1、第一章第一章 勾股定理勾股定理 单元单元提升卷提升卷 考试范围：第 1 章勾股定理；考试时间：90 分钟；总分：120 分 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A.已知cba,是三角形的三边， 则 222 cba B.在直角三角形中， 两边的平方和等于第三边的平方 C.在 Rt ABC 中，C90 ，所以 222 cba D.在 Rt ABC 中，B90 ，所以 222 cba 2. 如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边长扩大到原来的（ ） A.1 倍 B.2 倍 C.3 倍 D.4 倍 3. 在
2、ABC 中，AB6，AC8，BC10，则该三角形为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 4. 如图，已知正方形 B 的面积为 144，如果正方形 C 的面积为 169，那么正方形 A 的面积 为（ ） A.313 B.144 C.169 D.25 5. 如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，若 AC5 cm，BC12 cm，则 Rt ABC 斜边上的高 CD 的长为（ ） A.6 cm B.8.5 cm C. 13 60 cm D. 13 30 cm 6. 分别满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为 123 B.三边长的平方
3、之比为 123 C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345 7. 如图，在 ABC 中，ACB90 ，AC40，BC9，点 M,N 在 AB 上，且 AMAC,BNBC，则 MN 的 长为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 8. 如图，一圆柱高 8 cm，底面半径为 6 cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要 爬行的最短路程是（ ） M A B C N 第 7 题图 A B C 第 4 题图 A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 9. 如果一个三角形的三边长 a,b,c 满足 a2b2c233810a24b26c，那么这个三角形一定是（ ） A.锐角三
4、角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 10. 在 Rt ABC 中，C90 ，A,B,C 所对的边分别为 a，b，c,已知 ab34，c10，则 ABC 的面积为（ ） A24 B12 C28 D30 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11已知直角三角形的两边长分别为 3、4则第三边长为_ 12在 ABC 中，ABAC17 cm，BC16 cm，ADBC 于点 D，则 AD_. 13在 ABC 中，若三边长分别为 9，12，15，则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积为_. 14如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中
5、最大正方形的边长为 7 cm，则 正方形 A，B，C，D 的面积之和为_cm2 15如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅 仅少走了_步路（假设 2 步为 1 m），却踩伤了花草. 16 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正 方形（如图所示）如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的两直角边长分别为 a、 b，那么 2 ()ab的值是_ 17在 ABC 中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC 边上的高为 12 cm，则 ABC 的面积为 cm2. 三、解答题
6、一（每小题 6 分，共 18 分） 18如图，在VABC 中，AC=13cm，AB=15cm，BC=14cm，求 BC 边上的高 AD 19八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多 1 米，当他 们把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面你能将旗杆的高度求出来吗？ 20有一块四边形土地 ABCD(如图），B = 90 ，AB = 4m，BC =3 m，CD=12 m，DA = 13 m，求该四边 形地的面积 四、解答题二（每小题 8 分，共 24 分） 21一架梯子长2.5米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7米 （1）这个梯子的顶端距地面有
7、多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了0.4米吗？ 22为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的 公路 MN 的一侧点 A 处，小明家到公路 MN 的距离为 600 米，假使广播车 P 周围 1000 米以内能听 到广播宣传，广播车 P 以 250 米/分的速度在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，若小明此时在家，他 是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？ 23如图，在 ABC 中，C90 ，将 ACE 沿着 AE 折叠以后 C 点正好落在 AB 边上的点 D 处 （1）当B28 时，求CAE 的度数；
8、 （2）当 AC6，AB10 时，求线段 DE 的长 五、解答题二（每小题 10 分，共 20 分） 24教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验 证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以表示为 c），也可以表示为 4 1 2ab+（a b） 2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，则 a2+b2c2 （1）图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理 （2）如图，在
9、ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AB4，AC5，BC6，设 BDx，求 x 的值 （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）a2+3ab+2b2，画在如图 4 的网格中，并标 出字母 a，b 所表示的线段 25王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 a 221 321 421 521 b 4 6 8 10 c 22+1 32+1 42+1 52+1 （1）请你分别观察 a,b,c 与 n 之间的关系,并用含自然数 n(n1)的代数式表示：a=_，b=_，c=_. （2）猜想：以 a，b，c 为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想?
