2021年河南省商丘市梁园区中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2021 年河南省商丘市梁园区中考数学一模试卷年河南省商丘市梁园区中考数学一模试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将 正确选项的代号字母填入题后括号内 1. 的绝对值是（ ） A B C2 D2 2.如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3.如图所示，该物体的左视图可能为（ ） A B C D 4.下列运算正确的是（ ） A5ab53ab3b2 B （3ab3）26a2b5 C2a 2 D4 5.在一次中学生田径运动会上，参加跳远的 15 名运动员的成绩如下表所示 成绩

2、（米） 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ） A4.65、4.70 B4.65、4.75 C4.70、4.75 D4.70、4.70 6.已知点 A（3，y1） ，B（4，y2） ，C（3，y3）均在抛物线 y2x24x+m 上，下列说法中正确的是（ ） Ay3y2y1 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y2y3 7.一个不透明的袋子中装有标号为 1，2，3，的三个小球，这三个小球除标号外其余均相同，随机取出一个 小球记下标号，放回洗匀后再取出一个小球记下标号，两次所取球的标号相同的概率为（ ）

3、 A B C D 8.如图， 菱形 ABCD 中， 对角线 AC、 BD 交于点 O， 点 E 为 AB 的中点， 连接 OE， 若 OE3， ADC60， 则 BD 的长度为（ ） A6 B6 C3 D3 9 如图，在平面直角坐标系中，A（3，0） ，B（0，4） ，将AOB 绕点 O 顺时针旋转一定角度得到COD， 点 A，B 的对应点分别为点 C，D，若 OD 恰好经过 AB 的中点 E，则点 D 的坐标为（ ） A （，） B （，） C （，） D （，） 10 如图， 已知 AD 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的高， AD1， DC， 将ADC 绕着点 D 逆时针旋转， 得D

4、EF，点 A、C 分别与点 E、F 对应，当 EF 与直线 AB 重合时，设 AC 与 DF 相交于点 O，那么由线 段 OC、OF 和弧 CF 围成的阴影部分的面积为（ ） A+ B C+ D 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11 计算：|2| 12 如图，已知 l1l2l3，直线 l4、l5被这组平行线所截，且直线 l4、l5相交于点 E，已知 AEEF1，FB 3，则 13 不等式组的最小整数解是 14 如图 1，E 为矩形 ABCD 边 AD 上的一点，点 P 从点 B 沿折线 BEEDDC 运动到点 C 时停止点 Q 从 点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止， 它们运动

5、的速度都是 2cm/s 若 P、 Q 同时开始运动， 设运动时间为 t （s） ， BPQ 的面积为 y（cm2） ，已知 y 与 t 的函数关系图象如图 2，则 sinEBC 15 如图，在 RtABC 中，A90，AC6，AB8，点 D 为 BC 上一个动点，将ABC 绕点 D 逆时针 旋转一定角度（0至 180之间）得到EFG，点 A，B，C 的对应点分别是 E，G，F，EF 交 BC 于点 H，若DFH 为直角三角形且 CDBH，则 CD 的长为 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16 先化简，再求值： （），其中 x2+ 17 某校为了提高学生学习国学的积极性， 举

6、办了首届 “国学知识大赛” ， 该校所有学生均参加初赛 初赛中， 将国学相关知识设置为 100 分试卷，学生的分数均为 50 分以上，为了解学生对国学的掌握情况，学校抽 取一部分学生成绩将其按分数段分为五组，绘制出不完整表格： 组别 成绩 x（分） 频数（人数） 频率 一 50 x60 2 0.04 二 60 x70 10 0.2 三 70 x80 14 b 四 80 x90 a 0.32 五 90 x100 8 0.16 请根据表格提供的信息，解答以下问题： （1）学校共抽取 名学生进行分析； （2）直接写出表中 a ，b ； （3）请补全相应的频数分布直方图； （4）若该校共 3000 名

