1、7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 7.5 7.5 三角形的内角三角形的内角和定理和定理 （第第1 1课时）课时） 北师北师大大版版 数学数学 八年级八年级 上册上册 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 我的形状最我的形状最 小，那我的小，那我的 内角和最小内角和最小. . 我的形状最我的形状最 大，那我的大，那我的 内角和最大内角和最大. . 不对，我有一不对，我有一 个钝角，所以个钝角，所以 我的内角和才我的内角和才 是最大的是最大的. . 一天一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了，三类三角形通过对自身的特点，讲出了 自己对三角形内角和的
2、理解，请同学们作为小判官自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官 给它们评判一下吧给它们评判一下吧. . 情情 境境 引引 入入 导入新知导入新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角会用平行线的性质与平角的定义证明三角 形内角和形内角和等于等于180 2. 会运用三角形内角和定理进行会运用三角形内角和定理进行计算计算. 素养目标素养目标 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180. . 与三角形的形状、大小无关
3、，所以它们的说法都是错误的与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. . 思考思考 除了除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和 为为180呢呢? ? 折叠折叠 还可以用拼接还可以用拼接 的方法，你知的方法，你知 道怎样操作吗？道怎样操作吗？ 探究新知探究新知 知识点 1 三角形的内角和定理三角形的内角和定理 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 剪拼剪拼 A B C 2 1 （小组合作，讨论剪拼方法小组合作，讨论剪拼方法.各小组代各小组代表表 演演式式剪剪拼过程拼过程） 探究新知探究新知 7.5 7.5
4、三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. . 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说 明明. .从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接还有其他的拼接 方法吗？方法吗？ 三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. . 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / l 验证结论 三角形三个内角的
5、和等于180. 求证：求证：A+B+C=180. 已知已知：ABC. 证法证法1：过点过点A作作lBC， B=1. (两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等) C=2. (两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等) 2+1+BAC=180， B+C+BAC=180. 1 2 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 证证法法2：延长延长BC到到D，过点过点C作作 CEBA， A=1 .(两直线平行，内两直线平行，内 错角相等错角相等) B=2.(两直线平行，同位两直线平行，同位 角相等角相等) 又又1+2+ACB=180， A+B+ACB=18
6、0. C B A E D 1 2 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / C B A E D F 证法证法3：过过D作作DEAC,作作DFAB. C=EDB,B=FDC. (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等) A+AED=180, AED+EDF=180， (两直线平行，同旁内角相补两直线平行，同旁内角相补) A=EDF. EDB+EDF+FDC=180， A+B+C=180. 想一想想一想 同学们同学们还有其他的方法吗？还有其他的方法吗？ 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 思考思考 多种多种方法证明
7、三角形内角和等于方法证明三角形内角和等于180的核心是什么？的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，借助平行线的“移角”的功能， 将三个角转化成一个平角将三个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试试一试 同学们同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 探究新知探究新知 7.5 7.5 三
8、角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 知识要点知识要点 在在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画 的线叫做辅助线的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结思路总结 为了为了证明三个角的和为证明三个角的和为180,转化为一个平角或转化为一个平角或 同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线作辅助线 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 如图所示如图所示，在在ABC中中，B=38，C=62，AD是是
9、ABC的角平分线的角平分线，求求ADB的度数的度数. . A B C D 探究新知探究新知 三角形内角三角形内角和的和的应用应用 知识点 2 例 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / A B C D 解：解：在在ABC中，中，B+C+BAC=180（三角（三角 形内角和定理）形内角和定理）. B=38，C=62（已知（已知），）， BAC=180-38-62=80（等式的性质）（等式的性质）. AD平分平分BAC（已知）（已知） BAD=CAD= BAC= 在在 ADB中中,B+BAD+ADB=180（三角形内角和定理）（三角形内角和定理）. B=38（已知（已知）,BA
10、D=40（已证（已证）, ADB=180-38-40=102（等式的性质）（等式的性质）. 80=40 （角平分线的定义角平分线的定义） 探究新知探究新知 1 2 1 2 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 如如图，在图，在ABC中，中， BAC=40 , B=75 ,AD是是 ABC的角平分线，求的角平分线，求ADB的度数的度数. A B C D 解：解：由由BAC=40 , AD是是ABC的角平分线，得的角平分线，得 BAD= BAC=20 . 1 2 在在ABD中中， ADB=180-B-BAD =180-75-20 =85. 巩固练习巩固练习 7.5 7.5 三