10、（3）观察下列勾股数 32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412，分析其中的规律，写出第五组勾股数. 第一章第一章 勾股定理勾股定理 单元单元提升卷提升卷 考试范围：第 1 章勾股定理；考试时间：90 分钟；总分：120 分 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A.已知cba,是三角形的三边， 则 222 cba B.在直角三角形中， 两边的平方和等于第三边的平方 C.在 Rt ABC 中，C90 ，所以 222 cba D.在 Rt ABC 中，B90 ，所以 222 cba 【解析】
11、C A.不确定三角形是不是直角三角形，故 A 选项错误；B.不确定第三边是不是斜边，故 B 选项 错误；C.C=90 ，所以其对边为斜边，故 C 选项正确；D.B=90 时，有 b2a2c2，所以 a2b2c2 不成立，故 D 选项错误. 11. 如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边长扩大到原来的（ ） A.1 倍 B.2 倍 C.3 倍 D.4 倍 【解析】B 设原直角三角形的两直角边长分别是 a，b，斜边长是 c，则 a2b2c2，则扩大后的直角三 角形两直角边长的平方和为 222 22 44 22 c abab ，斜边长的平方为2 2 4 2 c c ，即斜边
12、长 扩大到原来的 2 倍，故选 B. 12. 在 ABC 中，AB6，AC8，BC10，则该三角形为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】B 在 ABC 中，由 AB6，AC8，BC10，可推出 AB2AC2BC2.由勾股定理的逆定理知 此三角形是直角三角形，故选 B 13. 如图，已知正方形 B 的面积为 144，如果正方形 C 的面积为 169，那么正方形 A 的面积 为（ ） A.313 B.144 C.169 D.25 【解析】D 解析：设三个正方形 A，B，C 的边长依次为 a，b，c， 因为三个正方形的边组成一个直角三角形，所以 a2b
13、2c2，故 SASBSC，即 SA16914425. 14. 如图， 在 Rt ABC 中， ACB90 ， 若 AC5 cm， BC12 cm， 则 Rt ABC 斜边上的高 CD 的长为 （ ） A.6 cm B.8.5 cm C. 13 60 cm D. 13 30 cm 【解析】C 解析：由勾股定理可知 22222 512169ABACBC，所以 AB=13 cm,再由三角形的 A B C 第 4 题图 面积公式，有 11 22 AC BCAB CD，得 60 cm 13 AC BC CD AB （）. 15. 分别满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为 1
14、23 B.三边长的平方之比为 123 C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345 【解析】D 解析：在 A 选项中，求出三角形的三个内角分别是 30 ，60 ，90 ；在 B，C 选项中，都符合 勾股定理的条件，所以 A，B，C 选项中的三角形都是直角三角形.在 D 选项中，求出三角形的三个内角 分别是 45 ，60 ，75 ，所以不是直角三角形，故选 D 16. 如图，在 ABC 中，ACB90 ，AC40，BC9，点 M,N 在 AB 上，且 AMAC,BNBC，则 MN 的 长为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】C 解析：因为在 Rt ABC 中，AC40，BC9，
15、所以由勾股定理得 AB 41.因为 BN=BC9，所以. 17. 如图， 一圆柱高 8 cm， 底面半径为 6 cm， 一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食， 要爬行的最短路程是 （ ） A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 【解析】C 解析：如图为圆柱的侧面展开图， 为的中点，则就是蚂蚁爬行的最短路径. （cm）， （cm） cm， 22222 =68ABCBAC=100（cm），所以 AB= 10 cm,即蚂蚁要爬行的最短路程 是 10 cm 18. 如果一个三角形的三边长 a,b,c 满足 a2b2c233810a24b26c，那么这个三角形一定是（ ） A.锐角三
16、角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【解析】B 解析：由，整理，得 ，即，所以 M A B C N 第 7 题图 ，符合，所以这个三角形一定是直角三角形. 19. 在 Rt ABC 中，C90 ，A,B,C 所对的边分别为 a，b，c,已知 ab34，c10，则 ABC 的面积为（ ） A24 B12 C28 D30 【解析】 解析：因为 ab34，所以设 a3k，b4k(k0).在 Rt ABC 中，C90 ,由勾股定 理，得 a2b2c2，因为 c10，所以 9k216k2100， 解得 k2，所以 a6，b8， 所以 S ABC1 2ab 1 2 6 824.故选 A.
