1、第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.给出下列四个关系式： 7R；ZQ；0；0，其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 正确；对于，Z 与 Q 的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系；对 于，是不含任何元素的集合，故 0，选 B. 2.已知 U2，3，4，5，6，7，M3，4，5，7，N2，4，5，6，则( ) A.MN4，6 B.MNU C.(UN)MU D.(UM)NN
2、答案 B 解析 由 U2，3，4，5，6，7，M3，4，5，7，N2，4，5，6知，MNU，故 选 B. 3.已知集合 M0，1，2，3，4，N1，3，5，PMN，则 P 的子集共有( ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 答案 B 解析 易知 PMN1，3， 故 P 的子集共有 224 个. 4.已知集合 A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 a3AB，但 AB a3，“a3”是“AB”的充分不必要条件. 5.已知 MyR|y|x|，NxR|xm2，则下列关系中正确的
3、是( ) A.MN B.MN C.MN D.NM 答案 B 解析 MyR|y|x|yR|y0， NxR|xm2xR|x0， MN. 6.命题 p：ax22x10 有实数根，若綈 p 是假命题，则实数 a 的取值范围为( ) A.a|a1 D.a|a1 答案 B 解析 因为綈 p 是假命题，所以 p 为真命题，即方程 ax22x10 有实数根. 当 a0 时，方程为 2x10，x1 2，满足条件.当 a0 时，若使方程 ax 22x10 有实 数根，则 44a0，即 a1 且 a0.综上，a1. 7.已知 p：4xa4，q：2x3，若綈 p 是綈 q 的充分条件，则实数 a 的取值范围是( )
4、A.a|1a6 B.a|a1 C.a|a6 D.a|a1 或 a6 答案 A 解析 p：4xa4，即 a4xa4； q：2x2 2，所以元素 aM，且aM，同时aM，所以 A 和 B 正确，故选 AB. 10.已知集合 M2，3x23x4，x2x4，若 2M，则满足条件的实数 x 可能为( ) A.2 B.2 C.3 D.1 答案 AC 解析 由题意得，23x23x4 或 2x2x4，若 23x23x4，即 x2x20，x 2 或 x1，检验：当 x2 时，x2x42，与元素互异性矛盾，舍去；当 x1 时，x2 x42，与元素互异性矛盾，舍去.若 2x2x4，即 x2x60，x2 或 x3，
5、经验证 x2 或 x3 为满足条件的实数 x.故选 AC. 11.不等式 1|x|4 成立的充分不必要条件为( ) A.4，1 B.1，4 C.4，11，4 D.4，4 答案 AB 解析 由不等式 1|x|4，解得4x1，或 1x4.不等式 1|x|4 成立的充分不必 要条件为 A，B.故选 AB. 12.已知集合 Ax|x3a2b，a，bZ，Bx|x2a3b，a，bZ，则( ) A.AB B.BA C.AB D.AB 答案 ABC 解析 已知集合 Ax|x3a2b，a，bZ，Bx|x2a3b，a，bZ，若 x 属于 B，则： x2a3b3(2ab)2(2a)；2ab，2a 均为整数，x 也属
6、于 A，所以 B 是 A 的子集；若 x 属于 A，则：x3a2b2(3ab)3(a)；3ab，a 均为整数，x 也属于 B，所以 A 是 B 的 子集；所以 AB，故选 ABC. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知集合 A xN|y 12 x3Z ，则列举法表示集合 A_，集合 A 的真子集有 _个.(第一个空 2 分，第二个空 3 分) 答案 0，1，3，9 15 解析 集合 A xN|y 12 x3Z ，列举法表示集合 A0，1，3，9，集合 A 的真子集 有 24115 个. 14. 命 题 ： 存 在 一 个 实 数 对 (x ， y) ， 使
7、2x 3y 30成 立 的 否 定 是 _. 答案 对任意实数对(x，y)，2x3y30 恒成立 解析 存在量词命题的否定是全称量词命题. 15.当 A， B 是非空集合， 定义运算 ABx|xA， 且 xB， 若 Mx|x1， Ny|0y1， 则 MN_. 答案 x|x0 解析 画出数轴如图： MNx|xM 且 xNx|x5 或 x1，Tx|axa8，STR，则 a 的取值范围是_. 答案 a|3a1 解析 借助数轴可知 a5. 3a1. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知集合 Ax|4x2，集合
8、Bx|x30. 求：(1)AB； (2)AB； (3)R(AB). 解 由已知得 Bx|x3， (1)ABx|3x2. (2)ABx|x4. (3)R(AB)x|x2. 18.(本小题满分 12 分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性. (1)xZ，|x|N； (2)每一个平行四边形都是中心对称图形； (3)xR，x10； (4)xR，x22x30. 解 (1)xZ，|x|N，假命题. (2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题. (3)xR，x10，假命题. (4)xR，x22x30，真命题. 19.(本小题满分 12 分)已知集合 A4，2a1，a2，Ba5，1a，9，分别求适合
9、下 列条件的 a 的值. (1)9(AB)； (2)9AB. 解 (1)9(AB)，2a19 或 a29， a5 或 a3 或 a3. 当 a5 时，A4，9，25，B0，4，9，符合题意； 当 a3 时，a51a2，不满足集合元素的互异性； 当 a3 时，A4，7，9，B8，4，9，符合题意， 综上，a5 或 a3. (2)由(1)可知， 当 a5 时，AB4，9，不合题意， 当 a3 时，AB9，a3. 20.(本小题满分 12 分)已知 Ax|x2axa2120，Bx|x25x60，且满足下列三个 条件： AB；ABB；(AB)，求实数 a 的值. 解 B2，3，ABB，AB. AB，A
10、B. 又(AB)，A， A2或 A3， 方程 x2axa2120 只有一解. 由 (a)24(a212)0 得 a216， a4 或 a4. 当 a4 时， 集合 Ax|x24x402符合； 当 a4 时， 集合 Ax|x24x402(舍去). 综上，a4. 21.(本小题满分 12 分)求证： 方程 x22x3m0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是1 3 m0. 证明 (1)充分性：1 3m0， 且3m0， 方程 x22x3m0 有两个同号且不相等的实根. (2)必要性：若方程 x22x3m0 有两个同号且不相等的实根 x1，x2， 则有 412m0， x1x23m0， 解得1 3m0.
11、 综合(1)(2)知，方程 x22x3m0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是1 3m0. 22.(本小题满分 12 分)设集合 Ax|x23x20，Bx|x22(a1)x(a25)0， (1)若 AB2，求实数 a 的值； (2)若 ABA，求实数 a 的取值范围. 解 (1)A1，2.AB2， 2B，代入 B 中方程，得 a24a30， 所以 a1 或 a3. 当 a1 时，B2，2，满足条件； 当 a3 时，B2，也满足条件. 综上，a 的值为1 或3. (2)ABA，BA. 当 4(a1)24(a25)8(a3)0，即 a0，即 a3 时，BA1，2才能满足条件，此时 122（a1）， 12a25， 无解. 综上可知 a 的取值范围是(，3.
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