1、试卷第 1 页，总 3 页第二十一章一元二次方程单元测试题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1下列方程中一定是一元二次方程的是 ( )A B C D 22+2=0 (+3)=21 +1=0 22=32已知 x=1 是方程 x2+px+1=0 的一个实数根，则 p 的值是（ ）A 0 B 1 C 2 D 23一元二次方程 2x2-x+1=0 的根的情况是 （ ）A 两个不相等的实数根 B 两个相等的实数根C 没有实数根 D 无法判断4已知一元二次方程 ，若 ，则该方程一定有一个根为（ 2+=0 +=0）A 0 B 1 C 2 D -15用配方法解一元二次方程 x26x1=0 时，下列变形正确的
2、是（ ）A （x3）2=1 B （x3）2=10 C （x+3）2=1 D （x+3）2=106关于 x 的一元二次方程(k 1)x 22x20 有两个不相等的实数根，则整数 k 的最小值是( )A 1 B 0 C 2 D 37九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛） ，据统计，比赛共进行了 28 场，求九年级共有多少个班若设九年级共有 x 个班，根据题意列出的方程是（ ）A x（x 1）=28 B x（x1 ）=28 C 2x（x 1）=28 D x（x+1 ）=2812 128已知 a、b 、c 是 的三边长，且方程 的两根相 (1+2)+2(12)=0等，则 为
3、( )A 等腰三角形 B 等边三角形 C 直角三角形 D 任意三角形9如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（ ）试卷第 2 页，总 3 页A 10646x=32 B （102x）（62x）=32C （10x）（6x）=32 D 1064x2=3210已知 、 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ） 224=0 3+8+6A B C D 1 2 22 3011如果非零实数 a 是一元二次方程 x25xm
4、0 的一个根， a 是方程x25xm0 的一个根，那么 a 的值等于( )A 0 B 1 C D 51212设 的两实根为 ， ，而以 ， 为根的一元二次方程仍是2+=0 22，则数对 的个数是（ ）2+=0 (, )A B C D 2 3 4 0二、填空题13请写出一个根为 x1，另一个根满足10，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0方程有两个不相等的实数根；(2)=0方程有两个相等的实数根；(3)0方程没有实数根9 B【解析】分析：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（102x）cm，宽为（62x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分
5、）面积是 32cm2，即可得出关于 x的一元二次方程，此题得解详解：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（102x）cm，宽为（62x）cm，根据题意得：（102x）（62x）32故选：B点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键10 D【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到 22 4，再用 表示 3，则运算可化简为 8（ ）14，然后利用根与系数的关系求解【详解】 方程 x22x40 的实根， 2240，即 224， 32 242（24）48 8，原式88868（）14， 是方程 x22x40 的两实根， 2，原式8214
6、30故答案为：30【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两根时，x1x 2 ，x1x2 也考查了一元二次方程的解 11 D【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 a2-5a+m=0，a2-5a-m=0，把两式相加得 2a2-10a=0，然后解关于 a 的一元二次方程即可得到满足条件的 a 的值【详解】由题意得：a 2-5a+m=0，a2-5a-m=0，所以 2a2-10a=0，解得 a1=0（舍去） ，a 2=5，所以 a 的值为 5，故选 D【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
7、值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根12 B【解析】【分析】利用根与系数的关系把 ， 之间的关系找出来，利用 ， 之间的关系，解关于 ， 的方程， 然后再代入原方程检验即可【详解】根据题意得， ， ，+= =， ，2+2= 22=由、可得 ，22=0解之得 或 ，=1 0由、可得 ，2+2=(+)22=22=即 ，22=0当 时， ，=0 2=0解之得， 或 ，=0 =1即 ， ，1=01=0 2=12=0 把它们代入原方程的 中可知符合题意；当 时， ，=1 22=0解之得， 或 ，=1 2即 ， ，3=23=1
