1、第五章第五章 函数应用函数应用 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( ) 答案 A 解析 由二分法的定义可知选 A. 2.函数 f(x)exx2 的零点所在区间是( ) x 1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x2 1 2 3 4 5 A.(1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) 答案 C 解析 由图表可知 f(1) f(2)0，故选 C. 3.若函数
2、 f(x)log3xx3 的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数 据如下： f(2)0.369 1 f(2.5)0.334 0 f(2.25)0.011 9 f(2.375)0.162 4 f(2.312 5)0.075 6 f(2.281 25)0.031 9 那么方程 x3log3x0 的一个近似根(精确度为 0.1)为( ) A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4 答案 C 解析 由参考数据可知 f(2.25) f(2.312 5)0，且|2.312 52.25|0.062 50.1，所以 当精确度为 0.1 时，可以将 2.3 作为函数 f(x)log3xx3 零点的近
3、似值，也即方 程 x3log3x0 的根的近似值. 4.已知 x0是函数 f(x) 1 2 x 1 x的一个零点， 且 x1(， x0)， x2(x0， 0)， 则( ) A.f(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 C.f(x1)0 D.f(x1)0，f(x2)0 答案 D 解析 y 1 2 x 在(， 0)上单调递减， y1 x在(， 0)上单调递减， f(x) 1 2 x 1 x在(， 0)上单调递减， f(x0)0， x1x0， x0 x2f(x0)0， f(x2)2m，所以总成绩比期中降低了，故 选 B. 6.已知 0a1，则方程 a|x|logax|的实根个数为( ) A.2 B.
4、3 C.4 D.与 a 的值有关 答案 A 解析 设 y1a|x|，y2|logax|，分别作出它们的图象如图所示.由图可知，两函数 有两个交点，故方程 a|x|logax|有两个根.故选 A. 7.函数 f(x)ax22x1 在区间(1，1)和(1，2)上分别有一个零点，则实数 a 的 取值范围是( ) A.(3，1) B. 3 4，1 C. 3，3 4 D.(，3) 3 4， 答案 B 解析 由零点存在定理，只需满足 f（1） f（1）0， f（1） f（2）0， 解得3 4a1，故选 B. 8.已知函数 f(x) 1 2 x 7 8，x3， log3x，0 x3， 若函数 g(x)f(x
5、)k 恰有两个零点，则实数 k 的取值范围是( ) A. 7 8，1 B. 7 8，1 C. 7 8，1 D.(0，1) 答案 A 解析 设 y1f(x)与 y2k，如图可知，当 k 7 8，1 时，直线 y2k 与函数 y1f(x) 的图象有且只有两个交点，g(x)f(x)k 恰有两个零点，故选 A. 二、 多项选择题(本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.下列函数中，能用二分法求函数零点的有( ) A.f(x)3x1 B.f(x)x22x1 C.f(x)log4
6、x D.f(x)ex2 答案 ACD 解析 f(x)x22x1(x1)2，f(1)0，当 x0；当 x1 时，f(x)0， 在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函 数值异号.故选 ACD. 10.某同学求函数 f(x)ln x2x6 的零点时， 用计算器算得部分函数值如表所示： f(2)1.307 f(3)1.099 f(2.5)0.084 f(2.75)0.512 f(2.625)0.215 f(2.5625)0.066 则方程 ln x2x60 的近似解(精确度 0.1)可取为( ) A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75 答案 AB 解析
7、由表格函数值在 0 的左右两侧，最接近的值，即 f(2.5)0.084，f(2.562 5)0.066 可知方程 ln x2x60 的近似根在(2.5，2.562 5)内，因此选项 A 中 2.52 符合，选项 B 中 2.56 也符合，故选 AB. 11.已知函数f(x) x 2，x（，0）， ln x，x（0，1）， x24x3，x1，）， 若函数g(x)f(x)m恰有2个 零点，则实数 m 可以是( ) A.1 B.0 C.1 D.2 答案 ABC 解析 令 g(x)f(x)m0，则 f(x)m，在同一直角坐标系中作出 yf(x)与 ym 的图象，因为函数 g(x)f(x)m 恰有 2
