1、第四章 图形的相似第卷 (选择题 共 30 分)一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)1下列各组中的四条线段是成比例线段的是( )A1 cm，2 cm，20 cm，40 cm B1 cm，2 cm，3 cm，4 cmC6 cm，4 cm，1 cm，3 cm D5 cm，10 cm，15 cm，20 cm2如图 1，两条直线分别被三条平行直线 l1， l2， l3所截，若AB3， BC6， DE2，则 DF 的长为( )图 1A4 B5 C6 D73若 ，则 的值是( )ab 35 a bbA. B. C. D.58 35 85 324如图 2， ABC 中， AC BC，在边 AB 上截取
2、 AD AC，连接 CD，若点 D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则 A 的度数是( )图 2A22.5 B30 C36 D455如图 3 所示，将 ABO 的三边分别扩大为原来的 2 倍得到 A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点 P 为位似中心的位似图形，则点 P 的坐标是( )A(4，3) B(3，3) C(4，4) D(3，4)图 36如图 4，已知矩形 ABCD， AB2，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将 ABE 向上折叠，使点B 落在 AD 上的点 F 处，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD 的长为( )图 4A. B. 1 C4 D25 5 37在小
3、孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图 5 所示，若点O 到 AB 的距离是 18 cm，点 O 到 CD 的距离是 6 cm，则像 CD 的长是 AB 长的( )图 5A3 倍 B. 12C. D不知 AB 的长度，故无法判断138为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图 6 所示的测量方案，把一面很小的镜子水平放置在离树底( B)8.4 米的点 E 处，然后沿着直线 BE 后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE3.2 米，观察者目高 CD1.6 米，则树( A
4、B)的高度为( )图 6A4.2 米 B4.8 米 C6.4 米 D16.8 米9如图 7，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 边的中点 B重合，若AB2， BC3，则 FCB与 B DG 的面积之比为( )A94 B32 C43 D169图 710如图 8，在 ABC 中， AB6 cm， AC12 cm，动点 D 从点 A 出发到点 B 停止，动点 E 从点 C 出发到点 A 停止点 D 的运动速度为 1 cm/s，点 E 的运动速度为 2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点 A， D， E 为顶点的三角形与 ABC 相似时，运动的时间是( )图 8A3 s 或
5、4.8 s B3 sC4.5 s D4.5 s 或 4.8 s请将选择题答案填入下表：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分答案第卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)11如图 9，D 是等边三角形 ABC 中边 AB 上的点，AD2，DB4.现将ABC 折叠，使得点 C 与点 D 重合，折痕为 EF，且点 E，F 分别在边 AC 和 BC 上，则 _CFCE图 912如图 10，ABC 中，AB6，DEAC，将BDE 绕点 B 顺时针旋转得到BDE，点 D 的对应点 D落在边 BC 上已知 BE5，DC4，则 BC 的长为_图 1013若 ，则
6、 (3b2df0)_ab cd ef 12 3a 2c e3b 2d f14如图 11 所示， RtDEF 是由 RtABC 沿 BC 方向平移得到的，若AB8，BE4，DH3，则HEC 的面积为_图 1115如图 12，在ABC 中，AC6，AB4，点 D，A 在直线 BC 的同侧，且ACDB，CD2，E 是线段 BC 延长线上的动点，当DCE 和ABC 相似时，线段 CE 的长为_图 1216如图 13，直线 y x1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，BOC 与BOC12是以点 A 为位似中心的位似图形，且相似比为 13，则点 B 的对应点 B的坐标为_图 13三、解答题(共
7、72 分)17(6 分)已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足 ，abc12，试求 a，b，c 的值，并判断ABC 的形状a 43 b 32 c 8418(6 分)如图 14，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点分别是 O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(3，3)(1)以原点 O 为位似中心，在点 O 的异侧画出四边形 OABC 的位似图形四边形 OA1B1C1，使它与四边形 OABC 的相似比是 23；(2)写出点 A1，B 1，C 1的坐标；(3)求四边形 OA1B1C1的面积图 1419(8 分)已知：在ABC 中，ABC90，AB3，BC4，Q 是线段 AC 上