11、角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 例例1 如如图，图，ABC中，中，D在在BC的延长线上，过的延长线上，过D作作DEAB于于 E，交，交AC于于F.已知已知A30，FCD80，求，求D. 解：解：DEAB， FEA90 在在AEF中中，FEA90，A30， AFE180FEAA60. 又又CFDAFE， CFD60. 在在CDF中中，CFD60，FCD80， D180CFDFCD40. 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用三角形的内角和定理求角的度数利用三角形的内角和定理求角的度数 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 直线直线l1l2，把把一块一块含含4
12、5角的直角三角的直角三角尺角尺如图放置，如图放置， 185，则，则2_ 40 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 例例2 在在ABC 中，中， A 的度数是的度数是B 的度数的的度数的3倍，倍， C 比比B 大大15，求，求A，B，C的度数的度数. 解解:设设B为为x，则，则A为为(3x)， C为为(x 15)， 从而有从而有 3x x (x 15) 180. 解得解得 x 33. 所以所以 3x 99 ， x 15 48. 答：答： A， B， C的度数分别为的度数分别为99， 33，48. 几何问题借助几何问题借助 方程来解方程来
13、解. 这这 是一个重要的是一个重要的 数学思想数学思想. 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 方程的思想与三角形内角和相结合的题目方程的思想与三角形内角和相结合的题目 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 在在ABC中，中，A :B:C=1:2:3，则，则ABC是是 _三角形三角形 ； 在在ABC中，中，A=35， B=43 ，则，则C= ； 在在ABC中，中， A= B+10, C= A + 10, 则则A= ， B= ， C= . 102 直角直角 60 50 70 巩固练习巩固练习 完成下列各完成下列各题：题： 变式训练变式训练 7.5 7.5 三角形三角形的内
14、角和定理的内角和定理/ / 北北 . A D 北 北 . C B . 东东 E 例例3 如图，如图，C岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东50方向，方向，B岛在岛在A 岛的北偏东岛的北偏东80 方向，方向，C岛在岛在B岛的北偏西岛的北偏西40 方方 向向.从从B岛看岛看A,C两岛的视角两岛的视角ABC是多少度？从是多少度？从C岛岛 看看A、B两岛的视角两岛的视角ACB是多少度？是多少度？ 探究新知探究新知 素养考点素养考点 3 利用三角形的内角和定理解决实际利用三角形的内角和定理解决实际问题问题 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 解：解： CAB= BAD- CAD=80
15、-50=30. 由由AD/BE,得得BAD+ ABE=180 . 所以所以ABE=180 - BAD=180-80=100, ABC= ABE- EBC=100-40=60. 在在ABC中中， ACB=180 - ABC- CAB =180-60-30 =90, 答：答：从从B岛看岛看A,C两岛的视角两岛的视角ABC是是60 ,从从C岛看岛看A,B两岛的视角两岛的视角 ACB是是90. 北北 . A D 北 北 . C B . 东东 E 探究新知探究新知 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 如图，一艘渔船在如图，一艘渔船在B处测得灯塔处测得灯塔A在北偏东在北偏东60的方
16、的方 向，另一艘货轮在向，另一艘货轮在C处测得灯塔处测得灯塔A在北偏东在北偏东40的方的方 向，那么在灯塔向，那么在灯塔A处观看处观看B和和C处时的视角处时的视角BAC是是 多少度？多少度？ 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 解：解：因为在因为在B处测得灯塔处测得灯塔A在北偏东在北偏东60的的方向方向, 所以所以ABD60. 又因为又因为DBE90， 所以所以ABE90ABD906030. 因为在因为在C处测得灯塔处测得灯塔A在北偏东在北偏东40的方向，的方向， 所以所以ACE904050. 所以所以BACACEABE503020.
17、 即在灯塔即在灯塔A处观看处观看B和和C处时的视角处时的视角BAC是是20. 巩固练习巩固练习 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 1. 在在ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ） A必有一个内角等于必有一个内角等于30 B必有一个内角等于必有一个内角等于45 C必有一个内角等于必有一个内角等于60 D必有一个内角等于必有一个内角等于90 D 2.三角形的内角和等于三角形的内角和等于（ ） A90 B180 C270 D360 B 连接中考连接中考 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 1.求出下
18、列各图中的求出下列各图中的x值值 40 70 x x x x 2x x 25 45 20 x x=70 x=60 x=30 x=50 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 3.如图，则如图，则1+2+3+4=_ . B A C D 4 1 3 2 E 40 280 课堂检测课堂检测 2.在在ABC中，若中，若A=30，B=50， 则则C= 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 100 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 如如图，四边形图，四边形ABCD中，点中，点E在在BC上上,A+ADE=1
19、80， B=78，C=60，求，求EDC的度数的度数 解：解：A+ADE=180， ABDE. CED=B=78. 又又C=60, EDC=180-（CED+C） =180-（78+60） =42 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 如如图，在图，在ABC中，中，BP平分平分ABC，CP平分平分ACB，若，若 BAC=60，求，求BPC的度数的度数 解：解：ABC中中，A=60, ABC+ACB=120. BP平分平分ABC，CP平分平分ACB， PBC+PCB= （ABC+ACB）=60. PBC+PCB+BPC=180, BPC=180-60=120. 1 2 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握： 求角度求角度 证法证法 应用应用 转化为一个平角转化为一个平角 或同旁内角互补或同旁内角互补 辅助线辅助线 三角形的三角形的 内角和等内角和等 于于180 课堂小结课堂小结 7.5 7.5 三角形三角形的内角和定理的内角和定理/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
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