1、一元二次方程（一）：概念及一元二次方程的解法一元二次方程（一）：概念及一元二次方程的解法 知识点一：一元二次方程的定义知识点一：一元二次方程的定义 一元二次方程的三要素：只含有 1 未知数 未知数的最高次数是 2 整式方程 只有同时满足以上三个条件的方程才是一元二次方程， 不满足其中任何一个条件的方程 都不是一元二次方程.判断一个方程是不是一元二次方程，一般是先把这个方程化简， 在看是否符合一元二次方程的定义. 例 1：下面关于 x 的方程： 0 2 cbxax 1193 2 2 xx）（ x x 1 3 11xx ，其中一元二次方程的是 知识点二：一元二次方程的一般形式知识点二：一元二次方程
2、的一般形式 一般形式一般形式 项及项的系数项及项的系数 其他形式其他形式 0 2 cbxax （ cba、 是常数，是常数， 0a ） 二次项：二次项： 2 ax 二次项系数：二次项系数：a 0 2 cbxax （a a、b b 是常数，是常数，a a 0 0） 一次项：一次项：bx 一次项系数：一次项系数：b 0 2 cax （a a、c c 是常数，是常数，a a0 0） 常数项：常数项：c 0 2 ax （a a 是常数，是常数，a a0 0） 0a 是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，如果明确指出方程是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，如果明确指出方程 0 2 cbxax
3、是一元二次方程，那么就隐含着是一元二次方程，那么就隐含着 0a 这个条件，如果出现“关于这个条件，如果出现“关于 x x 的方程”这样的语的方程”这样的语 句，就要对方程中的句，就要对方程中的 a a 进行讨论，这一点是重要的考点之一进行讨论，这一点是重要的考点之一. . 指出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号指出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号. . （3 3）将一个一元二次方程化为一般形式时，方程右边一定是）将一个一元二次方程化为一般形式时，方程右边一定是 0 0 同步知识点巩固同步知识点巩固 例 2：把下列关于 x 的
4、方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项. 327)4)(21 ( 2 xxxx ）a(2)1 ()1 ( 22 cbxxcxa 知识点三：一元二次方程的解知识点三：一元二次方程的解 详解 概念概念 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值， 叫做这个一使一元二次方程左右两边相等的未知数的值， 叫做这个一 元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 判断一个数是否是一判断一个数是否是一 元二次方程的解元二次方程的解 将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等， 若相等，就是方程的根；若不相等，
5、就不是方程的根若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根 重点解读重点解读 （1 1）代入法是常用的检验根的方法； （）代入法是常用的检验根的方法； （2 2） 代入方程的根，） 代入方程的根， 可以求方程中的未知字母的值可以求方程中的未知字母的值 例 3： 关于 x 的一元二次方程 011 2 axxa 的一个根是 0， 则实数 a 的值是_. 知识点四：一元二次方程的解法：知识点四：一元二次方程的解法： 1.直接开平方法：适用于解形如 ax 2=b 的一元二次方程. 例：解方程： 2 9125x . 2.配方法：解形如 2 00axbxca 的一元二次方程. 例： 解方程： 2 483
6、0 xx 配方法解一元二次方程 2 00axbxca 的步骤： 解： 2 3 20 4 xx 二次项系数化为1. (两边都除以 .) 2 3 2 4 xx 移项.(把常数项移到=号右边.) 222 3 211 4 xx 配方.(两边都加上) 21 1 4 x 配方.（化成 2 xmn 的形式） 1 1 2 x 求解.( 若 0n ，直接开平方法得出方程的解.) 则方程的解为： 1 13 1 22 x ； 2 11 1 22 x . 3.3.公式法： 设一元二次方程为公式法： 设一元二次方程为 2 00axbxca ， 其根的判别式为：， 其根的判别式为： 2 4bac ，1 x ， 2 x 是
7、方程的两根，则：是方程的两根，则： 0 方程方程 2 00axbxca 有有 2 1,2 4 2 bbac x a 0方程 方程 2 00axbxca 有有 12 2 b xx a 0 方程方程 2 00axbxca 若若a、b、c为有理数，且为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；为完全平方式，则方程的解为有理根； 若若为完全平方式，同时为完全平方式，同时 2 4bbac 是是2a的整数倍，则方程的根为整数根的整数倍，则方程的根为整数根 例：解方程： 2 273xx 公式法解一元二次方程的步骤： 解： 2 2730 xx 把方程化为一般形式： 2 00axbxca 2a ， 7b ，
