1、第二十二章 二次函数（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2021山东东营市中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D2（2021山西晋中初三月考）已知关于的二次函数的图象关于直线对称，则下列关系正确的是（ ）A B C的函数值一定大于的函数值 D若，则当时，3（2021四川眉山市中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）A B C D4（2020江苏东台初三期中）若二次函数，当时，y随x
2、的增大而减小，则m的取值范围是（ ）ABCD5（2020四川省绵阳市中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A4米B5米C2米D7米6（2020.四川省成都市初三期末）已知函数y3（xm）（xn），并且a，b是方程3（xm）（xn）0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）AmnbaBamnbCambnDmabn7（2021天津九年级二模）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则
3、的值为（ ）A0BCD8（2020山东日照市中考真题）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）图象的对称轴为直线x1，下列结论：abc0；3ac；若m为任意实数，则有abmam2+b； 若图象经过点（3，2），方程ax2+bx+c+20的两根为x1，x2（|x1|x2|），则2x1x25其中正确的结论的个数是（）A4个B3个C2个D1个9（2020广东省初三二模）如图，在矩形中，点是上的中点，点、均以的速度在矩形边上匀速运动，其中动点从点出发沿方向运动，动点从点出发沿方向运动，二者均到达点时停止运动设点的运动时间为，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（ ）A B C D 10（202
4、1河北唐山市九年级一模）如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。11（2021吉林长春市九年级一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为_米12（2020北京门头沟初二期末）阅读理解：由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数ykx+b（k0
5、）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b0（k0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b0（k0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b0（k0）的解集例，如图1，一次函数kx+b0（k0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b0（k0）的解是x1；kx+b0（k0）的解集为x1结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：（1）通过图1可以得到kx+b0（k0）的解集为_；（2）通过图2可以得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的解为 ；关于x的不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为_ 13（2020浙江温州市九年级期
6、末）各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为，如果在离水面竖直距离为h（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程s（单位：）与h的关系式为，则射程s最大值是_（射程是指水流落地点离小孔的水平距离）14（2020浙江温州初三月考）如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C,D到地面的距离都是1.6米，即米，米，米，则水柱的最大高度是_米.15（2020内蒙古自治区中考真题）在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移
7、n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_16（2021山东菏泽市中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：当时，函数图象的对称轴是轴；当时，函数图象过原点；当时，函数有最小值；如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是_17（2021湖北武汉市中考真题）如图（1），在中，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，两点运动速度的大小相等，设，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是_18（2021浙江湖州市九年级二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都
8、满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是_三、解答题：本题共8个小题，19-24每题10分，25-26每题10分，共66分。19（2021安徽淮南市九年级月考）在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮已知球出手时离地面，与篮圈中心的水平距离为，球出手后水平距离为时达到最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）此时球能否准确投中？（3）此时，对方队员乙在甲面前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大
9、摸高为，那么他能否获得成功？ 20（2021上海九年级二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线的对称轴是直线（1）求抛物线的顶点坐标；（2）当x满足时，函数值y满足，试求a的值；（3）将抛物线与x轴所围成的区域（不包含边界）记为G，将横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”，如果区域G内恰好只有5个“整点”，结合函数的图像，求a的取值范围21（2021新疆中考真题）已知抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；（3）设点，在抛物线上，若，求a的取值范围 22（2021江苏九年级期中）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队
10、接受体温检测某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数（单位：人）随时间（单位：分钟）的变化情况如图所示，当时，可看作是的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为；当时，累计人数保持不变（1）求与之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测20人校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在8分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？23（2020山东济南市中考真题）如图1，抛物线yx2bxc过点A（1，0），点B（3，0）与y轴交于点C在x
11、轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线lx轴，交抛物线于点M（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设AEM的面积为S1，MON的面积为S2，若S12S2，求m的值 24（2021嘉兴中考真题）已知二次函数yx2+6x5（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1x4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当txt+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若mn3，求t的值 25（2021江苏扬州市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次
12、函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C（1）_，_；（2）若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标26（2021内蒙古通辽市中考真题）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由第二十二章 二次函数（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）一、
13、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2021山东东营市中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D【答案】C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论【详解】A. 二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，b0，一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C. 二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D.