7、学生，初赛成绩不低于 80 分为优秀，则本次大赛达到优秀的学生有多少人？ 18 如图，以 AB 为直径的O 交 RtABC 斜边 AC 于点 E，过 O 作 ODAC 交 BC 于点 D，连接 DE （1）求证：DE 为O 的切线； （2）若 AB4，连接 BE，OE 当CAB 的度数为 时，AEBOED； 当 OD 时，四边形 OBDE 为正方形 19 如图，A，B 为两个村庄，一架无人机从 A 村庄正上方沿 CD 飞行，A，B，C，D 在同一铅垂平面内无 人机在 C 处测得村庄 B 的俯角为 37，飞行 10 千米到达点 D 后测得村庄 B 的俯角为 45，求村庄 A， B 的距离 （精确

8、到 0.1 千米，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75） 20 如图，直线 ykx+b（k0）经过点 C（5，0） ，且与反比例函数 y（m0）的图象相交于 A（3， n） 、B 两点，已知ACOCAO （1）求直线 ykx+b（k0）与反比例函数 y（m0）的解析式； （2）点 M 为 x 轴上异于点 O 的一点，若BCO 的面积与BCM 的面积相等，求点 M 的坐标 21 某校为改善教师的办公环境，计划购进 A，B 两种办公椅共 100 把经市场调查：购买 A 种办公椅 2 把， B 种办公椅 5 把，共需 600 元；购买 A 种办公椅 3 把，B 种办公

9、椅 1 把，共需 380 元 （1）求 A 种，B 种办公椅每把各多少元？ （2）因实际需要，购买 A 种办公椅的数量不少于 B 种办公椅数量的 3 倍学校与中标公司签订的合同 中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其它因素） ，实际付款总金额按市场价九折优惠请设计一种 购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用 22 问题发现： （1）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，C90，点 O 为 AB 的中点，点 M 为 AC 上一点，将射线 OM 绕点 O 顺时针旋转 90交 BC 于点 N，则 OM 与 ON 的数量关系为 ； 问题探究： （2）如图 2，在等腰三角形 ABC

10、中，C120，点 O 为 AB 的中点，点 M 为 AC 上一点，将射线 OM 绕点 O 顺时针旋转 60交 BC 于点 N，则 OM 与 ON 的数量关系是否改变，请说明理由； 问题解决： （3）如图 3，点 O 为正方形 ABCD 对角线的交点，点 P 为 DO 的中点，点 M 为直线 BC 上一点，将射 线 OM 绕点 O 顺时针旋转 90交直线 AB 于点 N，若 AB4，当PMN 的面积为时，直接写出线段 BN 的长 23 如图，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D （1）求出抛物线解析式； （2）如图 1，在

11、 x 轴存在一个动点 E，当 CE+DE 的长有最小值时，求点 E 的坐标； （3） 如图 2， 点 P 为抛物线上一个动点， 直线 AC 上的有一动点 F， 点 M 为坐标平面上一个动点， 若 A， P，F，M 四点构成的四边形为正方形时，请直接写出点 P 的坐标 2021 年河南省商丘市梁园区中考数学一模试卷年河南省商丘市梁园区中考数学一模试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将 正确选项的代号字母填入题后括号内 1. 的绝对值是（ ） A B C2 D2 【考点】绝对值 【专题】计算题 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义即可求解

12、【解答】解：| 故选：A 2.如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形；中心对称图形 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及 中心对称图形的定义分别结合选项判断即可得出答案 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误 故选：B 3.如图所示，该物体的左视图可能为（ ） A B

13、C D 【考点】简单组合体的三视图 【专题】投影与视图；几何直观 【答案】B 【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从左面看，是一行两个并列的矩形（左边的是正方形，右边的是长方形） 故选：B 4.下列运算正确的是（ ） A5ab53ab3b2 B （3ab3）26a2b5 C2a 2 D4 【考点】算术平方根；幂的乘方与积的乘方；整式的除法；负整数指数幂 【专题】实数；整式；运算能力 【答案】A 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则、积的乘方与幂的乘方的运算法则、负整数指数幂的性质、 算术平方根的定义分别化简得出答案 【解答】解：A、

