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    2021年秋人教版A版高中数学必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》章末检测试卷(含答案)

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    2021年秋人教版A版高中数学必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》章末检测试卷(含答案)

    1、第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1若 x0,则 x4 x的最小值为( ) A2 B3 C2 2 D4 答案 D 解析 x0,x4 x2 x4 x4,当且仅当 x 4 x即 x2 时等号成立 2不等式 x22x30 的解集为( ) Ax|x1 Bx|3x1 Cx|x3 Dx|1x3 答案 D 解析 方程 x22x30 的实数根为 x11,x23, 不等式 x22x30 的解集为x|1xy1,则下列四个数中最小的数是( ) A.xy 2 B. 2xy xy

    2、C. x D.1 2 1 x 1 y 答案 D 解析 因为 xy1, 所以xy 2 11 2 1, 2xy xy 2 1 y 1 x 2 111, x1, 1 2 1 x 1 y 1 2 1 1 1 1 1, 所以四个数中最小的数是1 2 1 x 1 y . 5若 ab0,下列不等式中成立的是( ) A.a b1 B.1 ab Db2a2 答案 C 解析 若 ab0,所以a b1,故 A 不成立; 对于 B,1 a 1 b ba ab 0,所以1 a 1 b,故 B 不成立; 对于 C,因为 abb,所以|a|b,故 C 成立; 对于 D,由ab0,所以(a)2(b)2,即 a2b2,故 D

    3、不成立 6关于 x 的不等式 axb0 的解集是x|x1,则关于 x 的不等式(axb)(x3)0 的解集是( ) Ax|x3 Bx|1x3 Cx|1x3 Dx|x3 答案 A 解析 不等式 axb0 的解集是x|x1,故 a0,b a1,则关于 x 的不等式(axb)(x3)0 即 a xb a (x 3)0,即(x1)(x3)0,故解集是x|x3 7已知1a3,2b4,则 2ab 的取值范围是( ) A62ab4 B02ab10 C42ab2 D52ab1 答案 A 解析 因为1a3,2b4, 可得22a6,4b2, 所以242ab62, 即62ab4. 8若规定 a b c d adbc

    4、,则不等式 0 1 x x 3 2 的解是( ) A1x1 B. 3x 3 C. 1x 3 D 3x1 或 1x 3 答案 D 解析 因为 a b c d adbc,所以 1 x x 3 3x2, 所以 03x22,即 1x23, 解得 1x 3或 3x1. 二、 选择题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求 全 部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分) 9若非零实数 a,b 满足 ab,则下列不等式不一定成立的是( ) A.a b1 B.b a a b2 C. 1 ab2 1 a2b Da2ab2b 答案

    5、ABD 解析 当 ab0 时,a b1 不成立, 当a b0 时, b a a b2 不成立, 因为 1 ab2 1 a2b ab ab20,则 1 ab2 1 a2b一定成立, 因为 a2b2ab(ab)(ab1)符号不定,故 a2a0)的最小值是 2 B. x22 x22的最小值是 2 C. x25 x24的最小值是 2 D23x4 x的最大值是 24 3 答案 AB 解析 由基本不等式可知,x0 时,x1 x2,当且仅当 x 1 x即 x1 时取等号,故 A 正确; x22 x22 x 22 2,当 x0 时取得等号,故 B 正确; x25 x24 x 24 1 x242,当且仅当 x

    6、24 1 x24,即 x 241,显然无实根,不成立,故 C 错误; 2 3x4 x 在 x0 时,没有最大值,故 D 错误 11已知关于 x 的方程 x2(m3)xm0,下列结论正确的是( ) A方程 x2(m3)xm0 有实数根的充要条件是 mm|m9 B方程 x2(m3)xm0 有两正实数根的充要条件是 mm|01 D当 m3 时,方程的两实数根之和为 0 答案 BC 解析 对于 A,若方程 x2(m3)xm0 有实数根,则 (m3)24m0,解得 m9 或 m1.故 A 错 误; 对于 B,方程 x2(m3)xm0 有两正实数根, m324m0, m30, m0, 解得0m1; 当00

    7、,x1x2m0,该方程有两个正实数根故方程 x2(m3)xm0 有两正实数 根的充要条件是 mm|0m1故 B 正确; 对于 C,若方程 x2(m3)xm0 无实数根,则 (m3)24m0,解得 1m9. 实数 m 的取值范围是m|1m1故 C 正确; 另外,若设 Am|1m1,则 AB,C 正确 对于 D,当 m3 时,方程为 x230,无实数根故 D 错误 12已知函数 yx2axb(a0)有且只有一个零点,则( ) Aa2b24 Ba21 b4 C若不等式 x2axb0 的解集为x|x1x0 D若不等式 x2axbc 的解集为x|x1x0)有且只有一个零点, 故可得 a24b0,即 a2