8、的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB(如图 15)或线段 AB 的延长线(如图 15)于点 P.(1)当点 P 在线段 AB 上时，求证：AQPABC；(2)当PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长图 1520(8 分)如图 16，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 .ADAB AEAC(1)求证：DEBC；(2)如图，在ABC 中，D 为边 AC 上任意一点，连接 BD，取 BD 的中点 E，连接 CE 并延长 CE 交边 AB 于点 F，求证： ；BFAF CDAC(3)在(2)的条件下，若 ABAC，AFCD，求 的值BFAF图 1621(10 分)如图 17 是位于陕
9、西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入世界遗产名录 小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端 D 处竖直立一根木棒 CD，并测得此时木棒的影长 DE2.4 米；然后，小希在 BD 的延长线上找出一点 F，使得 A，C，F 三点在同一直线上，并测得 DF2.5 米已知图中所有点均在同一平面内，木棒高 CD1.72 米，ABBF，CDBF，试根据以上测量数据，求小
10、雁塔的高度 AB.图 1722(10 分)如图 18，在平面直角坐标系中，已知 OA12 厘米，OB6 厘米，点 P 从点 O 开始沿 OA 边向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 1 厘米/秒的速度移动如果点 P，Q 同时出发，用 t(秒)表示移动的时间(0t6)(1)设POQ 的面积为 y，求 y 关于 t 的函数表达式；(2)当 t 为何值时，POQ 与AOB 相似？图 1823(12 分)如图 19，在等腰三角形 ABC 中，BAC120，ABAC2，D 是 BC 边上的一个动点(不与点 B，C 重合)，在 AC 上取一点 E，使ADE3
11、0.(1)求证：ABDDCE；(2)设 BDx，AEy，求 y 关于 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围；(3)当ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长图 1924(12 分)如图 20，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ，那么称点 C 为线段ACAB BCACAB 的黄金分割点某数学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似给出“黄金分割线”的定义：一条直线将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S 2，如果 ，那么称这条直线为该图形的黄金分割线S1S S2S1(1)如图，在ABC 中，A36，ABAC，ACB 的平分线交 AB
12、于点 D，请问直线 CD 是不是ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(2)如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上一点，若直线 AE 是正方形ABCD 的黄金分割线，求 BE 的长图 20详解详析1A2C 解析 两条直线分别被三条平行直线 l1， l2， l3所截， .ABBC DEEF AB3， BC6， DE2， EF4， DF DE EF246.故选 C.3C 4C 解析 点 D 是线段 AB 的一个黄金分割点， AD2 BDAB. AD AC BC， BC2 BDAB，即 BC BD AB BC.而 ABC CBD， BCD BAC， A BCD.设 A x，则
13、 B x， BCD x， ADC BCD B2 x.而 AC AD， ACD ADC2 x， x2 x2 x180，解得 x36，即 A36.故选 C.5A 6B 解析 由折叠知 AF AB2，设 AD x，则 FD x2， EF2，四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， ，即 ，解得 x11 ， x21 (不合题意，舍去)，即 AD 的长为EFFD ADAB 2x 2 x2 5 5 1.故选 B.57C 解析 过点 O 作 OM AB 于点 M，交 CD 于点 N，如图，则 OM18 cm， ON6 cm. AB CD， ODC OAB， ，即 CD 的长是 AB 长的 .故选 C.CD
14、AB ONOM 618 13 138A 解析 如图，过点 E 作 EF BD 于点 E，则12. DEF BEF90， DEC AEB. CD BD， AB BD， CDE ABE90， CDEABE， . DE3.2 米， CD1.6 米， BE8.4 米，DEBE CDAB ，解得 AB4.2 米3.28.4 1.6AB9D 解析 本题运用方程思想，设 CF x，则 BF3 x，易得 CF2 CB 2 FB 2，即 x21 2(3 x)2，解得 x .由已知可证得 Rt43FCBRt B DG，所以 .S FCBS B DG (CFDB )216910A 解析 本题运用分类讨论的思想，分
15、ADE ABC 和 ADE ACB 两种情况分别求解11. 解析 ABC 是等边三角形， A B C60，54AC BC AB AD DB6.由折叠的性质可知 EDF C60， EC ED， FC FD， AED BDF， AED BDF， ，DFDE BD DF BFAE AD DE 108 54 .CFCE DFDE 54122 解析 由旋转可得 BE BE5， BD BD.34 D C4， BD BC4，即 BD BC4. DE AC， ，即 ，解得 BC2 (负值已舍)，BDBA BEBC BC 46 5BC 34即 BC 的长为 2 .3413. 解析 由 ，得 a b， c d，
16、e f，所以 12 ab cd ef 12 12 12 12 3a 2c e3b 2d f .1.5b d 0.5f3b 2d f 1214. 解析 设 CE x，由 CEH CBA，得 ，即503 EHAB CECB ， x ， S HEC 5 .8 38 xx 4 203 12 203 50315. 或 3 解析 ACD DCE B A， ACD B， DCE A， A43与 DCE 是对应角， DCE 和 ABC 相似有两种情况：(1)当 BAC ECD 时， ， ， CE ；ABCE ACCD 4CE 62 43(2)当 BAC DCE 时， ，ABCD ACCE ， CE3.42 6