14、5ab53ab3b2，原计算正确，故此选项符合题意； B、 （3ab3）29a2b6，原计算错误，故此选项不符合题意； C、2a 2 ，原计算错误，故此选项不符合题意； D、4，原计算错误，故此选项不符合题意 故选：A 5.在一次中学生田径运动会上，参加跳远的 15 名运动员的成绩如下表所示 成绩（米） 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ） A4.65、4.70 B4.65、4.75 C4.70、4.75 D4.70、4.70 【考点】中位数；众数 【专题】统计与概率；数据分析观念 【答案】C 【分

15、析】根据中位数、众数的定义即可解决问题 【解答】解：把分数从低到高排列，第八个人把总人数分为左右相等的两部分，第八个人对应的分数是 4.70，所以中位数是 4.70；分数 4.75 出现最多为 4 次，所以众数是 4.75 故选：C 6.已知点 A（3，y1） ，B（4，y2） ，C（3，y3）均在抛物线 y2x24x+m 上，下列说法中正确的是（ ） Ay3y2y1 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y2y3 【考点】二次函数的性质 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力 【答案】D 【分析】求得抛物线对称轴为直线 x1，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数 值就越大，

16、即可得到答案 【解答】解：抛物线 y2x24x+m， 抛物线的开口向上，对称轴是直线 x1， 抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大， 点 C（3，y3）离对称轴最远，点 A（3，y1）离对称轴最近， y1y2y3 故选：D 7.一个不透明的袋子中装有标号为 1，2，3，的三个小球，这三个小球除标号外其余均相同，随机取出一个 小球记下标号，放回洗匀后再取出一个小球记下标号，两次所取球的标号相同的概率为（ ） A B C D 【考点】列表法与树状图法 【专题】概率及其应用；应用意识 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球的标号相同的情况数，即可求出所求的概 率

17、【解答】解：树状图如下： P（小刚两次所记的数字相同） 故选：C 8.如图， 菱形 ABCD 中， 对角线 AC、 BD 交于点 O， 点 E 为 AB 的中点， 连接 OE， 若 OE3， ADC60， 则 BD 的长度为（ ） A6 B6 C3 D3 【考点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质 【专题】多边形与平行四边形 【答案】A 【分析】利用三角形中位线定理求出 AD，再在 RtAOD 中，解直角三角形求出 OD 即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ADC60， ACBD，OAOC，OBOD，ADOCDO30， AEEB，BOO

18、D， AD2OE6， 在 RtAOD 中，AD6，AOD90，ADO30， ODADcos303， BD2OD6， 故选：A 9 如图，在平面直角坐标系中，A（3，0） ，B（0，4） ，将AOB 绕点 O 顺时针旋转一定角度得到COD， 点 A，B 的对应点分别为点 C，D，若 OD 恰好经过 AB 的中点 E，则点 D 的坐标为（ ） A （，） B （，） C （，） D （，） 【考点】坐标与图形变化旋转 【专题】一次函数及其应用；平移、旋转与对称；推理能力 【答案】C 【分析】求直线 OD 的解析式：yx，设 D（m，m） ，再根据 ODOB4，构建方程求出 m 即可 【解答】解：A

19、（3，0） ，B（0，4） ，AEEB， E（，2） ， 直线 OD 的解析式为 yx， 设 D（m，m） ， ODOB4， m2+（m）216， m或（舍弃） ， D（，） ， 故选：C 10 如图， 已知 AD 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的高， AD1， DC， 将ADC 绕着点 D 逆时针旋转， 得DEF，点 A、C 分别与点 E、F 对应，当 EF 与直线 AB 重合时，设 AC 与 DF 相交于点 O，那么由线 段 OC、OF 和弧 CF 围成的阴影部分的面积为（ ） A+ B C+ D 【考点】等腰三角形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；

20、平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；运算能力 【答案】D 【分析】由已知可求ACD30，当 EF 与直线 AB 重合时，可知FDC60，COD90，阴影 部分的面积等于圆心角是 60 度，半径是 CD 的扇形面积减去直角三角形 COD 的面积 【解答】解：AD1，DC，ADBC， ACD30， 等腰三角形 ABC， B30， 当 EF 与直线 AB 重合时， FDC60， COD90， ODCD，OCCDsin60， 阴影部分的面积 故选：D 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11 计算：|2| 【考点】实数的运算 【专题】推理填空题 【答案】见试题解答内容 【分析】首先计算开方，

