1、第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.给出下列四个关系式： 7R；ZQ；0；0，其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 正确；对于，Z 与 Q 的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系；对 于，是不含任何元素的集合，故 0，选 B. 2.已知集合 M0，1，2，3，4，N1，3，5，PMN，则 P 的子集共有( ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 答案 B 解析
2、 易知 PMN1，3， 故 P 的子集共有 224 个. 3.已知集合 A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 答案 B 解析 a3AB，而 AB/ a3，“a3”是“AB”的充分不必要条件. 4.已知 MyR|y|x|，NxR|xm2，则下列关系中正确的是( ) A.MN B.MN C.MN D.NM 答案 B 解析 MyR|y|x|yR|y0， NxR|xm2xR|x0， MN. 5.命题 p：ax22x10 有实数根，若綈 p 是假命题，则实数 a 的取值范围为( ) A.a|a1 D.a|a1
3、 答案 B 解析 因为綈 p 是假命题，所以 p 为真命题，即方程 ax22x10 有实数根. 当 a0 时，方程为 2x10，x1 2，满足条件.当 a0 时，若使方程 ax 22x10 有实 数根，则 44a0，即 a1. 6.已知命题 p：xR， 1x21，则( ) A.綈 p：xR，1x21 B.綈 p：xR，1x21 C.綈 p：xR， 1x21 D.綈 p：xR，1x21 答案 C 解析 根据全称量词命题的否定方法， 当命题 p： xR， 1x21 时， 綈 p： xR， 1x21. 故选 C. 7.满足“aA，且 8aA，aN”的有且只有 2 个元素的集合 A 的个数是( ) A
4、.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 解析 由题意可知，满足题设条件的集合 A 有0，8，1，7，2，6，3，5，共 4 个. 8.已知集合 A(x，y)|x，y 为实数，且 yx2，B(x，y)|x，y 为实数，且 y1x，则 AB 的元素个数为( ) A.无数个 B.3 C.2 D.1 答案 C 解析 联立 yx2， xy1，消去 y 得 x 2x10， 124(1)150，方程 x2x10 有 2 个不同的实数解，方程组 yx2， xy1有 2 组解，AB 的元素有 2 个，故选 C. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符
5、合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的不得分) 9.对任意实数 a，b，c，下列命题中，假命题是( ) A.“acbc”是“ab”的必要条件 B.“acbc”是“ab”的必要条件 C.“acbc”是“ab”的充分条件 D.“acbc”是“ab”的充分条件 答案 ACD 解析 abab0(ab)c0acbc，acbc 是 ab 的必要条件. 10.已知全集 UR， 集合 Mx|2x12和 Nx|x2k1， kN*关系的 Venn 图如图 所示，则阴影部分表示的集合中的元素有( ) A.1 B.0 C.1 D.3 答案 CD 解析 Mx|1x3，Nx|x2k1，kN*，
6、MN1，3，故选 CD. 11.设集合 Ax|a1xa1，xR，Bx|1x5，xR，则下列选项中，满足 AB 的实数 a 的取值范围可以是( ) A.a|0a6 B.a|a2 或 a4 C.a|a0 D.a|a8 答案 CD 解析 Ax|a1xa1，xR，Bx|1x5，xR，又因为 AB，所以 a11 或 a15，即a|a0 或 a6，故选 CD. 12.设全集为 U，在下列选项中，是 BA 的充要条件的有( ) A.ABB B.(UA)B C.(UA)(UB) D.A(UB)U 答案 BCD 解析 由 Venn 图可知，B，C，D 都是充要条件，故选 BCD. 三、填空题(本大题共 4 小题
7、，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上) 13.若集合 Ax|1x2，Bx|x1，则 A(R B)_. 答案 x|1x2 解析 Bx|x1，R Bx|x1. A(R B)x|1x2. 14. 命 题 ： 存 在 一 个 实 数 对 (x ， y) ， 使2x 3y 35 或 x1，Tx|axa8，STR，则 a 的取值范围是_. 答案 a|3a1 解析 借助数轴可知 a5. 3a1. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知集合 Ax|4x2，集合 Bx|x30. 求：(1)AB； (2)AB；
8、(3)R (AB). 解 由已知得 Bx|x3， (1)ABx|3x2. (2)ABx|x4. (3)R (AB)x|x2. 18.(本小题满分 12 分)写出下列命题的否定，并判断其真假性. (1)xZ，|x|N； (2)每一个平行四边形都是中心对称图形； (3)有些三角形是直角三角形； (4)xR，x10； (5)xR，x22x30. 解 (1)xZ，|x|N，假命题. (2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题. (3)所有三角形都不是直角三角形，假命题. (4)xR，x10，假命题. (5)xR，x22x30，真命题. 19.(本小题满分 12 分)已知集合 A4，2a1，a2，Ba
9、5，1a，9，分别求适合下 列条件的 a 的值. (1)9(AB)； (2)9AB. 解 (1)9(AB)，2a19 或 a29， a5 或 a3 或 a3. 当 a5 时，A4，9，25，B0，4，9； 当 a3 时，a51a2，不满足集合元素的互异性； 当 a3 时，A4，7，9，B8，4，9， 所以 a5 或 a3. (2)由(1)可知， 当 a5 时，AB4，9，不合题意， 当 a3 时，AB9，所以 a3. 20.(本小题满分 12 分)已知 Ax|x2axa2120，Bx|x25x60，且满足下列三个 条件： AB；ABB；(AB)，求实数 a 的值. 解 B2，3，ABB，AB，
10、 AB，AB. 又(AB)，A，A2或 A3， 方程 x2axa2120 只有一解， 由 (a)24(a212)0 得 a216， a4 或 a4. 当 a4 时， 集合 Ax|x24x402符合； 当 a4 时， 集合 Ax|x24x402(舍去). 综上，a4. 21.(本小题满分 12 分)求证： 方程 x22x3m0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是1 3 m0. 证明 (1)充分性：1 3m0， 且3m0， 方程 x22x3m0 有两个同号且不相等的实根. (2)必要性：若方程 x22x3m0 有两个同号且不相等的实根， 则有 412m0， x1x23m0，解得 1 3m0. 综
11、合(1)(2)知，方程 x22x3m0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 1 3m0. 22.(本小题满分 12 分)设集合 Ax|x23x20，Bx|x22(a1)x(a25)0， (1)若 AB2，求实数 a 的值； (2)若 ABA，求实数 a 的取值范围. 解 (1)A1，2.AB2， 2B，代入 B 中方程，得 a24a30， 所以 a1 或 a3. 当 a1 时，B2，2，满足条件； 当 a3 时，B2，也满足条件. 综上，a 的值为1 或3. (2)ABA，BA. 当 4(a1)24(a25)8(a3)0，即 a0，即 a3 时， BA1，2才能满足要求，经检验不可能成立. 综上可知 a 的取值范围是a|a3.
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