8、 4=14=1 把它们代入原方程的 中可知 不合题意舍去， 4=14=1 所以数对 的个数是 对，(, ) 3故选 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，有一定的难度，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为：x 1+x2=- ，x1x2= 13本题答案不唯一，如 x(x1)0【解析】【分析】首先在-1x1 的范围内选取 x 的一个值，作为方程的另一根，再根据因式分解法确定一元二次方程本题答案不唯一【详解】由题意知，另一根为 0 时，满足-1x1，方程可以为：x（x-1）=0，故答案为：x(x
9、1)0（本题答案不唯一）.【点睛】本题考查的是已知方程的两根，写出方程的方法这是需要熟练掌握的一种基本题型，解法不唯一，答案也不唯一14 2【解析】【分析】根据根的判别式求出=0，求出 a2+b2=2，根据完全平方公式求出即可【详解】解：关于 x 的方程 x2+2ax-b2+2=0 有两个相等的实数根，=（2a） 2-41（-b2+2）=0，即 a2+b2=2，常数 a 与 b 互为倒数，ab=1，（a+b） 2=a2+b2+2ab=2+31=4，a+b=2，故答案为：2【点睛】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式 a2+b2=2 和 ab=1 是解此题的关键15 10%【解析】【分析
10、】设平均每次降价的百分率是 x，则第一次降价后药价为 60（1-x）元，第二次在 60（1-x）元的基础之又降低 x，变为 60（1-x）（1-x）即 60（1-x）2 元，进而可列出方程，求出答案【详解】设平均每次降价的百分率是 x，则第二次降价后的价格为 60（1-x）2 元，根据题意得：60（1-x） 2=48.6，即（1-x） 2=0.81，解得，x 1=1.9（舍去） ，x 2=0.1，所以平均每次降价的百分率是 0.1，即 10%，故答案为：10%【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.16 x2 5x60【解析】【分析】根据甲得出 p（6
11、-1）-5，根据乙得出 q（-2） （-3）6，代入求出即可【详解】x 2pxq0，甲看错了常数项，得两根 6 和-1，p（6-1）-5，x 2pxq0，乙看错了一次项，得两根-2 和3 ，q（-2） （-3）6，原一元二次方程为：x 2-5x 60故答案为：x 2-5x60【点睛】本题考查了根与系数关系的应用，解此题的关键是能灵活运用性质进行推理和计算，题目比较好17 x1=0，x2=-2【解析】【分析】根据新定义得到 x2+2x=0，然后利用因式分解法解方程即可【详解】方程 x2=0 化为x2+2x=0，则 x（x+2）=0，所以 x1=0，x 2=-2故答案为： x1=0， x2=-2【
12、点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 18 ， ； ， ； ， ； ，(1)1=4 2=2 (2)1=9+174 2=9174 (3)1=232=67 (4)1=42=5【解析】【分析】（1）先利用配方法得到（x-1） 2=9，然后利用直接开平方法解方程；（2）先计算判别式的值，然后代入求根公式求解；（3）先变形得到 7x（3x-2）+6（3x-2）=0，然后利
13、用因式分解法解方程；（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程【详解】，(1)22=8，22+1=9，(1)2=9，1=3所以 ， ；1=4 2=2，(2)=(9)2428=17，=91722所以 ， ；1=9+174 2=9174，(3)7(32)+6(32)=0，(32)(7+6)=0或 ，32=0 7+6=0所以 ， ；1=232=67，(4)2+9+20=0(+4)(+5)=0或 ，+4=0 +5=0所以 ， 1=4 2=5【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这
14、就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 也考查了配方法和公式法解一元二次方程19 (1) 时，此方程是一元一次方程；（ 2） 一元二次方程的二次项系数=1 1、一次项系数 ，常数项 ;21 (+1) 【解析】【分析】利用一元二次方程的一般形式求解即可.【详解】解： 根据一元一次方程的定义可知： ， ，(1) 21=0 +10解得： ，=1答： 时，此方程是一元一次方程；=1根据一元二次方程的定义可知： ，210解得： 1一元二次方程的二次项系数 、一次项系数 ，常数项 ;21 (+1) 【点睛】理解一元二次方程的一
