1、第 2 课时 利用两边及一角的关系判定三角形相似关键问答如果已知两边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？如果已知两边成比例且有一组对应角相等，那么这两个三角形相似吗？1 能判定ABCDEF 的条件是( )A. B. ，AFABDE ACDF ABDE ACDFC. ，BE D. ，ADABDE ACDF ABDE ACDF2如图 4411，在三角形纸片 ABC 中，AB9，AC 6，BC 12，沿虚线剪下的阴影部分的三角形与ABC 相似的是( )图 4411命题点 1 利用两边成比例且夹角相等证明两三角形相似 热度：93%32017景德镇模拟 如图 4412，在四边形 ABCD 中，如果
2、ADCBAC，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是( )图 4412ADACABC BCA 是BCD 的平分线CAC 2BC CD D. ADAB DCAC4 如图 4413，点 A，B，C ，D，E，F，G ，H ，K 都是 87 的方格纸中的格点，为使DEMABC，则点 M 应是 F，G，H，K 四点中的( )图 4413A点 F B点 G C点 H D点 K方法点拨判定相似三角形的基本思路：条件中若有一对等角，可再找一对等角或证明夹这对等角的两组边对应成比例5 2017兴庆模拟如图 4 414，在等边三角形 ABC 中，D 为 AC 的中点， ，则和 AED(不包含AED)相
3、似的三角形有( )AEEB 13图 4414A1 个 B2 个 C3 个 D4 个易错警示考虑问题要全面，不要漏解6 如图 4415，已知 P 是边长为 5 的正方形 ABCD 内一点，且 PB3，BFBP于点 B， 若在射线 BF 上找一点 M，使得以点 B，M，C 为顶点的三角形与ABP 相似，则 BM 的值为( )图 4415A3 B. C3 或 D3 或 5253 253易错警示对应边是否已经确定？7 如图 4416，在ABC 中，AB9，AC 6，点 E 在边 AB 上且 AE3，点 F在边 AC 上，连接 EF，若 AEF 与ABC 相似，则 AF _图 4416解题突破要使AEF
4、 与ABC 相似 ，由于本题没有说明对应关系 ，故采用分类讨论法有两种可能：AEFABC； AEFACB.8 已知：如图 4417，E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且BAC BDCDAE.图 4417求证：(1)ABEACD；(2)BCADDEAC.方法点拨由两角分别相等判定两个三角形相似是判定三角形相似的所有方法中最常见的方法，关键是找准对应角，公共角、对顶角、同(等) 角的余角(或补角)一般是对应角，解题时应注意挖掘题且中的隐含条件命题点 2 相似三角形的判定的应用 热度：87%9如图 4418，M，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打
5、一直线涵洞工程人员为了计算工程量，必须计算 M，N 两点之间的直线距离，选择测量点 A，B，C ，点 B，C 分别在 AM，AN 上，现测得 AM1 千米，AN 1.8千米，AB54 米、BC45 米、 AC30 米，求 M，N 两点之间的直线距离图 441810 如图 4419，在ABC 中，ABAC ，P，D 分别是 BC，AC 边上的点，且APDB.(1)求证：ACCD CP BP；(2)若 AB10，BC12，当 PDAB 时，求 BP 的长图 4419方法点拨证明比例式或等积式的基本方法是证明三角形相似，然后列出比例式，有时需要进行适当的变形11. 已知：如图 4420，在ABC 中
6、，ABAC ，D，E 分别是边 AC，AB 的中点，DFAC ，DF 与 CE 相交于点 F，AF 的延长线与 BD 相交于点 G.(1)求证：AD 2 DGBD；(2)连接 CG，求证： ECBDCG .图 4420方法点拨证明比例式或等积式的基本方法是证明比例式或等积式中的四条线段所在的两个三角形相似如果不易直接证明，那么可通过等线段转换或等比转换之后再证明12 如图 4421，在OAB 和OCD 中，A1)，AOBCOD，OAB 与OCD 互补试探索线段 AB 与 CD 之间的数量关系，并证明你的结论图 4421解题突破已知一对相等的角和一组对应边的比，我们应如何构造相似三角形？13 已
