1、第 4 课时 黄金分割关键问答点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(ACBC)，当这三条线段之间存在什么关系时，可以称线段 AB 被点 C 黄金分割？黄金比的值是多少？1. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC ，则下列等式中成立的是 ( )AAC 2BCAB BAC 22ABBCCAB 2AC BC DBC 2AC AB22017六盘水矩形的长与宽分别为 a，b，下列数据能构成黄金矩形的是( )Aa4，b 2 Ba4，b 2 5 5Ca2，b 1 Da2，b 15 53 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为 20 c
2、m，则它的宽约为( )A32.36 cm B13.6 cm C12.36 cm D7.64 cm命题点 1 利用黄金分割的结论进行计算 热度：83%4 如图 4434，已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PAPB，若 S1 表示以PA 为边的正方形的面积，S 2 表示长为 AB，宽为 PB 的矩形的面积，则( )图 4434AS 1S 2 BS 1S 2 CS 1S 2 D无法确定 S1 和 S2 的大小 方法点拨根据黄金分割的概念将线段比转化为面积比5 如图 4435，在ABCD 中，点 E 是 BC 边上的黄金分割点，且 BECE，AE与 BD 相交于点 F，那么 BFDF 的值为
3、_图 4435解题突破求 BFDF 可以转化为求 BEDA 吗？如果可以，根据黄金分割点的定义先求出BE BC 的值.6把一根长为 4 m 的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比 ，则这5 12个矩形的面积为_m 2.图 44367 2017台州模拟 如图 4436，连接正五边形 ABCDE 的各条对角线围成一个新的五边形 MNPQR.图中有很多顶角为 36的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形” ，黄金三角形的底与腰之比为 .若 AB ， 则 MN_5 12 5 12方法点拨黄金三角形是比较特殊的三角形，解决与黄金三角形有关的计算问题，往往需要借助黄金比及相似三角形的对应边成
4、比例来完成命题点 2 黄金分割在实际生活中的应用 热度：80%82017乳山期中 某种乐器的弦 AB 长为 120 cm，点 A， B 固定在乐器面板上，弦 AB上有一个支撑点 C，且 C 是 AB 的黄金分割点(AC BC )， 则 AC 的长为( )A(12030 )cm B(16060 )cm 5 5C(60 120)cm D(60 60)cm5 59 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割” ，如图4437，P 为 AB 的黄金分割点(APPB)，如果 AB 的长度为 10 cm，那么 PB 的长度为_图 4437解题突破先利用黄金分割的定义计算出 AP 的长，然
5、后通过 ABAP 即可得到 PB 的长10 人体下半身的长度与身高的比例越接近 0.618，越给人美感遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美某女士身高 1.68 m，下半身长 1.02 m，她应该选择穿_(精确到 0.1 cm)的高跟鞋看起来更美易错警示注意身高包括高跟鞋的高度命题点 3 有关黄金分割的证明 热度：75%11. 如图 4438，在ABC 中，ABAC ，A36，CE 平分ACB 交 AB 于点E.(1)求证：E 为线段 AB 的黄金分割点；(2)若 AB4，求 BC 的长图 4438知识链接顶角为 36的等腰三角形被称为黄金三角形，底角的平分线与腰的交点就是腰的黄金分割点，
6、并且被底角的平分线分成的两个三角形都是等腰三角形，其中的锐角三角形与原等腰三角形相似12 宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形现将折叠黄金矩形的方法归纳如下( 如5 12图 4439 所示)：第一步：作一个正方形 ABCD；第二步：分别取 AD，BC 的中点 M，N，连接 MN；第三步：以点 N 为圆心，ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于点 E；第四步：过点 E 作 EFAD，交 AD 的延长线于点 F.请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形图 4439解题突破对于没有出现具体数据的计算题或证明题，我们可以考虑设参数，如假设正方形的边长是 2a，接下来你知道该怎么做了吗？13 三角
7、形中，顶角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形如图 4437，在ABC 中，已知 ABAC， A36.(1)在图中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D， 并连接 BD(保留作图痕迹，不写作法) (2)BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是 ，请说明理由(3)设 k，试求 k 的值BCAC图 4440解题突破(1)可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图； 10 (2)根据角度判断；(3)根据相似三角形的性质求解.14 如图 4441，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ，那么称点 C 为ACAB BCAC线段 AB 的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由
8、黄金分割点联想到“黄金分割线” ，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S 2，如果 ，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线S1S S2S1(1)研究小组猜想：在ABC 中，若点 D 为 AB 边上的黄金分割点(如图)，则直线CD 是 ABC 的黄金分割线你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E，再过点 D 作直线 DF CE，交 AC 于点 F， 连接 EF(如图)，则直线 EF 也是ABC 的黄金分割线，请你说明理由；(4)如