21、然后计算减法，求出算式的值是多少即可 【解答】解：|2| 22 0 故答案为：0 12 如图，已知 l1l2l3，直线 l4、l5被这组平行线所截，且直线 l4、l5相交于点 E，已知 AEEF1，FB 3，则 【考点】平行线分线段成比例 【专题】图形的相似 【答案】见试题解答内容 【分析】由 l1l2，根据根据平行线分线段成比例定理可得 FGAC；由 l2l3，根据根据平行线分线段 成比例定理可得 【解答】解：l1l2，AEEF1， 1， FGAC； l2l3， ， ， 故答案为 13 不等式组的最小整数解是 【考点】一元一次不等式组的整数解 【专题】一元一次不等式(组)及应用 【答案】见试

22、题解答内容 【分析】先求出不等式组的解集，再结合解集得出答案 【解答】解：解不等式 2x3，得：x1.5， 所以不等式组的解集为1.5x3， 则不等式组的最小整数解为 x1， 故答案为：x1 14 如图 1，E 为矩形 ABCD 边 AD 上的一点，点 P 从点 B 沿折线 BEEDDC 运动到点 C 时停止点 Q 从 点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止， 它们运动的速度都是 2cm/s 若 P、 Q 同时开始运动， 设运动时间为 t （s） ， BPQ 的面积为 y（cm2） ，已知 y 与 t 的函数关系图象如图 2，则 sinEBC 【考点】动点问题的函数图象 【专题】代数几何综合题

23、；数形结合；运算能力；推理能力 【答案】 【分析】根据图象可以得到 BC 的长度，作辅助线 EFBC 于点 F，由于 EFCD 的长，从而可以得到 sinEBC 的值 【解答】解：由图象可知， BCBE8216， 作 EFBC 于点 F，作 PMBQ 于点 M，如下图所示， 由图象可知，三角形 PBQ 的最大面积为 20， ， 解得 EF， ， 故答案为 15 如图，在 RtABC 中，A90，AC6，AB8，点 D 为 BC 上一个动点，将ABC 绕点 D 逆时针 旋转一定角度（0至 180之间）得到EFG，点 A，B，C 的对应点分别是 E，G，F，EF 交 BC 于点 H，若DFH 为直

24、角三角形且 CDBH，则 CD 的长为 【考点】勾股定理；旋转的性质 【专题】平移、旋转与对称；推理能力 【答案】或 3 【分析】由旋转性质知：CDDF，FC，设 CDDFx，在 RtABC 中，由勾股定理可得 BC 10，则 DH102x，在 RtDFH 中，分DHF90或HDF90时， 分别利用三角函数进行计算 【解答】解：由旋转性质知：CDDF，FC， 设 CDDFx， 则 BHCDx， DHBCCDBHBC2x， 在 RtABC 中， A90，AC6，AB8， BC10， DH102x， sinC， 在 RtDFH 中，当DHF90时， sinFsinC， ， 解得：x， 在 RtDF

25、H 中，当HDF90时， tanFtanC， ， 解得：x3， 故答案为：或 3 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16 先化简，再求值： （），其中 x2+ 【考点】分式的化简求值 【答案】见试题解答内容 【分析】先进行通分，再把除法转化成乘法，然后约分，最后把 x 的值代入计算即可 【解答】解： （）（+） ， 当 x2+时，原式2+2 17 某校为了提高学生学习国学的积极性， 举办了首届 “国学知识大赛” ， 该校所有学生均参加初赛 初赛中， 将国学相关知识设置为 100 分试卷，学生的分数均为 50 分以上，为了解学生对国学的掌握情况，学校抽 取一部分学生成绩将其按分

26、数段分为五组，绘制出不完整表格： 组别 成绩 x（分） 频数（人数） 频率 一 50 x60 2 0.04 二 60 x70 10 0.2 三 70 x80 14 b 四 80 x90 a 0.32 五 90 x100 8 0.16 请根据表格提供的信息，解答以下问题： （1）学校共抽取 名学生进行分析； （2）直接写出表中 a ，b ； （3）请补全相应的频数分布直方图； （4）若该校共 3000 名学生，初赛成绩不低于 80 分为优秀，则本次大赛达到优秀的学生有多少人？ 【考点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图 【专题】统计的应用；应用意识 【答案】 （1）50； （2）16，0.2