    8、4b0. a2b24 等价于 b24b40,显然(b2)20,故 A 正确; a21 b4b 1 b2 4b1 b4,故 B 正确; 因为不等式 x2axb0 的解集为x|x1xx2, 故可得 x1x2b0,故 C 错误; 因为不等式 x2axbc 的解集为x|x1xx2,且|x1x2|4, 则方程 x2axbc0 的两根为 x1,x2, 故可得 x1x224x1x2 a24bc 4c2 c4, 故可得 c4,故 D 正确 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13因式分解(x22x)27(x22x)8_. 答案 (x1)2(x4)(x2) 解析 (x22x)27(x

    9、22x)8(x22x1)(x22x8)(x1)2(x4)(x2) 14若不等式 ax22ax10 的解集为 R,则 a 的取值范围是_ 答案 1a0 解析 当 a0 时,不等式 ax22ax10 化为10,解集为 R; 当 a0 时,不等式 ax22ax10 解集为 R 时, 应满足 a0, 4a24a10, 解得1a0. 综上,实数 a 的取值范围是10,y0,且 xy8,则(1x) (1y)的最大值为_ 答案 25 解析 因为 x0,y0,且 xy8, 所以(1x)(1y)102 1x1y, 即(1x)(1y)25, 当且仅当 xy4 时,等号成立 所以(1x) (1y)的最大值为 25.

    10、 16某种衬衫进货价为每件 30 元,若以 40 元一件出售,则每天能卖出 40 件;若每件提价 1 元,则每天卖 出件数将减少一件,为使每天出售衬衫的净收入不低于 525 元,则每件衬衫的售价的取值范围是 _(假设每件衬衫的售价是 m) 答案 45m65 解析 设每件衬衫提价 x 元,则每件衬衫的售价为(40 x)元, 则每天出售衬衫的净收入为(40 x30)(40 x) (x15)2625元, 由题可知,(x15)2625525, 整理得,(x25)(x5)0,解得 5x25, 4540 x65. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17(10 分)某班有 48 人,计划于 2

    11、022 年元旦乘出租车前往某景区游玩,现需从 A,B 两种类型的出租车选 择一种,A 型号的出租车比 B 型号的少 5 辆,若选择 A 型号出租车,每辆车乘坐 4 人,则出租车不够,每 辆车乘坐 5 人,则有一辆车没有坐满但不空;若选择 B 型号出租车,每辆车乘坐 3 人,则出租车不够,每 辆车乘坐 4 人,则出租车有剩余,设 A 型号的出租车有 x 辆,用不等式将题目中的不等关系表示出来 解 由已知得,A 型号的出租车有 x 辆,则 B 型号出租车有(x5)辆, x0, x50, 4x48, 05x485, 3x50,y0,且满足 xy8xy. (1)求 xy 的最大值; (2)求 xy 的

    12、最小值 解 (1)x0,y0,8xyxy2 xy, 即( xy4)( xy2)0,解得 xy4,当且仅当 xy2 时,等号成立, xy 的最大值为 4. (2)8(xy)xy xy 2 2, 所以(xy)8(xy)40, xy4,当且仅当 xy2 时,等号成立 即 xy 的最小值为 4. 19(12 分)设命题 p:方程 x2(2m4)xm0 有两个不相等的实数根;命题 q:对所有的 2x3,不等 式 x24x13m2恒成立 (1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若命题 p,q 一真一假,求实数 m 的取值范围 解 (1)若命题 p 为真命题,即方程 x2(2m4)xm0

    13、 有两个不相等的实数根, 则有 (2m4)24m4m220m160, 解得 m4 或 m4 或 m4或m3或m4 或 m3; 若命题 p 为假命题,命题 q 为真命题,则有 1m4, 3m3, 解得 1m3. 综上所述,当命题 p,q 一真一假时,实数 m 的取值范围为m|m4 20(12 分)已知关于 x 的不等式(ax1)(x1)0. (1)当 a2 时,解上述不等式; (2)当 a1 时,解上述关于 x 的不等式 解 (1)当 a2 时,代入可得(2x1)(x1)0, 解不等式可得1 2x1, 所以不等式的解集为 x 1 2x1 . (2)关于 x 的不等式(ax1)(x1)0. 若 a1, 当 a0 时,代入不等式可得x11; 当 0a1 时,化简不等式可得 a x1 a (x1)1 解不等式可得 1x 1 a, 当 a0 时,化简不等式可得 a x1 a (x1)1 或 x1,当 0a1 时,不等式解集为 x 1x1 a ,当 a1或x0, tR,该方程总有两个不相等的实数根 方程的两个实数根均大于2 且小于 4, 22t 2 0, t28t150, 解得1t3. 实数 t 的取值范围是t|1t3


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