15、般形式是解题的关键.20 - 18【解析】【分析】根据根的判别式得到=（ a）24（a+1）=0，即 a24a=4，再将所求代数式化简为 ，124+4然后整体代入计算即可.【详解】解： 关于 x 的方程 x2ax+a+1=0 有两个相等的实数根，=0，即（a） 24（a+1）=0，a24a=4，(+222 124+4)4=(+2)(2)(1)(2)2 4=4(2)24= 124+4原式 = = 14418【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解此题的关键在于根据根的判别式得到关于 a 的方程，再化简所求代数式，然后整体代入求解即可.21 （ 1）证明见解析；（2）k 的值为2 ，方程的另
16、一个根，为3【解析】【分析】（1）通过计算判别式的值得到=（k+1） 2+240， 从而可判断方程根的情况；（2）设方程的另一个根为 t，根据根与系数的关系得到 ，然后解方程组即可得2+=+12=6 到 k 和 t 的值【详解】（1）=（k+1） 24（6）=（k+1）2+240对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为 t，根据题意得：，解得： 2+=+12=6 =2=3 所以 k 的值为2，方程的另一个根为3【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= 也考查了根的判别式 22
17、 该公司投递快件总件数的月平均增长率为 该公司现有的 16 名快递投递员不(1) 10%(2)能完成今年 6 月份的快递投递任务【解析】【分析】设该公司投递快件总件数的月平均增长率为 x，根据该公司今年三月份与五月份完成投(1)递的快件总件数，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；根据 6 月份的快件总件数 月份的快递总件数 增长率 ，可求出 6 月份的快件(2) =5 (1+ )总件数，利用 6 月份可完成投递快件总件数 每人每月可投递快件件数 人数可求出 6 月= 份可完成投递快件总件数，二者比较后即可得出结论【详解】解： 设该公司投递快件总件数的月平均增长率为 x，
18、(1)根据题意得： ，5(1+)2=6.05解得： ， 舍去 1=0.1=10%2=2.1( )答：该公司投递快件总件数的月平均增长率为 10%月份快递总件数为： 万件 ，(2)6 6.05(1+10%)=6.655()万件 ，0.416=6.4( )，6.46.655该公司现有的 16 名快递投递员不能完成今年 6 月份的快递投递任务【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是： 找准等量关系，正确列出一元二次方(1)程； 根据数量关系，列式计算(2)23 （1）4800 元；（2）降价 60 元；（3）应涨 26 元每月销售这种学习机的利润能达到10580 元【解析】【分析】根据总利
19、润=单个利润数量列出算式，计算即可求出值；(1)设每个学习机应降价 x 元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；(2)设应涨 y 元每月销售这种学习机的利润能达到 10580 元，根据题意列出方程，求出方程(3)的解即可得到结果【详解】解： 由题意得： 元 ，(1) 60(360280)=4800()则降价前商场每月销售学习机的利润是 4800 元；设每个学习机应降价 x 元，(2)由题意得： ，(360280)(5+60)=7200解得： 或 ，=8 =60由题意尽可能让利于顾客， 舍去，即 ，=8 =60则每个学习机应降价 60 元；设应涨 y 元每月销售这种学习机的利润能达到 1
20、0580 元，(3)根据题意得： ，(36060+280)5(60)+60=10580方程整理得： ，252+676=0解得： ，1=2=26则应涨 26 元每月销售这种学习机的利润能达到 10580 元【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键解答本题时还应明确：利润=售价-进价，总利润=单个利润数量.24 ， ， 后，两蚂蚁与 点组成的三角形的面积均为 15 10 30 4502【解析】【分析】设 xs 后两只蚂蚁与 O 点组成的三角形面积为 450cm2，分当蚂蚁在 AO 上运动和蚂蚁在 OB上运动两种情况列方程，解方程即可求解.【详解】有两种情况：（1）如图
21、 1，当蚂蚁在 AO 上运动时，设 xs 后两只蚂蚁与 O 点组成的三角形面积为450cm2，由题意，得 3x（50-2x）=450，12整理，得 x2-25x+150=0，解得 x1=15，x2=10（2）如图 2，当蚂蚁在 OB 上运动时，设 x 秒钟后，两只蚂蚁与 O 点组成的三角形面积为 450cm2，由题意，得 3x（2x-50）=450，12整理，得 x2-25x-150=0，解得 x1=30，x2=-5（舍去） 答：15s，10s ，30s 后，两蚂蚁与 O 点组成的三角形的面积均为 450cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，分两种情况进行讨论是本题难点，解题时注意用运动的观点来观察事物
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