1、第二章第二章 等式与不等式等式与不等式 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知一元二次方程的两根之和是 3，两根之积是2，则这个方程是( ) A.x23x20 B.x23x20 C.x23x20 D.x23x20 答案 C 解析 由根与系数的关系知方程为 x23x20. 2.设 a，b，c，dR，且 ab，cd，则下列结论中正确的是( ) A.acbd B.acbd C.acbd D.a d b c 答案 C 解析 ab，cd，acbd. 3.若方程组 3x5y
2、6， 6x15y16的解也是方程 3xky10 的解，则 k 的值是( ) A.k6 B.k10 C.k9 D.k 1 10 答案 B 解析 由 3x5y6， 6x15y16解得 x2 3， y4 5， 代入 3xky10，易得 k10. 4.不等式 x2ax12a20(其中 a0)的解集为( ) A.(3a，4a) B.(4a，3a) C.(3，4) D.(2a，6a) 答案 B 解析 x2ax12a2(x3a)(x4a)，不等式可化为(x3a)(x4a)0，又 a0，4a0 的解集为 R，则 a 的取值范围为( ) A.(8，0) B.(0，8) C.0，8 D.(，0)(8，) 答案 B
3、 解析 由题意知 (a)242aa28a0 的解集为x|x1，则关于 x 的不等式axb x2 0 的解集为( ) A.x|x1 B.x|1x2 C.x|x2 D.x|2x0 的解集为x|x1， x1 为 axb0 的根且 a0， ab0，即 ab， 故axb x2 a（x1） x2 0，等价于(x1)(x2)0. x2 或 x1. 7.不等式 2x2axyy20， 对于任意 x1， 2及 y1， 3恒成立， 则实数 a 的取值范围是( ) A.(，2 2 B.2 2，) C. ，11 3 D. ，9 2 答案 A 解析 由题知，a2x 2y2 xy ，而2x 2y2 xy 2 2xy xy
4、2 2(当且仅当 2x2y2时取“”)，由于存在 x1，2，y1，3，使 2x2y2，故 a2 2. 8.已知 x，y，z(0，)，且满足 x2y3z0，则y 2 xz的最小值为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 答案 A 解析 由题意知 yx3z 2 ， 所以y 2 xz x29z26xz 4xz x 29z2 4xz 3 2 2 9x2z2 4xz 3 2 3 2 3 23， 当且仅当 x29z2时等号成立，所以y 2 xz的最小值为 3. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对
5、但不全的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.在数轴上，A(x)，B(3)，且 AB9 2，则( ) A.x15 2 或3 2 B.x15 2 或3 2 C.AB 的中点 C 21 4 或 C 3 4 D.AB 的中点 C 9 4 或 C 9 4 答案 AC 解析 由题意 AB|x3|9 2， 所以 x3 9 2，x 15 2 或3 2， 所以 AB 中点对应的数为 15 2 3 2 21 4 或 3 23 2 3 4. 10.若1 a 1 b0，则下列不等式中正确的不等式有( ) A.ab|b| C.a2 答案 AD 解析 1 a 1 b0，ba0，ab0a0，则|b|a|，故 B 错误，C
6、 显然错误；由于b a0， a b0， b a a b2 b a a b2，故 D 正确.故选 AD. 11.若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.a2b22ab B.ab2 ab C.1 a 1 b 2 ab D.b a a b2 答案 AD 解析 对于 A，a2b22ab，所以 A 正确；对于 B，C，显然 ab0，只能说明 a，b 同号，若 a，b 都小于 0 时，所以 B，C 错；ab0，b a a b2，故选 AD. 12.下列命题中是假命题的有( ) A.|x2|x|20 有四个实数解 B.设 a，b，c 是实数，若一元二次方程 ax2bxc0 无实根，则
7、ac0 C.若 x23x20，则 x2 D.若 xR，则函数 yx24 1 x24的最小值为 2 答案 AD 解析 |x2|x|20， 则|x|1 或|x|2(舍)， 故方程只有两个实数解， 故 A 是假命题； 设 a， b，c 是实数，若一元二次方程 ax2bxc0 无实根，则 b24acb 2 4 0，则 ac0， 可以推出 ac0，故 B 是真命题；若 x23x20，则 x2 且 x1，可推出 x2，故 C 是真 命题；若 xR，则函数 y x24 1 x24的最小值为 5 2，此时 x0，故 D 是假命题.故选 AD. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 1