17、 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11已知直角三角形的两边长分别为 3、4则第三边长为_ 【解析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论： 长为 3 的边是直角边，长为 4 的边是斜边时：第三边的长为：； 长为 3、4 的边都是直角边时：第三边的长为：； 第三边的长为：或 5 12在 ABC 中，ABAC17 cm，BC16 cm，ADBC 于点 D，则 AD_. 【解析】如图， 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线互相重合， 1 . 2 BDBC BC16， 11 168. 22 BDBC ADBC，ADB=90
18、. 在 Rt ADB 中， ABAC17，由勾股定理，得 22222 178225ADABBD.AD=15 cm 13在 ABC 中，若三边长分别为 9，12，15，则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积为_. 【解析】因为，所以是直角三角形，且两条直角边长分别为 9，12，则以两个这样 的三角形拼成的长方形的面积为. 14如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为 7 cm，则 正方形 A，B，C，D 的面积之和为_cm2 22 437 22 435+= 7 【解析】如图 所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， 正方形 A 的面积=a2，正
19、方形 B 的面积=b2， 正方形 C 的面积=c2，正方形 D 的面积=d2， 又a2+b2=x2，c2+d2=y2， 正方形 A、B、C、D 的面积和=(a2+b2)+(c2+d2)=x2+y2=72=49cm2 故答案为：49 15如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅 仅少走了_步路（假设 2 步为 1 m），却踩伤了花草. 【解析】在 Rt ABC 中，C=90 ，由勾股定理，得 22 4325 ，所以 AB=5.他们仅 仅少走了（步） 16 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个
20、大正 方形（如图所示）如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的两直角边长分别为 a、 b，那么的值是_ 【分析】 根据勾股定理可以求得 a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到 ab 的值，然 后根据（a-b）2=a2-2ab+b2即可求解 【详解】 解：根据勾股定理可得 a2+b2=13， 2 ()ab 四个直角三角形的面积是： ab 4=13-1=12，即：2ab=12， 则（a-b）2=a2-2ab+b2=13-12=1 故答案为 1 17在 ABC 中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC 边上的高为 12 cm，则 ABC 的面积为
21、 cm2. 【解析】本题分两种情况 （1）如图（1），在锐角 ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高 AD=12， 第 16 题答图（1） 在 Rt ABD 中，AB=13，AD=12，由勾股定理，得BD2= AB2-AD2= 132-122 =25， BD=5.在 Rt ACD 中，AC=20，AD=12， 由勾股定理，得CD2= AC2-AD2= 202-122=256， CD=16， BC 的长为 BD+DC=5+16=21， ABC 的面积=1 2 BC AD= 1 2 21 12=126. （2）如图（2），在钝角 ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高 AD
22、=12， 第 16 题答图（2） 在 Rt ABD 中，AB=13，AD=12，由勾股定理，得 BD2= AB2-AD2= 132-122=25， BD=5. 在 Rt ACD 中，AC=20，AD=12，由勾股定理，得 CD2= AC2-AD2= 202-122=256， CD=16. BC=DC-BD=16-5=11. ABC 的面积=1 2 BC AD= 1 2 11 12=66. 综上， ABC 的面积是 126 或 66. 三、解答题一（每小题 6 分，共 18 分） 18如图，在ABC 中，AC=13cm，AB=15cm，BC=14cm，求 BC 边上的高 AD 1 2 V 【分析
23、】设 BD=xcm，则 CD=(14x)cm，依题意有 152x2=132(14x)2，求得 x=9，再根据勾股定理 求得 AD 解：设 BD=xcm，则 CD=(14x)cm， 依题意有 152x2=132(14x)2， 解得 x=9， 故 BC 边上的高 AD 为 12cm 19八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多 1 米，当他 们把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面你能将旗杆的高度求出来吗？ 【解析】本题考查了勾股定理的实际应用，由题可以知道,旗杆,绳子与地面构成直角三角形,根据题中数 据,用勾股定理即可解答. 设旗杆高 xm，则绳
24、子长为（x+1）m， 旗杆垂直于地面， 旗杆，绳子与地面构成直角三角形， 由题意列式为 x2+52=（x+1）2， 解得 x=12m， 所以旗杆的高度为 12 米 20有一块四边形土地 ABCD(如图），B = 90 ，AB = 4m，BC =3 m，CD=12 m，DA = 13 m，求该四边 形地的面积 【解析】 连接 AC 22222 1 12 59RTADBADABBD AD 在中， （cm） B=90 ， AC=2+ 2= 42+ 32= 5 (m)， 52+122=132， ADC 是直角三角形，且ACD=90， S四边形ABCD= 1 2 3 4 + 1 2 5 12 = 6 +
