1、第六章第六章 平面向量初步平面向量初步 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知 ae12e2，b3e12e2，则 3ab( ) A.4e2 B.4e1 C.3e16e2 D.8e2 答案 D 解析 3ab3(e12e2)(3e12e2)8e2. 2.若向量OF 1(1，1)，OF 2(3，2)分别表示两个力 F1，F2，则|F1F2|( ) A. 10 B.2 5 C. 5 D. 15 答案 C 解析 F1F2(1，1)(3，2)(2，1)，|F1F2|（2）2
2、（1）2 5. 3.如果向量 a(k，1)，b(4，k)共线且方向相反，则 k( ) A. 2 B.2 C.2 D.0 答案 C 解析 由题意设 ab(0)，则有(k，1)(4，k)， k4， 1k， 0， 740， 解得10， 470， 解得10 答案 BC 解析 对于 A，000，A 不正确；根据 0 的规定，B 正确；根据向量加法交换律，C 正确； 对于 D，ab 时，|ab|0，D 不正确. 10.下列四个式子中一定能化简为AD 的是( ) A.(AB CD )BC B.(AD MB )(BC CM ) C.(MB AD )BM D.(OC OA )CD 答案 ABD 解析 对于A，
3、(AB CD )BC ABBCCD AC CD AD ； 对于B， (AD MB )(BC CM ) AD (MB BC CM )AD 0AD ； 对于C， (MB AD )BM MB AD MB 2MB AD ； 对于 D，(OC OA )CD AC CD AD ，故选 ABD. 11.下列命题中，真命题是( ) A.若 ab，则 a 与 b 的方向相同或相反 B.若 ab，bc，则 ac C.若 ab，bc，则 ac D.若 a，b 是直线 l 上的向量，则 ab 答案 CD 解析 由于零向量的方向是任意的，且规定零向量与任意向量平行，故取 a0，则对于任意 的向量 b，都有 ab，知 A
4、 错误；取 b0，则对于任意的向量 a，c 都有 ab，bc，知 B 错误；由两个向量相等的概念可知 C 正确；因为同一直线上的向量都是平行向量，D 正确. 12.下列结论正确的是( ) A.向量AB 与CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在一条直线上 B.已知直线上有 P1，P2，P 三点，其中 P1(2，1)，P2(1，3)，且P1P 2 3PP2 ，则点 P 的坐标 为 4 5， 3 5 C.向量PA (k，12)，PB(4，5)，PC(10， ，k).若 A，B，C 三点共线，则 k 的值为2 或 11 D.已知平面内 O，A，B，C 四点，其中 A，B，C 三点共线，O，A，
5、B 三点不共线，且OC xOA yOB ，则 xy1 答案 BCD 解析 向量AB 与CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点不一定在一条直线上，A 错误； 对于 B，设 P(x，y)，由P1P 2 3PP2 ，得 (x2，y1)2 3(1x，3y)， 则 x22 3（1x）， y12 3（3y）， 解得 x4 5， y3 5. B 正确； 对于 C，BA PAPB(k，12)(4，5)(k4，7)， CA PAPC(k，12)(10，k)(k10，12k). 因为 A，B，C 三点共线，所以BA CA，所以(k4)(12k)7(k10)0， 整理得 k29k220，解得 k2 或 k11，
6、C 正确； 对于 D，A，B，C 三点共线，存在 R，使AC AB，OC OA (OB OA )， OC (1)OA OB ， x1，y， xy1，D 正确. 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 13.已知AB (2，3)，AC(3，t)，|BC|1，则 t_. 答案 3 解析 BC ACAB(3，t)(2，3)(1，t3)，|BC|1， 12（t3）21，t3. 14.向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则 _. 答案 4 解析 以 a，b 的公共起点为原点建立平面直角坐标系如图， 则 a(2，2)，b(6，2)， c(1，3).