7、知：如图 4422，在矩形 ABCD 中，AB3 cm，BC6 cm.某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1 cm/s 的速度向 B 点匀速运动，同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2 cm/s 的速度向 A 点匀速运动(1)经过多长时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？19(2)是否存在某一时刻 t，使以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 4422解题突破(1)可设运动时间为 x s，根据运动速度表示出所涉及线段的长度，由面积关系列方程求解；(2)先假设存在，利用相似三角形中的比例线段列出方程 ，
8、若方程有解且解符合题意即可说明存在，反之则不存在详解详析【关键问答】如果已知两边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果已知两边成比例且有一组对应角相等，那么这两个三角形不一定相似1D 2.B3C 解析 在ADC 和BAC 中，ADCBAC，如果ADCBAC，需满足的条件有：DACABC 或 CA 是BCD 的平分线； .故选 C.ADAB DCAC4C 解析 设小方格的边长均为 1.根据题意知DEM ABC，AB4， AC6，DE2，DE AB DM AC ， DM 3，点 M 就是点 H.故选C.5C 解析 ABC 是等边三角形，ABACBC.又D 是 AC 的中点，BD AC，ABD
9、30，AD AC12. ，AEAB14，AEEB 13AEAD 12ADAB.又AA，AED ADB ，AEDADB90.AC60，CDBCAEAD12，AEDCDB.AEDDEB90，ADE DBE30，AED DEB.故选 C.6C 解析 四边形 ABCD 是正方形，ABC90，AB BC 5.又PBF 90，ABP CBF90 CBP.若ABP MBC，则 ，ABPB BMBC即 ，解得 BM ；53 BM5 253若ABP CBM，则 ，ABPB BCBM即 ，解得 BM3.故选 C.53 5BM72 或 4.58证明：(1)BACDAE，BAE CAD.BACBDC，AOBCOD，A
10、BE ACD，ABEACD.(2)ABEACD， ，即 .ABAC AEAD ABAE ACAD又BACDAE，ABC AED ， ，BCAD DEAC.BCDE ACAD9解：在ABC 与ANM 中，AA ， ， ，ACAB 3054 59 AMAN 11.8 59 ，即 ，ACAB AMAN ACAM ABAMABCANM， ，即 ，ACBC AMMN 3045 1MN解得 MN1.5(千米)M，N 两点之间的直线距离是 1.5 千米10解：(1)证明：ABAC，B C.APDB，APD BC.APCBAPB，APC APDDPC，BAP DPC，ABPPCD， ，ABCDCPBP.BPC
11、D ABCPABAC， ACCDCP BP.(2)PD AB，APDBAP.APDC，BAP C .BB ，BAPBCA， .BABC BPBAAB10，BC 12， ，BP .1012 BP10 25311证明：(1)ABAC，D，E 分别是边 AC，AB 的中点 ，AD AE.又BADCAE ，BADCAE，ABDACE.DFAC，ADCD，AFCF，GAD ACE ，GADABD.又GDA ADB，GDAADB， ， AD2DG BD.ADBD DGAD(2) ，ADCD， .ADBD DGAD CDBD DGCD又CDGBDC，DCGDBC，DCGDBC.ABAC， ABCACB，AB
12、DGCB.ABDACE，ACE GCB，ECBDCG.12解：ABkCD .证明：如图，在 OA 上取一点 E，使 OEkOC，连接 EB.OBkOD， k.OBOD OEOC又AOBCOD，OEBOCD， k，即 EBkCD，OEBOCD .EBCD OBODOABOCD180，OABOEB180.又AEB OEB180，OABAEB，EB AB ，ABkCD .13解：(1)设经过 x s 后，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ，19则有 (62x) x 36，12 19即 x23x20，解得 x11，x 22，经检验，可知 x11，x 22 符合题意，经过 1 s 或 2 s 后，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 .19(2)假设存在某一时刻 t，以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似由矩形的定义可得CDAMAN90， 或 ，AMAN DCDA AMAN DADC即 或 ，t6 2t 36 t6 2t 63解方程，得 t ，解方程 ，得 t .32 125经检验，t 和 t 都符合题意，32 125当 t 的值为 或 时，以 A，M ，N 为顶点的三角形与ACD 相似 32 125
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