25、 30 = 36 (2) 四、解答题二（每小题 8 分，共 24 分） 21一架梯子长米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 米 （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？ 【分析】（1）根据 Rt ABC 的勾股定理求出 AB 的长度，从而得出答案； （2）根据题意得出 AC和 AB 的长度，然后根据勾股定理求出 BC的长度，从而得出答案 【解析】（1）根据题意可得：AC=2.5 米，BC=0.7 米，ABC=90 ， 答：梯子的顶端距地面有 2.4 米； （2）梯子的底部在水平方向不是滑动了米，理由如下 根据题意可得：AC=2.5
26、 米，AB=2.4-0.4=2 米， 则 CC=1.5-0.7=0.8 米， 即梯子的底端在水平方向滑动 0.8 米，不是 0.4 米 22为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的 公路 MN 的一侧点 A 处，小明家到公路 MN 的距离为 600 米，假使广播车 P 周围 1000 米以内能听 到广播宣传，广播车 P 以 250 米/分的速度在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，若小明此时在家，他 是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？ 2.50.7 0.40.4 22222 2.50.7 2.4 ABACBC AB 0.4 222 =2
27、.52 1.5 BC BC 【分析】根据小明 A 到公路 MN 的距离为 600 米1000 米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到 BP BQ800 米，求得 PQ1600 米，于是得到结论 【解答】解：小明能听到宣传， 理由：村庄 A 到公路 MN 的距离为 600 米1000 米， 小明能听到宣传； 如图：假设当宣讲车行驶到 P 点开始小明听到广播，行驶到 Q 点小明听不到广播， 则 APAQ1000 米，AB600 米， BPBQ= 10002 6002=800（米），PQ1600 米， 小明听到广播的时间为：1600 2506.4（分钟）， 他总共能听到 6.4 分钟的广播 23如图
28、，在 ABC 中，C90 ，将 ACE 沿着 AE 折叠以后 C 点正好落在 AB 边上的点 D 处 （1）当B28 时，求CAE 的度数； （2）当 AC6，AB10 时，求线段 DE 的长 【解析】（1）在 Rt ABC 中，ABC90 ，B28 ， BAC90 28 62 ， ACE 沿着 AE 折叠以后 C 点正好落在点 D 处， CAE1 2CAB 1 2 62 31 ； （2）在 Rt ABC 中，AC6，AB10， BC2 2102 62 8， ACE 沿着 AE 折叠以后 C 点正好落在点 D 处， ADAC6，CEDE， BDABAD4， 设 DEx，则 EBBCCE8x，
29、Rt BDE 中，DE2+BD2BE2， x2+42（8x）2， 解得 x3 即 DE 的长为 3 五、解答题二（每小题 10 分，共 20 分） 24教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验 证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以表示为 c），也可以表示为 4 1 2ab+（a b） 2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，则 a2+b2c2 （1）图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证
30、法”，请你利用图推导勾股定理 （2）如图，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AB4，AC5，BC6，设 BDx，求 x 的值 （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）a2+3ab+2b2，画在如图 4 的网格中，并标 出字母 a，b 所表示的线段 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的 面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）运用勾股定理在 Rt ABD 和 Rt ADC 中求出 AD2，列出方程求解即可； （3）画出边长为 a+b 和 a+2b 的矩形即可 【解答】解：（1）梯形 ABCD 的面积为1 2(
31、 + )( + ) = 1 2 2 + + 1 2 2， 也可以表示为1 2 + 1 2 + 1 2 2，1 2 + 1 2 + 1 2 2 = 1 2 2 + + 1 2 2， 即 a2+b2c2； （2）在 Rt ABD 中，AD2AB2BD242x216x2； 在 Rt ADC 中，AD2AC2DC252（6x）211+12xx2； 所以 16x211+12xx2， 解得 = 9 4； （3）如图， 由此可得（a+b）（a+2b）a2+3ab+2b2 25王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 a 221 321 421 521 b 4 6 8 10 c 2
32、2+1 32+1 42+1 52+1 （1）请你分别观察 a,b,c 与 n 之间的关系,并用含自然数 n(n1)的代数式表示：a=_，b=_，c=_. （2）猜想：以 a，b，c 为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想? （3）观察下列勾股数 32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412，分析其中的规律，写出第五组勾股数. 【分析】 （1）探究规律后，利用规律即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可； （3）观察发现第一个数的奇数，另外两个数的底数的和是这个奇数的平方，由此即可解决问题； 【解析】（1）由题意：a=n2-1，b=2n，c=n2+1， 故答案为 n2-1，2n，n2+1； （2）猜想：以 a、b、c 为边的三角形是直角三角形 理由：a=n2-1，b=2n，c=n2+1， a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2=c2， 以 a、b、c 为边的三角形是直角三角形 （3）观察可知：第五组勾股数为：112+602=612
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