27、8； （3）见解答； （4）48% 【分析】 （1）根据表格中的数据可以求得本次决赛的学生数； （2）根据（1）中决赛学生数，可以求得 a、b 的值； （3）根据（2）中 a 的值，可以将频数分布直方图补充完整； （4）根据表格中的数据可以求得本次大赛的优秀率 【解答】解： （1）由表格可得， 本次决赛的学生数为：100.250， 故答案为：50； （2）a500.3216，b14500.28， 故答案为：16，0.28； （3）补全的频数分布直方图如右图所示， （4）由表格可得， 决赛成绩不低于 80 分为优秀率为： （0.32+0.16）100%48% 18 如图，以 AB 为直径的O 交

28、 RtABC 斜边 AC 于点 E，过 O 作 ODAC 交 BC 于点 D，连接 DE （1）求证：DE 为O 的切线； （2）若 AB4，连接 BE，OE 当CAB 的度数为 时，AEBOED； 当 OD 时，四边形 OBDE 为正方形 【考点】圆的综合题 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关 的位置关系；推理能力；应用意识 【答案】 （1）见解答； （2）当CAB60时，AEBOED；当 ODBE 时，四边形 OBDE 为正方形 【分析】 （1）连接 OE，BE，BE 与 OD 相交于点 M，根据圆周角定理和 ODAC 得 OD 垂

29、直平分线段 BE，再证明DEODBO （SSS） ，即可证明DEO90，即证 DE 为O 的切线； （2）由CAB60，OAOE 可得AOE 是等边三角形，再由 ODAC 即可证明AEBOED （ASA） ；由 OAOB，ODAC 以及 BEOD 即可证明ABC 是等腰直角三角形，即可证明四边形 OBDE 为正方形 【解答】 （1）证明：如图，连接 OE，BE，BE 与 OD 相交于点 M， AB 是O 的直径， AEB90， BEAC， ODAC， ODBE， OBOE， EMBM， OD 垂直平分线段 BE， DEDB， ODOD， DEODBO （SSS） ， DEODBO， ABC 是

30、以 AC 为斜边的直角三角形， ABC90， DEO90， DE 为O 的切线； （2）解：当CAB60时，AEBOED，理由如下： CAB60，OAOE， AOE 是等边三角形， AEOEAB60，AEOE， ODAC， DOEAEO60 EABEOD60 AEBOED90， AEBOED （ASA） ； 当 ODBE 时，四边形 OBDE 为正方形，理由如下： OAOB，ODAC， CDBD， ODAC， BEOD， BEAC， BEAC AECE， ABC 是等腰直角三角形， ABCB， OBDB， DEDB， EOBODBDE， 四边形 OBDE 为菱形， ABC90， 四边形 OBD

31、E 为正方形 故答案为：60；BE 19 如图，A，B 为两个村庄，一架无人机从 A 村庄正上方沿 CD 飞行，A，B，C，D 在同一铅垂平面内无 人机在 C 处测得村庄 B 的俯角为 37，飞行 10 千米到达点 D 后测得村庄 B 的俯角为 45，求村庄 A， B 的距离 （精确到 0.1 千米，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识 【答案】村庄 A，B 的距离约为 5.7km 【分析】过点 B 作 BECD 于点 E，构造矩形 ABEC、直角ABC 和直角BED设 ABxkm

32、，CEAB xkm，DE（10 x）km通过解直角ABC 求得 x 的值 【解答】解：如图，过点 B 作 BECD 于点 E， 设 ABxkm，则 CEABxkm，DE（10 x）km 在直角BED 中，D45，则 BEEDAC（10 x）km 在直角ABC 中，tan37，则0.75 AB5.7 即村庄 A，B 的距离约为 5.7km 20 如图，直线 ykx+b（k0）经过点 C（5，0） ，且与反比例函数 y（m0）的图象相交于 A（3， n） 、B 两点，已知ACOCAO （1）求直线 ykx+b（k0）与反比例函数 y（m0）的解析式； （2）点 M 为 x 轴上异于点 O 的一点，