8、个零点，所以只需 yf(x)与 ym 有两个 交点. 由图可知，为使 yf(x)与 ym 有两个交点，只需 m1 或 m0 即可，故当 m 1，0，1 时，两函数均有两个交点，即 ABC 正确；当 m2 时，两函数有一个 交点，不满足题意，故 D 错；故选 ABC. 12.已知函数 f(x)log3(x1)1 x， 若关于 x 的方程 f(x)0 的根在区间(k， k1)内， 则整数 k 的值可以为( ) A.1 B.0 C.1 D.2 答案 AC 解析 画出 ylog3(x1)与 y1 x的图象如图所示，由图象可知，交点的横坐标在 (1，2)和(1，0)内，k1 或 k1.故选 AC. 三、
9、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.如果函数 f(x)x2mxm3 的一个零点为 0，则另一个零点是_. 答案 3 解析 函数 f(x)x2mxm3 的一个零点为 0，则 f(0)0，m30，m 3，则 f(x)x23x，于是另一个零点是 3. 14.某人根据经验绘制了 2020 年春节前后，从 1 月 25 日至 2 月 11 日自己种植的 西红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在 1 月 31 日大约卖出了_千克西红柿(结果保留整数). 答案 23 解析 前 10 天满足一次函数，设 f(x)axb(a0)，将点(1，10
10、)，(10，30)代入 函数解析式， 得 ab10， 10ab30，得 a 20 9 ，b70 9 ，则 f(x)20 9 x70 9 ， 则在 1 月 31 日，即当 x7 时，f(7)20 9 770 9 210 9 23 千克，故答案为 23. 15.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线， 为了解自己记忆一组单词的情 况， 她记录了随后一个月的有关数据， 绘制散点图， 拟合了记忆保持量与时间(天) 之间的函数关系：f(x) 7 20 x1，0 x1， 1 5 9 20 x 1 2，1x30. 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； 9 天
11、后，小菲的单词记忆保持量低于 40%； 26 天后，小菲的单词记忆保持量不足 20%. 其中正确的结论序号有_.(注：请写出所有正确结论的序号) 答案 解析 f(x) 7 20 x1，0 x1， 1 5 9 20 x 1 2，1x30， 可得 f(x)随着 x 的增加而减少，故正确； 当 1 1 5，故错误，故答案为. 16.已知函数f(x) 2 x，xa， x2，xa. 若f(x)是单调函数， 则实数a的取值范围是_； 若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有三个零点，则实数 a 的取值范围是 _.(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 答案 2，4 (，0) 解析 因为函数y2x在定
12、义域内是单调递增函数， 所以函数f(x)为单调递增函数， 所以 a0 且 2aa2.在同一坐标系下作出函数 y2x与 yx2的图象，由图可知， 实数 a 的取值范围为2，4.函数 g(x)f(x)b 有三个零点等价于函数 yf(x)与 y b 的图象有三个交点，在同一坐标系下作出函数 yf(x)与 yb 的图象，由图可 知，当 a 在 y 轴的左侧时，存在实数 b，使得两函数图象有三个交点，所以要使 函数 g(x)有三个零点，实数 a 的取值范围为(，0). 四、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知定义在 R
13、 上的偶函数 yf(x)在(，0上递增，函数 f(x)的一个零点为1 2，求满足 f(log 1 4 x)0 的 x 的取值集合. 解 1 2是函数的一个零点，f 1 2 0. yf(x)是偶函数且在(， 0上递增，当 log1 4x0，即 x1 时，log 1 4x 1 2， 解得 x2，即 1x2. 由对称性可知，当 log1 4x0 时， 1 2x1. 综上所述，x 的取值集合为 x 1 2x2 . 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x. (1)判断函数 f(x)在区间0，)上的单调性，并用定义证明； (2)函数 g(x)f(x)log2x2 在区间(1， 2)内是否有零
14、点？若有零点， 用“二分法” 求零点的近似值(精确度 0.3)；若没有零点，说明理由. (参考数据：1.251.118，1.51.225，1.751.323，log21.250.322， log21.50.585，log21.750.807) 解 (1)函数 f(x)在区间0，)上是增函数，设 x1，x20，)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) x1 x2 （ x 1 x2）（ x1 x2） x1 x2 x1x2 x1 x20， 所以 f(x1)f(x2)，故函数 f(x)在区间0，)上是增函数. (2)g(x) xlog2x2 在(1， 2)上是增函数， 又因为 g(1) 1log2