17、CE综上所述， CE 的长为 或 3.43故答案为： 或 3.43易错警示 DCE 和 ABC 相似有两种情况，注意不要漏解16(4，3)或(8，3) 解析 由直线 y x1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点12B，得点 A(2，0)，点 B(0，1)画 BOC 的位似图形 B O C如图所示 BOC 与 B O C的相似比为 13，点 B( x，3)或( x，3)点 B( x，3)或( x，3)在直线 y x1 上，点 B的坐标为(4，3)或(8，3)12故答案为(4，3)或(8，3)17解：设 k(k0)，a 43 b 32 c 84 a3 k4， b2 k3， c4 k8. a b
18、 c12，将 a3 k4， b2 k3， c4 k8 代入上式，得 3k42 k34 k812，9 k27，即 k3. a5， b3， c4. b2 c291625， a25 225， b2 c2 a2， ABC 是直角三角形18解：(1)如图所示，四边形 OA1B1C1即为所求(2)由图形可得 A1(4，0)， B1(2，4)， C1(2，2)(3)四边形 OA1B1C1的面积为 24 (34)2 3214.12 12 1219解：(1)证明： A APQ90， A C90， APQ C.在 AQP 和 ABC 中， APQ C， A A， AQP ABC.(2)在 Rt ABC 中， AB
19、3， BC4，由勾股定理，得 AC5.当点 P 在线段 AB 上时 PQB 为等腰三角形， PB PQ.由(1)可知， AQP ABC， ，PAAC PQBC即 ，解得 PB ，3 PB5 PB4 43 AP AB PB3 ；43 53当点 P 在线段 AB 的延长线上时 PQB 为等腰三角形， PB BQ， BQP P. BQP AQB90， A P90， AQB A， BQ AB， AB BP，即 B 为线段 AP 的中点， AP2 AB236.综上所述，当 PQB 为等腰三角形时， AP 的长为 或 6.5320解：(1)证明： A A， ，ADAB AEAC ADE ABC， ADE
20、B， DE BC.(2)证明：如图，过点 D 作 DG AB 交 CF 于点 G，则 CDG CAF， .DGAF CDAC E 是 BD 的中点， BE ED. DG AB， FBE EDG.在 BEF 和 DEG 中， FBE EDG， FEB GED，BE ED， BEF DEG(ASA)， BF DG， .BFAF CDAC(3)由(2)可得 .BFAF CDAC AB AC， AF CD， ，BFAF AFAF BF BF2 BFAF AF20，( )2 10，解得 ，而 0， .BFAF BFAF BFAF 152 BEAF BFAF 5 1221解：由题意得 ABD CDE90，
21、 ADB CED， CDE ABD， .CDAB DEBD由题意得 CDF ABF90， CFD AFB， CDF ABF， ，CDAB DFBF ，DEBD DFBF即 ， BD60，2.4BD 2.5BD 2.5 ， AB43.1.72AB 2.460答：小雁塔的高度 AB 是 43 米22解：(1)由题意，得 BQ t 厘米， OP t 厘米因为 OB6 厘米，所以 OQ(6 t)厘米所以 y OPOQ t(6 t) t23 t(0 t6)12 12 12(2)当 POQ 与 AOB 相似时，若 ，即 ，解得 t4；OQOB OPOA 6 t6 t12若 ，即 ，解得 t2.OQOA O
22、POB 6 t12 t6所以当 t4 或 t2 时， POQ 与 AOB 相似23解：(1)证明： ABC 是等腰三角形，且 BAC120， B C30.又 ADE30， B ADE.又 ADC ADE EDC B DAB， EDC DAB， ABD DCE.(2)如图，过点 A 作 AF BC 于点 F， AB AC2， BAC120， AFB90. AB2， ABF30， AF AB1，12 BF ， BC2 BF2 ，则 CD2 x， CE2 y.3 3 3 ABD DCE， ， ，化简得 y x2 x2(0 x2 )ABBD CDCE 2x 23 x2 y 12 3 3(3)当 AD
23、DE 时，如图，由(1)可知：此时 ABD DCE，则 AB CD，即 22 x， x2 2，将其代入 y x2 x2，解得 y42 ，3 312 3 3即 AE42 ；3当 AE ED 时，如图， EAD EDA30， AED120， DEC60， EDC90，则 DE CE，即 y (2 y)，解得 y ，即 AE ；12 12 23 23当 AD AE 时， AED ADE30， EAD120，此时点 D 与点 B 重合，不符合题意，故此种情况不存在综上，当 ADE 是等腰三角形时， AE 的长为 42 或 .32324解：(1)直线 CD 是 ABC 的黄金分割线证明： AB AC，
24、A36， ABC ACB72. CD 平分 ACB， ACD BCD ACB36，12 BDC72 B， A ACD， BC CD， AD CD， BC AD. B B， BCD A， BCD BAC， ， .BDBC BCAB BDAD ADAB又 ， ，S BCDS ADC BDAD S ADCS ABC ADAB ，S BCDS ADC S ADCS ABC直线 CD 是 ABC 的黄金分割线(2)设 BE x，正方形 ABCD 的边长为 1， S ABE ABBE x， S 正方形 ABCD1 21，12 12 S 四边形 ADCE1 x.12直线 AE 是正方形 ABCD 的黄金分割线， ，S ABES四 边 形 ADCE S四 边 形 ADCES正 方 形 ABCD S 四边形 ADCE2 S ABES 正方形 ABCD，即(1 x)2 x1，12 12整理，得 x26 x40，解得 x13 ， x23 .5 5 E 是边 BC 上一点， x1， x3 ，5 BE 的长为 3 .5
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