8、3c 确定a，b，c的值. 2 2 474 23730bac 、求出 2 4bac 的值. 773773 2 24 x 若 2 40bac ，则代入公式求方程的根 1 773 4 x ， 2 773 4 x 若 2 40bac ，则方程无解. 4.4.因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式 （1 1）提公因式分解因式法：）提公因式分解因式法： 解方程： 2 50 xx 解方程： 2 3230 xx x 解：原方程可变形为： 解：原方程可变形为： 50 x x 33 20 xxx 0 x 或 50 x 30 x 或
9、 3 20 xx 1 0 x ， 2 5x 1 3x ， 2 1x （2 2）运用公式分解因式法：）运用公式分解因式法： 解方程： 22 213xx 解方程： 2 2 6952xxx 解：原方程可变形为： 解：原方程可变形为： 22 2130 xx 22 352xx 21 321 30 xxxx 22 3520 xx 2 1 30 xx 或2 1 30 xx 3 5 23 520 xxxx 1 2x ， 2 4 3 x 3 5 20 xx 或 3 5 20 xx 1 2x ， 2 8 3 x （3 3）十字相乘分解因式法）十字相乘分解因式法( (简单、常用、重要的一元二次方程解法简单、常用、重
10、要的一元二次方程解法) )： 例 6：解方程： 2 560 xx 解：原方程可变形为： 十字相乘法： 交叉相乘：， 即等于一次项系数。所以 可以分解成 610 xx 60 x 或 10 x 1 6x ， 2 1x （4 4）其它常见类型举例：）其它常见类型举例： 例 7：解方程： 138xx 解方程： 2 2 2 1xx xx （换元法） 解： 原方程可变形为： 2 450 xx 解： 令 2 yxx ， 原方程可化为： 2 1y y 510 xx 即： 2 20yy ， 210yy 50 x 或 10 x 20y 或 10y 1 5x ， 2 1x 1 2y ， 2 1y 2 2xx ，即
11、2 20 xx 210 xx ， 1 2x ， 2 1x 或 2 1xx ，即 2 10 xx 1a ， 1b ， 1c 22 414 1 130bac 方程 2 +1=0 xx 无解。 原方程的解为： 1 2x ， 2 1x 1下列关于 x 的方程中，是一元二次方程的为（ ） Aax2+bx+c0 Bx21 C2x+3y50 Dx210 【解答】解：A、a0，b0 时，是一元一次方程，故 A 错误； B、是分式方程，故 B 错误； C、是二元一次方程，故 C 错误； 同步训练同步训练 D、是一元二次方程，故 D 正确 故选：D 2方程 x2+m0 有实数根的条件是（ ） Am0 Bm0 Cm
12、0 Dm0 【解答】解：方程 x2+m0 有实数根的条件是m0，即 m0， 故选：D 3.m 满足条件 时，关于 x 的方程（m24）x2+mx+30 是一元二次方程 【解答】解：关于 x 的方程（m24）x2+mx+30 是一元二次方程， m240，即 m2， 故答案为：m2 4 将一元二次方程 3 （x+2） 2 （x+1）（x1） 化为 ax2+bx+c0 （a0） 的形式为 【解答】解：3（x+2）2（x+1）（x1） 3x2+12x+12x21 2x2+12x+130 故答案是：2x2+12x+130 5.若 m 是方程 2x23x10 的一个根，则 4m26m+2019 的值为 【
13、解答】解：由题意可知：2m23m10， 2m23m1， 原式2（2m23m）+20192021 故答案为：2021 6.已知 x2+x+0，则 【解答】解：x2+x+0， x2+2x2x+x+0， （x+）22+x+0， 设 x+z， 则方程化为 z2+z20， （z+2）（z1）0， z12，z21， 即 x+2，x+1， 当 x+1 时，分式方程无解，x+1（舍去） 故答案为：2 7.已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k1）x+k2+30 有两个不相等的实数根，则实 数 k 的取值范围是 【解答】解：原方程有两个不相等的实数根， （2k1）24（k2+3）4k+1120， 解得 k；
14、故答案为：k 8.直接开方法：(1) 【解答】解：由原方程移项，得 （53x）2， 直接开平方，得 53x， 解得 x1 x2 (2)（3x4）2（34x）2 【解答】解：开方得：3x434x，3x4（34x）， 解方程得：3x+4x3+4， 7x7， x1， 解方程得：3x4x3+4， x1， x1， 即原方程得解：x11，x21 9配方法 （1）x26x+60 x26x6 x26x+96+9 （x3）23 x3 x1+3，x2+3 (2)（x+3）（x1）12（用配方法） 【解答】解：将原方程整理，得 x2+2x15（1 分） 两边都加上 12，得 x2+2x+1215+12（2 分） 即
15、（x+1）216（3 分） 开平方，得 x+14，即 x+14，或 x+14（4 分） x13，x25（5 分） (3)2x2+7x40 【解答】解：（1）2x2+7x40， 2x2+7x4， x2+x2， x2+x+（）22+， （x+）2， x+， x1，x24； 10.公式法（1）x2+2x2 【解答】解：（1）x2+2x2， x2+2x+12+1， （x+1）23， x+1， 解得 x11，x21+； （2）3x214x 3x214x， 3x24x10， a3，b4，c1，b24ac16+1228， x， x1，x2 11.因式分解法(1)4（3x2）（x+1）3x+3 4（3x2）（