14、 二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误故选C【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键2（2021山西晋中初三月考）已知关于的二次函数的图象关于直线对称，则下列关系正确的是（ ）A B C的函数值一定大于的函数值 D若，则当时，【答案】C【分析】根据函数的对称性，函数图象与x轴交点的个数，抛物线的性质进行依次判断即可.【解析】二次函数的图象关于直线对称，,b=-4，故A错误；不能判断出图象与x轴交点的个数，故不能确定，故B错误；抛物线的对称轴为直线x=2，开口方向向上
15、，故离对称轴近的点低，离对称轴远的点高，故的函数值一定大于的函数值，即C正确；若，则时，y0，故D错误；故选：C.【点睛】此题考查抛物线的性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点个数的计算方法，正确理解解析式中各系数与抛物线的性质的关系是解题的关键.3（2021四川眉山市中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）A B C D【答案】A【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式【详解】解:当x=0时，y=5，C（0,5）；设新抛物线上的点的坐
16、标为（x,y），原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，由，；对应的原抛物线上点的坐标为；代入原抛物线解析式可得：，新抛物线的解析式为：；故选：A【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等4（2020江苏东台初三期中）若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）ABCD【答案】C分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其
17、图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间【解析】二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，该二次函数的开口方向是向上；又该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），该二次函数图象在xm上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，而已知中当x1时，y随x的增大而减小，x1，m1故选C5（2020四川省绵阳市中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A4米B5米C2米D7米【
18、答案】B【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=10代入可求解【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，BC=10，点B（5，0），0=a（5）2+，a=-，大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（xb）2，EF=14，点E的横坐标为-7，点E坐标为（-7，-）， -=m（xb）2，x1=+b，x2=-+b，MN=4，|+b-（-+b）|=4m=-，顶点为A的小孔所
19、在抛物线的解析式为y=-（xb）2，大孔水面宽度为20米，当x=-10时，y=-，-=-（xb）2，x1=+b，x2=-+b，单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米）【点睛】本题考查二次函数的应用，解答的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答6（2020.四川省成都市初三期末）已知函数y3（xm）（xn），并且a，b是方程3（xm）（xn）0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）AmnbaBamnbCambnDmabn【答案】D【分析】令抛物线解析式中，得到方程的解为，即为抛物线与轴交点的横坐标为，再由抛物线开口向下得到或时小于0，根据与时函数值小于0
20、，即可确定出，的大小关系【解析】函数，抛物线开口向下，a，b是方程3（xm）（xn）0的两个根当或时，又当或时，实数，的大小关系为mabn故选：D【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键7（2021天津九年级二模）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ）A0BCD【答案】D【分析】由且可得，根据题意画出函数图像，根据图像分情况讨论；当时，y随x的增大而增大，可得当时y有最小值，当时y有最大值，代入并验证；当时分两种情况：当时y有最小值，当时y有最大值，或当时y有最大值，当时y有最小值，得出符合情况的值即可得出答案.【详解】解：
21、如图，二次函数的大致图像如下：且时，当时，y随x的增大而增大，当时y有最小值，即：，解得：或（舍去）；当时y有最大值，即：，解得：或（均不符合题意，舍去）；当时，当时y有最小值，即：，解得：或（舍去）；当时y有最大值，即：，解得：，或：当时y有最大值，即：，解得：，当时y有最小值，即：，将代入解得：，此种情形不合题意；，；故答案选：D.【点睛】本题考查二次函数的图像及其性质，熟练掌握二次函数的增减性，先判断在取值范围内的最大值及最小值在何处取得，再代入求解；熟练掌握分析函数最值的方法是本题解题关键.8（2020山东日照市中考真题）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）图象的对称轴为直线x1，
22、下列结论：abc0；3ac；若m为任意实数，则有abmam2+b； 若图象经过点（3，2），方程ax2+bx+c+20的两根为x1，x2（|x1|x2|），则2x1x25其中正确的结论的个数是（）A4个B3个C2个D1个【答案】C【分析】由图象可知a0，c0，由对称轴得b=2a0，则abc0，故错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c0，得正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+cam2+bm+c，得错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出正确，即可得出结论【详解】解：由图象
23、可知：a0，c0， ，b2a0，abc0，故abc0错误；当x1时，ya+b+ca+2a+c3a+c0，3ac，故3ac正确；x1时，y有最大值，ab+cam2+bm+c（m为任意实数），即abam2+bm，即abmam2+b，故错误；二次函数yax2+bx+c（a0）图象经过点（3，2），方程ax2+bx+c+20的两根为x1，x2（|x1|x2|），二次函数yax2+bx+c与直线y2的一个交点为（3，2），抛物线的对称轴为直线x1，二次函数yax2+bx+c与直线y2的另一个交点为（1，2），即x11，x23，2x1x22（3）5，故正确所以正确的是；故选：C【点睛】本题考查二次函数图象
24、与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）9（2020广东省初三二模）如图，在矩形中，点是上的中点，点、均以的速度在矩形边上匀速运动，其中动点从点出发沿方向运动，动点从点出发沿方向运动，二者均到达点时停止运动设点的运动时间为，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（ ）A B C D 【答案】D【分析】分0t4、4t8、8t12三段，分别求出函数表达式即可求解【