33、若BCO 的面积与BCM 的面积相等，求点 M 的坐标 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力 【答案】 （1）一次函数的解析式为 yx+，反比例函数为 y； （2）M（10，0） 【分析】 （1）作 ADx 轴于 D，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得 A 的坐标，然后根据待定系数法 即可求得，直线 ykx+b（k0）与反比例函数 y（m0）的解析式； （2）根据面积相等得出 CMCO5，从而得出 M（10，0） 【解答】解： （1）作 ADx 轴于 D， A（3，n） ， OD3，ADn， 点 C（5，0） ， OC5， ACOCAO

34、， OAOC5， 在 RtAOD 中，OA2AD2+OD2， 5232+n2， n4， A（3，4） ， 反比例函数 y（m0）的图象经过 A（3，4） ， m3412， 反比例函数为 y， 把 A（3，4） ，B（5，0）代入 ykx+b（k0）得， 解得， 一次函数的解析式为 yx+； （2）点 M 为 x 轴上异于点 O 的一点，若BCO 的面积与BCM 的面积相等， CMCO5， M（10，0） 21 某校为改善教师的办公环境，计划购进 A，B 两种办公椅共 100 把经市场调查：购买 A 种办公椅 2 把， B 种办公椅 5 把，共需 600 元；购买 A 种办公椅 3 把，B 种办

35、公椅 1 把，共需 380 元 （1）求 A 种，B 种办公椅每把各多少元？ （2）因实际需要，购买 A 种办公椅的数量不少于 B 种办公椅数量的 3 倍学校与中标公司签订的合同 中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其它因素） ，实际付款总金额按市场价九折优惠请设计一种 购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；应用意识 【答案】 （1）A 种办公椅 100 元/把，B 种办公椅 80 元/把； （2）当购买 75 把 A 种办公椅，2

36、5 把 B 种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为 8550 元 【分析】 （1） 设 A 种办公椅 x 元/把， B 种办公椅 y 元/把， 根据 “购买 A 种办公椅 2 把， B 种办公椅 5 把， 共需 600 元；购买 A 种办公椅 3 把，B 种办公椅 1 把，共需 380 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方 程组，解之即可得出结论； （2）设购买 A 种办公椅 m 把，则购买 B 种办公椅（100m）把，根据购买 A 种办公椅的数量不少于 B 种办公椅数量的 3 倍，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，设实际所花费 用为 w 元，利用实际

37、花费单价总价折扣率，即可得出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的 性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设 A 种办公椅 x 元/把，B 种办公椅 y 元/把， 依题意得：， 解得： 答：A 种办公椅 100 元/把，B 种办公椅 80 元/把 （2）设购买 A 种办公椅 m 把，则购买 B 种办公椅（100m）把， 依题意得：m3（100m） ， 解得：m75 设实际所花费用为 w 元，则 w100m+80（100m）0.918m+7200 k180， w 随 m 的增大而增大， 当 m75 时，w 取得最小值，最小值1875+72008550，此时 100m25 答：当购买

38、75 把 A 种办公椅，25 把 B 种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为 8550 元 22 问题发现： （1）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，C90，点 O 为 AB 的中点，点 M 为 AC 上一点，将射线 OM 绕点 O 顺时针旋转 90交 BC 于点 N，则 OM 与 ON 的数量关系为 ； 问题探究： （2）如图 2，在等腰三角形 ABC 中，C120，点 O 为 AB 的中点，点 M 为 AC 上一点，将射线 OM 绕点 O 顺时针旋转 60交 BC 于点 N，则 OM 与 ON 的数量关系是否改变，请说明理由； 问题解决： （3）如图 3，点 O 为正方形 ABC