9、图，点 E 是ABCD 的边 AB 的黄金分割点，过点 E 作 EFAD，交 DC 于点F，显然直线 EF 是ABCD 的黄金分割线请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边的黄金分割点图 4441解题突破对于新定义问题，关键是理解新定义的概念，解决此题的关键是把黄金分割线与黄金分割点联系起来，把面积与边长联系起来详解详析【关键问答】当 AC2BCAB 时，线段 AB 被点 C 黄金分割 0.618.5 121A 解析 根据线段黄金分割的定义 ，得 AC2BCAB.2D 解析 宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形， ，当5 12 ba 5 12a2，b 1 时满足题意故选 D.53
10、C 解析 方法 1：设这本书的宽为 x cm，则有 ，解得 x12.36( 负值已2020 x x20舍去) 方法 2：书的宽约为 200.61812.36(cm )4B 解析 根据黄金分割的概念 ，得 ，则 1，即 S1S 2.故选 B.APAB PBAP S1S2 AP2ABPB5. 解析 四边形 ABCD 是平行四边形，5 12BCAD，BCAD，BEF DAF，BEDA BFDF.BCAD，BEBCBFDF.点 E 是 BC 边上的黄金分割点，BEBC ，5 12BFDF .5 126(4 8) 解析 设这个矩形的长为 x m，宽为 y m，则 xy2.5由题意，得 ，yx xx y
11、5 12解得 x 1 ，y3 ，5 5所以这个矩形的面积为( 1)(3 )(4 8)m 2.5 5 57. 2 解析 设 MNx.由题意可知 DEAB .55 12EDMECD36，ENDEDN72，DEEN ，同理 CDCM，EM x，5 12ECENCMMN 1 x.5DEMDEC，DEMCED，DE 2EM EC，( )2( x)( 1x)，5 12 5 12 5整理，得 x2 ( 1)x 0，32 5 （5 1）24 ( 1) 2，x 34（5 1）2 516 5x 2 或 x ( 1)( 不合题意 ，舍去) ，512 5MN 2.58D 解析 根据黄金分割点的概念，得 AC AB(6
12、0 60)cm. 故选 D.5 12 59(155 )cm 解析 P 为 AB 的黄金分割点( APPB)，5AP AB 10(5 5)cm ，5 12 5 12 5PBABAP10(5 5) (155 )cm.5 5104.8 cm 解析 设她应选择高跟鞋的高度是 x cm，则0.618，102 x168 x解得 x4.8.经检验，x4.8 是原分式方程的解且符合题意，即她应该选择穿 4.8 cm 的高跟鞋看起来更美11解析 (1)根据等腰三角形两底角相等求出ACB 72，再根据角平分线的定义求出BCE 36，从而得到 BCE A，然后判定 ABC 和CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例
13、列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；(2)根据等角对等边的性质可得 AEBC，再根据黄金比求解即可解：(1)证明：ABAC，A 36，ACBB (18036)72.12CE 平分ACB，BCEACE ACB 7236，12 12BCEAACE 36 ，AECE ，BEC180BCEB72，BECB，BCCEAE.又BB，ABCCBE， ，ABBC BCBEBC 2ABBE，即 AE2ABBE，E 为线段 AB 的黄金分割点(2)E 为 AB 的黄金分割点， .AEAB 5 12又 BCAE，BC AB 42 2.5 12 5 12 512证明：在正方形 ABCD 中，设 AB2a.
14、N 为 BC 的中点，NC BCa.12在 Rt DNC 中，ND a.NC2 CD2 a2 （2a）2 5又NEND，CENENC( 1)a，5 ，CECD ( 5 1)a2a 5 12矩形 DCEF 为黄金矩形13解：(1)如图所示(2)BCD 是黄金三角形证明如下：点 D 在 AB 的垂直平分线上 ，ADBD ，ABDA36.A36，AB AC，ABC C 72，ABDDBC36.又BDCAABD 72，BDCC，BDBC ，BCD 是黄金三角形(3)设 BCx，ACy，由(2)知，ADBD BCx.DBCA，CC，BDCABC， ，即 ，BCAC DCBC xy y xx整理，得 x2
15、xyy 20，解得 x y. 1 52x，y 均为正数，k .xy 5 1214解：(1)对理由如下：设ABC 的边 AB 上的高为 h.则 SADC ADh，S BDC BDh，S ABC ABh，12 12 12 ， .S ADCS ABC ADAB S BDCS ADC BDAD又点 D 为边 AB 的黄金分割点 ， ，ADAB BDAD ，S ADCS ABC S BDCS ADC直线 CD 是ABC 的黄金分割线(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，S 1S 2 S，即 ，12 S1S S2S1故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线(3)DF CE，DFC 和DFE 的
16、公共边 DF 上的高也相等，S DFC S DFE ，S ADC S ADF S DFC S ADF S DFE S AEF ，S BDC S 四边形 BEFC.又 ，S ADCS ABC S BDCS ADC ，S AEFS ABC S四 边 形 BEFCS AEF因此，直线 EF 也是ABC 的黄金分割线(4)画法不唯一，现提供两种画法；画法一：如图，取 EF 的中点 G，过点 G 作一条直线分别交 AB，DC 于 M，N 两点，则直线 MN 就是ABCD 的黄金分割线；画法二：如图，在 DF 上取一点 N，连接 EN，再过点 F 作 FMEN 交 AB 于点 M，连接 MN，则直线 MN 就是ABCD 的黄金分割线
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