25、解析】解：（1）当0t4时，如图， y=S矩形ABCD-SAPQ-SDPE-S梯形BCEQ= 该函数为开口向下的抛物线； （2）当4t8时， 如图，同理可得：y=PEAD= 该函数为一次函数； （3）当8t12时，如图，同理可得：y=PECQ= 该函数为开口向下的抛物线， 故选：D【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解10（2021河北唐山市九年级一模）如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）ABCD【答案
26、】D【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线与抛物线C2相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案【详解】解：抛物线与x轴交于点A、B，B（4，0），A（8，0）抛物线向左平移4个单位长度平移后解析式当直线过B点，有2个交点，解得m=2当直线与抛物线C2相切时，有2个交点，整理，得x25x2m=0=25+8m=0m=如图，若直线与C1、C2共有3个不同的交点，m2故选：D【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分
27、。11（2021吉林长春市九年级一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为_米【答案】3.4【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为x2.5，可求得b的值，点B的横坐标为4，代入后可得出点B的纵坐标，继而得出人梯高BC的长度【详解】解：跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高抛物线的对称轴为x2.5，x2.5，解得：b3，抛物线为y，人梯到起跳点A的水平距离是4，点B的横坐标为4，则yB
28、42+34+13.4，即BC3.4米故答案为：3.4【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是根据题意求出二次函数解析式，属于基础题12（2020北京门头沟初二期末）阅读理解：由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数ykx+b（k0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b0（k0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b0（k0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b0（k0）的解集例，如图1，一次函数kx+b0（k0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b0（k0）的解是x1；kx+b0（k0）的解集为x1结合
29、以上信息，利用函数图象解决下列问题：（1）通过图1可以得到kx+b0（k0）的解集为_；（2）通过图2可以得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的解为 ；关于x的不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为_ 【答案】x1 x11，x22 x1或x2 【分析】（1）直接根据图象即可得出答案；（2）直接根据抛物线与x轴的交点即可得出答案；直接根据图象即可得出答案【解析】解：（1）通过图1可以得到kx+b0（k0）的解集为x1；（2）通过图2可以得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的解为x11，x22；关于x的不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为x1或x2故答案为：x1；
30、x11，x22；x1或x2【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与不等式，数形结合是解题的关键13（2020浙江温州市九年级期末）各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为，如果在离水面竖直距离为h（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程s（单位：）与h的关系式为，则射程s最大值是_（射程是指水流落地点离小孔的水平距离）【答案】20【分析】将s2=4h（20-h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可【详解】解：s2=4h（20-h）=-4（h-10）2+400，当h=10cm时，
31、s有最大值20cm当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；故答案为：20【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键14（2020浙江温州初三月考）如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C,D到地面的距离都是1.6米，即米，米，米，则水柱的最大高度是_米.【答案】【分析】设解析式为，由题意可知点D为（0，1.6），点C为（4，1.6），点A为（5，0），代入后得到三元一次方程组，解方程组即可求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可【解析】解：设解析式为，
32、由题意可知点D为（0，1.6），点C为（4，1.6），点A为（5，0），解得，解析式为：，当时，y有最大值为.水柱的最大高度是米.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题关键15（2020内蒙古自治区中考真题）在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_【答案】4【分析】通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值【解析】A、B的纵坐标一样,A、B是对称的两点,对称轴,即,b=4抛物线顶点(2,3)满足题
33、意n得最小值为4,故答案为4【点睛】本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键是根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴16（2021山东菏泽市中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：当时，函数图象的对称轴是轴；当时，函数图象过原点；当时，函数有最小值；如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是_【答案】【分析】利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案【详解】解：当时，把代入，可得特征数为，函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故正确；当时，把代入，可得特征数为，函数解析式为，当时，函数图象过原点，
34、故正确；函数 当时，函数图像开口向上，有最小值，故正确；当时，函数图像开口向下，对称轴为：时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故错误；综上所述，正确的是，故答案是：【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键17（2021湖北武汉市中考真题）如图（1），在中，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，两点运动速度的大小相等，设，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是_【答案】【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及