8、3.若不等式组 2xa3 的解集为(1，1)，则(a1) (b1)的值等于_. 答案 2 解析 由 2xa1，得 x3，得 x2b3. 由 ，a1 2 (2b3，)(1，1)得 a1 2 1， 2b31， a1， b2，(a1)(b1)2(1)2. 14.某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用 为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x_吨. 答案 20 解析 设一年总费用为 y 万元，每年购买次数为 400 x 次，则 y 400 x 44x 1 600 x 4x2 1 600 x 4x160(万元)，当且仅当1 60
9、0 x 4x，即 x20 时等号成立，故 x20. 15.方程 x2(m2)x5m0 的两根都大于 2，则 m 的取值范围是_. 答案 (5，4 解析 (m2)24(5m)0，即 m4 或 m4， 设两根为 x1，x2，则 x 1x22m， x1x25m， 由题意 （x 12）（x22）0， （x12）（x22）0， 即 x 1x240， x1x22（x1x2）40， 2m40， 5m2（2m）40， 5m2. 又m4，5m4. 16.已知 a0，b0，且1 a 1 b1，则 3 a1 2 b1的最小值为_，取得最小值时 a _.(第一个空 3 分，第二个空 2 分) 答案 2 6 1 6 2
10、 解析 因 a0，b0，且1 a 1 b1， 1 a b1 b 0， a1 1 b1，且 b10， 则 3 a1 2 b13(b1) 2 b12 3（b1） 2 b12 6， 当且仅当 3(b1) 2 b1，即 b1 6 3 时，上式取等号， 此时 a1 6 2 . 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)某实验中学高一寄宿学生安排宿舍，若每间 4 人，则有 20 人无法安排， 若每间 8 人，则有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数. 解 设有 x 间宿舍，则学生有(4x20)人，根据题意，得 8(x1)
11、4x200，b0，ab1，求证：a1 2 b1 22. 证明 a1 2 1 a1 21 2 ， b1 2 1 b1 21 2 ， a1 2 b1 2 a3 2 2 b3 2 2 ab3 2 2， 当且仅当 ab1 2时，等号成立. 20.(本小题满分 12 分)设不等式 2x1p(x21)对满足|p|2 的一切实数 p 的取值都成立，求 x 的取值范围. 解 令 y2x1p(x21)(1x2)p2x1，p2，2，可把 y 看作关于 p 的函数，若使 y0 对|p|2 的一切实数恒成立，则当 p2 时，y0 且当 p2 时，y0， 即 2x 22x10， 所以 1 3 2 x1 3 2 ， x1
12、 7 2 . 所以 71 2 x 31 2 . 所以 x 的取值范围是 71 2 ， 31 2 . 21.(本小题满分 12 分)已知 y1x22x8，y22x24x16， (1)求不等式 y22，均有 y1(m2)xm15 成立，求实数 m 的取值范围. 解 (1)y22x24x160， 2(x2)(x4)0，2x4， 不等式 y20 的解集为x|2x2 时，y1(m2)xm15 恒成立， x22x8(m2)xm15， 即 x24x7m(x1). 对一切 x2，均有不等式x 24x7 x1 m 成立. 而x 24x7 x1 (x1) 4 x122 （x1） 4 x122(当且仅当 x3 时等
13、号成立). 实数 m 的取值范围是(，2. 22.(本小题满分 12 分)某建筑队在一块长 AM30 米， 宽 AN20 米的矩形地块 AMPN 上施工， 规划建设占地如图中矩形 ABCD 的学生公寓，要求顶点 C 在地块的对角线 MN 上，B，D 分别 在边 AM，AN 上，假设 AB 长度为 x 米. (1)要使矩形学生公寓 ABCD 的面积不小于 144 平方米，AB 的长度应在什么范围？ (2)长度 AB 和宽度 AD 分别为多少米时矩形学生公寓 ABCD 的面积最大？最大值是多少平方 米？ 解 (1)依题意知NDCNAM，所以DC AM ND NA， 即 x 30 20AD 20 ，则 AD202 3x. 故矩形 ABCD 的面积为 S20 x2 3x 2. 根据条件 0 x30，要使学生公寓 ABCD 的面积不小于 144 平方米，即 S20 x2 3x 2144，化 简得 x230 x2160，解得 12x18. 故 AB 的长度应在 12 米18 米内. (2)S20 x2 3x 22 3x(30 x) 2 3 30 xx 2 2 150， 当且仅当 x30 x，即 x15 时，等号成立. 此时 AD202 3x10. 故 AB15 米，AD10 米时，学生公寓 ABCD 的面积最大，最大值是 150 平方米.
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