二次根式？判断下列各式是否为最简二次根式？ 125 . 4 3 （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） （1） （ ） 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 （5） （ ） （6） （ ） 2 ab 2 288xx 1 2 2.7 2.7 二次根式二次根式/
16、 / 1. 下列式子中下列式子中，为最简二次根式的是，为最简二次根式的是（ ） A B C D B 2 1 2412 2. 要使要使 有意义，则实数有意义，则实数x的取值范围是（的取值范围是（ ） Ax1 Bx0 Cx1 Dx0 1x A 连接中考连接中考 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 1.要使式子要使式子 有意义，有意义，a的取值范围是（的取值范围是（ ） A. a 0 B. a-2且且a 0 C. a-2或或a 0 D. a-2且且a 0 2下列式子一定是二次根式的是（下列式子一定是二次根式的是（ ） A B C D 3.下列根式中，不是最简二次根式的是（下列根式中，不是最简二次
17、根式的是（ ） A B C D a a2 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 D 2 x x2 2 x2 2 x C 73 2 2 1 C 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 4. 计算计算： 解解： 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 （1） ; ）（）（169-144-（2） . 4 1 16 4 a （1） ）（）（169-144- 169144 =1213 =156; （2） 4 1 16 4 a 4 16 4 1 a 2 1 4 4 a=a2. 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 5. 化简：化简： . )5(53)3( ;72. 0)
18、2( ;363) 1 ( 3 解：解： 若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简 提示：提示： 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 (1) 363121 31211;133 2 72723626 (2) 0.722; 10010100 3 5 10 2 3 2(3) 35 ( 5)524 13413.13 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 课堂检测课堂检测 1.若若 ，则，则 （ ） Ax6 Bx0 C0 x6 Dx为一切实数为一切实数 66x xxxA 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2.当当1a2时，代数式时，代数
19、式 的值是的值是( ( ) ) A1 B1 C2a3 D32a aa 1)2( 2 B 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / （1） ；（；（2） 化简化简： 22 5328 322 6900 xx yxyxy, , 解：解：（1） 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 53285328()()()() 53285328 2 3x xy()() 22 5328 （2） 322 69xx yxy 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 二次根式二次根式 定义定义 带有带有二次根号二次根号 在有意义条在有意义条 件下求字母件下求字母 的取值范围的取值范围 抓住被开方数必须为抓住被开方数必须为 非负数非负数，从而建立不，从而建立不 等式求出其解集等式求出其解集. . 被开方数为被开方数为非负数非负数 积的算术平积的算术平 方根方根 最简二次根式最简二次根式 课堂小结课堂小结 商的算术平商的算术平 方根方根 (00)aababb， (00 aa bb ab，） 2.7 2.7 二次根式二次根式/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
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