35、图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值由题意可得：CD=,AE= AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和 当这三点共线时，AE+CD最小 设该直线的解析式为y=kx+b 解得 当y=0时，x=故填【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件
36、成为解答本题的关键18（2021浙江湖州市九年级二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是_【答案】或【分析】仔细阅读材料理解题意，可知n的值就是函数值绝对值最大的值，所以根据函数表达式找出函数值的最大值和最小值，进行分类讨论求解即可【详解】解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为分析可知：当x=0时，y最大值为t+1，当x2时，x=-2时，y有最小值t-3，当x2时，x=t时，y有
37、最小值-t2+t+1，由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值，（I）当x2时，t+13-t且，解得，当3-tt+1且，解得（II）当x2时，t2-t-1t+1且无解；t2-t-1t+1且，无解，故答案为：或【点睛】本题考查了二次函数最大值和最小值的求法，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点三、解答题：本题共8个小题，19-24每题10分，25-26每题10分，共66分。19（2021安徽淮南市九年级月考）在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮已知球出手时离地面，与篮圈中心的水平距离为，球出手后水平距离为时达到最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面（1）建立如图所示的平
38、面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）此时球能否准确投中？（3）此时，对方队员乙在甲面前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？【答案】（1）；（2）能投中；（3）能拦截成功，理由见解析【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；（2）令x=7，求出y的值，与3m比较即可作出判断；（3）将x=1代入进而得出答案【详解】（1）如图，球出手点、最高点（顶点）坐标分别为：，设二次函数解析式为，将点代入可得：，解得：，抛物线解析式为：；（2）将点横坐标代入抛物线解析式得：即点在抛物线上，此球一定能投中；（3）能拦截成功理由：将代入得 ，他能拦截成功【点睛
39、】本题考查了二次函数解析式的求法，及其实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题20（2021上海九年级二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线的对称轴是直线（1）求抛物线的顶点坐标；（2）当x满足时，函数值y满足，试求a的值；（3）将抛物线与x轴所围成的区域（不包含边界）记为G，将横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”，如果区域G内恰好只有5个“整点”，结合函数的图像，求a的取值范围【答案】（1）（1，-4）；（2）a=1；（3）【分析】（1）利用求得和的关系，再将其代入原解析式即可；（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；（3）根据整点的定义，结合图象中取，0，1，
40、2，3时对应的值即可判断【详解】解：（1）将代入抛物线得，对称轴是直线，抛物线的顶点坐标为；（2）时，抛物线开口向下，的最大值是，当时，数值满足，不合题意；时，抛物线开口向上，对称轴是直线到的距离大于1到3的距离，时，的值最大5，时，的值最小，将代入得，；（3）如图：根据（1）、（2）及抛物线对称性可知：这5个整点分别为，0，1，2，3时，只需保证时，时，时，且且，同理，时，时，时，解得：，综上，【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等21（2021新疆中考真题）已知抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物
41、线沿y轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；（3）设点，在抛物线上，若，求a的取值范围【答案】（1）直线；（2）或；（3）【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴公式求解即可；（2）先求出原抛物线的顶点坐标，然后求出平移后新抛物线的顶点坐标，再根据题意建立方程分情况讨论即可；（3）分别讨论a的情况，根据二次函数中利用对称性比较函数值大小的方法建立关于a的不等式求解即可【详解】（1）根据抛物线对称轴公式：，原抛物线的对称轴为：直线；（2）将代入解析式得：，原抛物线的顶点坐标为：，把抛物线沿y轴向下平移个单位，则平移后新抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点落在x轴上，若，则，解得：，
42、若，则，解得：，或；（3）若，则原抛物线开口向上，要使得，则应使得点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，即：，即：，或，解得：或，；若，则原抛物线开口向下，要使得，则应使得点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，即：，即：，解得：，与矛盾，故不成立，a的取值范围为【点睛】本题考查二次函数的性质以及平移问题，熟记二次函数中的基本性质和结论是解题关键22（2021江苏九年级期中）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数（单位：人）随时间（单位：分钟）的变化情况如图所示，当时，可看作是的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为
43、；当时，累计人数保持不变（1）求与之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测20人校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在8分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【答案】（1）；（2）排队人数最多时有180人，全部考生都完成体温检测需要12.5分钟；（3）2个【分析】（1）当时，可看作是的二次函数，由于抛物线的顶点为（10，500），设y与x之间的函数解析式为：y=a（x-10）2+500，把O点的坐标（0，0）代入即可求得a；当时，累计人数保持不变，问题即可解决；（2）设第x分钟时的排队人数为w人，到校人数减去检测人生，即可得到w与x的函数解析式，根据二次函数解析式可求得其最大值=180；要全部学生都完成体温检测，根据题意得，求解即可；（3）设从一开始就应该增加个检测点，由“在8分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解【详解】解：（1）当时，设与之间的函数关系式为：，把代入上式得：，解得：，故函数关系式为：当时，累计人数保持不变，即y=500（2）设第分钟时的排
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