7、cab(，R)， 即(1，3)(2，2)(6，2)(26，22)， 261， 223，解得 2， 1 2， 2 1 2 4. 15.如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，ADDC，ADDC2AB，E 为 AD 的中点，若CA CE DB ，则 _，_(本题第一空 2 分，第二空 3 分). 答案 6 5 2 5 解析 以 D 为原点，DC 边所在直线为 x 轴，DA 边所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系.不妨 设 AB1，则 D(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1).CA (2，2)，CE(2，1)， DB (1，2)， CA CEDB ，(2，2)(2，1)
8、(1，2)， 22， 22， 解得 6 5， 2 5. 16.过OAB 的重心 G 作一条直线与边 OA，OB 分别交于点 P，Q，设OP hOA ，OQ kOB ， 则1 h 1 k_. 答案 3 解析 连接 OG 并延长 OG 交边 AB 于点 M，则 M 为 AB 边的中点， OM 1 2(OA OB )1 2 1 hOP 1 kOQ 1 2hOP 1 2kOQ ， 又OM 3 2OG ， OG 1 3hOP 1 3kOQ . P，Q，G 三点共线，且OP ，OQ 是不共线的向量， 1 3h 1 3k1，即 1 h 1 k3. 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说
9、明、证明过程或演算步骤.) 17.(10 分)已知点 A(2，1)，B(3，2)，D(1，4). (1)求证：ABAD. (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标. (1)证明 AB (3，2)(2，1)(1，1)，AB 1212 2；BD (1，4)(3，2)(4，2)， BD （4）222 20；AD (1，4)(2，1)(3，3)，AD （3）232 18. 由于 AB2AD2BD2，ABAD. (2)解 设矩形 ABCD 的顶点 C(x，y)， 则AB DC ，即(1，1)(x1，y4)， x11， y41， x0， y5， 即点 C 的坐标为(0，5). 18.(12 分
10、)已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及OP OA tAB . (1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ (2)四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由. 解 (1)OP OA tAB (1，2)t(3，3)(13t，23t). 若点 P 在 x 轴上，则 23t0，所以 t2 3. 若点 P 在 y 轴上，则 13t0，所以 t1 3. 若点 P 在第二象限，则 13t0， 所以2 3t 1 3. (2)OA (1，2)，PB OB OP (33t，33t). 若四边形 OABP 为平行四边形， 则
11、OA PB ，所以 33t1， 33t2，该方程组无解. 故四边形 OABP 不能为平行四边形. 19.(12 分)已知 e，f 为两个不共线的向量，若四边形 ABCD 满足AB e2f，BC4ef，CD 5e3f. (1)将AD 用 e，f 表示. (2)证明四边形 ABCD 为梯形. (1)解 AD AB BC CD (e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e 2f. (2)证明 因为AD 8e2f2(4ef)2BC ， 即AD 2BC ， 所以根据数乘向量的定义，AD 与BC 同方向，且AD 的长度为BC 的长度的 2 倍， 所以在四边形 ABCD 中，ADBC，且 A
12、DBC.所以四边形 ABCD 是梯形. 20.(12 分)平面内给定三个向量 a(3，2)，b(1，2)，c(4，1). (1)若(akc)(2ba)，求实数 k； (2)若 d 满足(dc)(ab)，且|dc| 5，求 d 的坐标. 解 (1)akc(34k，2k)，2ba(5，2)， 由题意得 2(34k)(5)(2k)0， 解得 k16 13. (2)设 d(x，y)，则 dc(x4，y1)， 又 ab(2，4)，|dc| 5， 4（x4）2（y1）0， （x4）2（y1）25， 解得 x3， y1，或 x5， y3. d 的坐标为(3，1)或(5，3). 21.(12 分)已知 P 是
13、ABC 内一点， 且AP 2BP3CP0， 设 Q 为 CP 的延长线与 AB 的交点， 令CP p，用 p 表示CQ . 解 AP AQ QP ，BP BQ QP ， (AQ QP )2(BQ QP )3CP 0， 即AQ 3QP 2BQ 3CP 0. 又A，Q，B 三点共线，C，P，Q 三点共线， 设AQ BQ ，CP QP . BQ 3QP 2BQ 3QP 0， (2)BQ (33)QP 0， 又BQ ，QP 为不共线的向量， 20， 330. 解得 2，1， CP QP PQ ， 故CQ CP PQ 2CP 2p. 22.(12 分)(1)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC9
14、0 ，AD2，BC1，P 是腰 DC 上 的动点，求|PA 3PB|的最小值； (2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)，B(0， 3)，C(3，0)，动点 D 满足|CD |1， 求|OA OB OD |的最大值. 解 (1)以 D 为原点， 分别以 DA， DC 所在直线为 x 轴， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设 DCa，DPx(0 xa)， D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， PA (2，x)，PB(1，ax)， PA 3PB(5，3a4x)， |PA 3PB|225(3a4x)225， 当 x3a 4 时取等号. |PA 3PB|的最小值为 5. (2)设 D(x，y)，由|CD |1，得(x3)2y21， 向量OA OB OD (x1，y 3)， 故|OA OB OD |（x1）2（y 3）2的最大值为圆(x3)2y21 上的动点到点(1， 3)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21 的圆心(3，0)到点(1， 3)的距离加上圆的半 径，即（31）2（0 3）211 7.
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