15、1210，所以连续函数 g(x)在区间(1，2)上有且仅有一个 零点 x0；因为 g(1.5) 1.5log21.521.2250.58520.190， 所以 x0(1.5，1.75)，又 1.751.50.250)，g(x)k2x(k20). 所以 f(1)1 8k1，g(1) 1 2k2， 即 f(x)1 8x(x0)，g(x) 1 2 x(x0). (2)设投资债券类产品为 x 万元，则股票类投资为(20 x)万元. 依题意得 yf(x)g(20 x)x 8 1 2 20 x(0 x20). 令 t 20 x(0t2 5)， 则 y20t 2 8 t 2 1 8(t2) 23， 所以当
16、t2，即 x16 万元时，最大收益为 3 万元. 20.(本小题满分 12 分)近年来 ，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了 极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资 120 万元， 根据行业规定，每个城市至少要投资 40 万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P 与投入 a(单位：万元)满足 P3 2a6，乙城市收益 Q 与投入 a(单位：万元) 满足 Q1 4a2.设甲城市的投入为 x(单位： 万元)， 两个城市的总收益为 f(x)(单位： 万元). (1)当甲城市投资 50 万元时，求此时公司在甲、乙两个城市的总收益； (2)试问如何安排甲、乙两个城市
17、的投资，才能使总收益最大？最大收益是多少？ 解 (1)当 x50 时，此时甲城市投资 50 万元，乙城市投资 70 万元， 所以总收益 f(50)3 25061 470243.5(万元). (2)由题知甲城市投资 x 万元，乙城市投资(120 x)万元， f(x)3 2x61 4(120 x)2 1 4x3 2x26， 依题意得 x40， 120 x40，解得 40 x80. f(x)1 4x3 2x26(40 x80). 令 t x，则 t2 10，4 5， y1 4t 23 2t261 4(t6 2) 244. 当 t6 2，即 x72 万元时，y 的最大值为 44 万元. 当甲城市投资
18、72 万元，乙城市投资 48 万元时，总收益最大，且最大收益为 44 万元. 21.(本小题满分 12 分)研究表明，在一节 40 分钟的数学课中，学生的注意力指数 f(x)与听课时间 x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示.当 x(0，16时，曲线是 二次函数图象的一部分；当 x(16，40时，曲线是函数 ylog0.8(xa)80 图象 的一部分. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)如果学生的注意力指数低于 75，称为“欠佳听课状态”，则在一节 40 分钟的 数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？(精确到 1 分钟，参 考数据：451 025，553 125) 解 (
19、1)当 x(0，16时，设 f(x)b(x12)284(b0)， 因为 f(16)b(1612)28480，所以 b1 4，所以 f(x) 1 4(x12) 284； 当 x(16，40时，f(x)log0.8(xa)80， 由 f(16)log0.8(16a)8080，解得 a15，所以 f(x)log0.8(x15)80. 综上，f(x) 1 4（x12） 284，x（0，16 log0.8（x15）80，x（16，40 . (2)当 x(0， 16时， 令 f(x)1 4(x12) 28418 或 x6， 所以 0 x6； 当 x(16，40时，令 f(x)log0.8(x15)8075
20、，可得 log0.8(x15)0.8 5 4 5 5 5 5 45 3 125 1 0253， 解得 x18，所以 180)，且 f(1)a 2. (1)求证：函数 f(x)有两个零点； (2)设 x1，x2是函数 f(x)的两个零点，求|x1x2|的取值范围； (3)求证：函数 f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点. (1)证明 f(1)abca 2，c 3 2ab， f(x)ax2bx3 2ab，对方程 f(x)0，则 b24a 3 2ab b 26a24ab(2ab)22a2，又a0，0 恒成立， 故函数 f(x)有两个零点. (2)解 若 x1，x2是函数 f(x)的两个零点，则 x1，x2是方程 f(x)0 的两个根， x1 x2 b a ， x1 x2 b a 3 2 ， |x1 x2| （x1x2）24x1 x2 b a 2 4 b a 3 2 b a2 2 2 2，故|x1x2|的取值范围是 2，). (3)证明 f(0)c，f(2)4a2bc，又由(1)知： 3a2b2c0，f(2)ac， 当 c0 时，有 f(0)0，又a0，f(1)a 20，f(1)0， 故函数 f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点； 综上，可知函数 f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点.
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