39、D 对角线的交点，点 P 为 DO 的中点，点 M 为直线 BC 上一点，将射 线 OM 绕点 O 顺时针旋转 90交直线 AB 于点 N，若 AB4，当PMN 的面积为时，直接写出线段 BN 的长 【考点】四边形综合题 【专题】几何综合题；应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）连接，OC，证明AOMCON（ASA）可得结论 （2）数量关系不变如图 2 中，过点 O 作 OKAC 于 K，OJBC 于 J，连接 OC证明OKMOJN （AAS）可得结论 （3）如图 3 中，过点 P 作 PGAB 于 G，PHBC 于 H证明MOCNOB（SAS） ，推出 CMBN， 设 CMBNm

40、，根据 SPMNSPBM+SBMNSPBN，构建方程求解即可当点 M 在 CB 的延长 线上时，同法可求 【解答】解： （1）如图 1 中，结论：OMON 理由：连接 OC CACB，ACB90，AOOB， COOAOB，OCAB，AB45，BCOACO45 AOCMON90， AOMCON， ACON， AOMCON（ASA） ， OMON 故答案为 OMON （2）数量关系不变 理由：如图 2 中，过点 O 作 OKAC 于 K，OJBC 于 J，连接 OC ACB120，OKCOJC90， KOJ60MON， MKONOJ， CACB，OAOB， OC 平分ACB， OKCA，OJCB，

41、 OKOJ， OKMOJN90， OKMOJN（AAS） ， OMON （3）如图 3 中，过点 P 作 PGAB 于 G，PHBC 于 H 四边形 ABCD 是正方形， ABAD4，BAD90， BDAB4， ODOB2，PDOP， PB3， 四边形 PGBH 是正方形， PGPH3， MONCOB90， MOCNOB， OMON，OCOB， MOCNOB（SAS） ， CMBN，设 CMBNm， SPMNSPBM+SBMNSPBN， （4+m） 3+m （4+m）m3， 整理得：m2+4m130， 解得 m2 或2（舍弃） ， BN2 当点 M 在 CB 的延长线上时，同法可得 BN+2

42、综上所述，满足条件的 BN 的值为2 或+2 23 如图，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D （1）求出抛物线解析式； （2）如图 1，在 x 轴存在一个动点 E，当 CE+DE 的长有最小值时，求点 E 的坐标； （3） 如图 2， 点 P 为抛物线上一个动点， 直线 AC 上的有一动点 F， 点 M 为坐标平面上一个动点， 若 A， P，F，M 四点构成的四边形为正方形时，请直接写出点 P 的坐标 【考点】二次函数综合题 【专题】函数的综合应用；推理能力 【答案】 （1）yx22x+3； （2）E（，0） ； （3

43、）点 P（1，0）或（2，5） 【分析】 （1）将 A（3，0） ，B（1，0）代入抛物线解析式即可； （2）作点 D 关于 x 轴的对称点 D（1，4） ，则 CE+DE 的最小值为 DC 的长，根据两点之间，线段 最短得：连接 CD交 x 轴即为点 E； （3）由题意知OAC45，若 A，P，F，M 四点构成的四边形为正方形时，则APF 为等腰直角三 角形，分 AF 为正方形的对角线和边两种情况，分别画图计算 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0）两点， ， ， 抛物线的解析式为：yx22x+3； （2）如图 1，顶点 D 的坐标为（1

44、，4） ，点 C 的坐标为（0，3） ， 作点 D 关于 x 轴的对称点 D（1，4） ， CE+DE 的最小值为 DC 的长，根据两点之间，线段最短得：连接 CD交 x 轴即为点 E， 设 CD的解析式为：ykx+b， ， ， y7x+3， 当 y0 时，x， E（，0） ； （3）A（3，0） ，C（0，3） ， OAOC3， OAC 是等腰直角三角形， OAC45， 若 A，P，F，M 四点构成的四边形为正方形时，则APF 为等腰直角三角形， 当 AF 为正方形对角线时，即 AF 为等腰直角三角形的斜边时，如图，此时点 P与 B 重合，P（1，0） ； 当 AF 为正方形的边时，即 AF 为等腰直角三角形的直角边时，如图， FAP90， OAC45， OAOC， C（0，3） ， 直线 AC的函数解析式为：yx3， x3x22x+3， 解得 x12，x23（舍） ， P（2，5） ， 综上：点 P（1，0）或（2，5）