16、x+1）3（x+1）0， （x+1）（12x83）0， （x+1）（12x11）0， 解得 x11，x2 （2）（x3）2+2x（x3）0 （x3）（x3+2x）0 （x3）（3x3）0 x13，x21 (3)x2+2x990； 【解答】解：（1）x2+2x990， （x+11）（x9）0， 解得：x111，x29； 1 已知一元二次方程 （a+1） x2ax+a2a20 的一个根与方程 （a+1） x2+axa2+a+2 0 的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+axa2+a+20 的根是（ ） A0， B0， C1，2 D1，2 【解答】解：一元二次方程（a+1）x2ax+a2a20 的
17、一个根与方程（a+1）x2+ax a2+a+20 的一个根互为相反数， ， a22a0， a（a2）0， 解得 a10（舍去），a22， 把 a2 代入（a+1）x2+axa2+a+20 得 3x2+2x4+2+20， 解得 x10，x2 故选：A 2.若实数 a 是一元二次方程 x23x+10 的一个根，则 a3+的值为 【解答】解：实数 a 是一元二次方程 x23x+10 的一个根， a23a+10，a23a1，a2+13a，13aa2， a3+ a（3a1）+ 3a2a+ 3（3a1）a+ 9a3a+248a 专题精炼专题精炼 21 故答案为：21 3.关于 x 的方程（m1）x|m|+
18、1+3x20 是一元二次方程，则 m 的值为 【解答】解：关于 x 的方程（m1）x|m|+1+3x20 是一元二次方程， |m|+12，且 m10， 解得：m1， 故答案为：1 4.已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）8则 x2+y2 的值为 【解答】解：设 x2+y2a， 原方程变形为：（a+1）（a+3）8， 即 a2+4a50， 解得，a11，a25， x2+y20， x2+y21， 故答案为：1 5.若关于 x 的方程 x2mx+2m0 有两个相等的实数根，则代数式 2m216m+5 的值 为 【解答】解：关于 x 的方程 x2mx+2m0 有两个相等的实数根， （m）28mm2
19、8m0， 2m216m+52（m28m）+55 故答案为：5 6.已知关于 x 的一元二次方程 kx2（k1）x+k0 有两个不相等的实数根，求 k 的 取值范围 【解答】解：根据题意知（k1）24kk0 且 k0， 解得：k且 k0 故答案为：k且 k0 7关于 x 的一元二次方程（6k）（9k）x2（11715k）x+540 （1）求方程的解； （2）若方程的解为整数，求 k 值 【解答】解：（1）该方程是关于 x 的一元二次方程， k6，k9 （6k）（9k）x2（11715k）x+540 （6k）x9（9k）x60 解得 x或 方程的解为 x或 （2）方程的解为 x或 若方程的解为整数
20、， 当 6k1，3，9 时，x 是整数，此时 k7、5、3、9、15、3； 当 9k1，2，3，6 时，x 是整数，此时 k10、8、11、7、12、6、15、3 综上可知，k3、7、15 时原方程的解为整数 1若 2x2+3 与 2x24 互为相反数，则 x 为（ ） A B2 C2 D 【解答】解：2x2+3 与 2x24 互为相反数 2x2+3+2x240，合并同类项并移项得：4x21，x2 x，故选 D 2当 a 时，（a3）x|a|1x5 是关于 x 的一元二次方程 【解答】解：（a3）x|a|1x5 是关于 x 的一元二次方程， a30，|a|12， 综合训练综合训练 解得：a3，
21、 即当 a3 时，（a3）x|a|1x5 是关于 x 的一元二次方程， 故答案为：3 3若方程（k3）xk2+x2+kx+10 是关于 x 的一元二次方程，则 k 【解答】解：由题意，得 m（m+2）12 且 m10， 解得 m3， 故答案为：3 4若（m1）xm（m+2）1+2mx10 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是 【解答】解：由题意，得 m（m+2）12 且 m10， 解得 m3， 故答案为：3 5.若关于 x 的一元二次方程 2x2+ （2k+1） x （4k1） 0 的二次项系数、 一次项系数、 常数项的和是 0，则 k 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 2x2+（2
22、k+1）x（4k1）0 的二次项系数、 一次项系数、常数项的和是 0， 2+2k+1+（4k1）0， 解得：k2 故答案为：2 6.如果，那么 【解答】解：设t（t1）则 t2t20，即（t+1）（t2）0， t+10，或 t20， t1（不合题意，舍去），或 t2； 即2 故答案为：2 7关于 x 的一元二次方程 x2mx+m10 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根大于 3，求 m 的取值范围 【解答】（1）证明：依题意，得（m）24（m1）（m2）20， （m2）20， 方程总有两个实数根； （2）x2mx+m10， （x1）（xm+1）0， x11，x2m1， 方程有一个根大于 3， m13， m4 m 的取值范围是 m4 思导总结思导总结
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