1、2021届九年级十月考数学试题一、选择题1. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（）A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在中，AC=4，BC=3，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（ ）A. B. C. 3D. 6. 如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD中点
2、，连结若，则的度数为A. B. C. D. 7. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A B. C. D. 8. 四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是()A B. ，C. ，D. 9. 一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（ ）A. 32B. 34C. 36D. 3810. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：0
3、12且当时，与其对应的函数值有下列结论：；和3是关于的方程的两个根；其中，正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题11. 点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是 _12. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_13. 某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出x个小分支，则x=_14. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽度为时，水面下降了_15. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数的图像性质进行了探究，下面是小东的探究过程：（1）化简函数解析式
4、，当时，_，当时，_；（2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如图，结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程只有一个实数根，直接写出实数的取值范围：_16. 中，为的中点，直线经过点，过作于，过作于，求的最大值为_三、解答题（共8道小题）17. 解方程：18. 如图，有一矩形的硬纸板，长为，宽为，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为？19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.（1）若为正整数，求的值；（2）若，满足，求的值.20. 如图，已知点，在所给的网格中完成下列任务：（1
5、）画线段，使与垂直且相等，并写出点的坐标_（2）将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则这个旋转中心的坐标为_（3）画出以为对角线的正方形，并写出这个正方形的面积_21. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上（1）求证：；（2）若为AD中点，求菱形的周长22. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价（元/件）606570销售量（件）140013001200（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）（2）该批发市场每月想从这
6、种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？23. 为等边三角形，于点，为线段上一点，以为边在直线右侧构造等边三角形，连接，为的中点（1）如图1，与交于点，连接，求线段长；（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，M为线段EF的中点，连接，当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接，在绕点逆时针旋转过程中，当线段最大时，请直接写出的面积_24. 如图，抛物线经过、三点，为抛物线上一个动点（1）求这条抛物线的函数表
7、达式；（2）已知是直线上的一动点，若以、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围2021届九年级十月考数学试题一、选择题1. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】先化为一般形式，再解答【详解】解：一元二次方程化为一般形式为：，二次项系数和一次项系数分别为2，3，故选A【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a0）其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的
8、是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据配方法的原理，凑成完全平方式即可.【详解】解：，故选D【点睛】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【详解】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题
9、意故选：C【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把代入可得，然后代入求解即可【详解】解：把代入得，=，故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的根，以及求代数式的值，运用整体代换，往往能使问题得到简化5. 如图，在中，AC=4，BC=3，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（ ）A. B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】由旋转的性
10、质可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，则可求得BE，连接BD，在RtBDE中可求得BD的长【详解】解：如图，连接BD在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，AB=5，ABC绕点A逆时针旋转得到AED，DEA=C=90，AE=AC=4，DE=BC=3，BE=AB-AE=5-4=1，在RtBDE中，由勾股定理可得 ，即B、D两点间的距离为，故选：A【点睛】本题主要考查了旋转的性质和勾股定理掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等是解题的关键6. 如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结若，则的度数为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】【分析】直接利用三
11、角形内角和定理得出的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案【详解】，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，是的中位线，故选B【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是的中位线是解题关键7. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x1）36，故选A【点睛】此题考查
12、由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.8. 四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是()A. B. ，C. ，D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可.【详解】A.只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误；B. ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；C. ，一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误；D. 对角线互相垂直不能判定四边形平行四边形，故错误，故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的
13、关键.9. 一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（ ）A. 32B. 34C. 36D. 38【答案】C【解析】【分析】设每分钟的进水量为，出水量为，先根据函数图象分别求出b、c的值，再求出时，y的值，然后根据每分钟的出水量列出等式求解即可【详解】设每分钟的进水量为，出水量为由第一段函数图象可知，由第二段函数图象可知，即解得则当时，因此，解得故选：C【点睛】本题考查了函数图象的应用，理解题意，从函数图象中正确获取信息，从而求出每分钟的进
14、水量和出水量是解题关键10. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：012且当时，与其对应的函数值有下列结论：；和3是关于的方程的两个根；其中，正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解【详解】由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2抛物线的对称轴是：x=-=；a、b异号，且b=-a；当x=0时y=c=-2cabc0，故正确；根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t和3是关于的方程的两个根；故正确；b=-a，c=-2二次函数解析式：当时，与其对应的
15、函数值，a；当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，m=n=2a-2，m+n=4a-4；故错误故选C【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键二、填空题11. 点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是 _【答案】（4，3）【解析】【详解】解：关于原点对称的点的坐标横、纵坐标均互为相反数， 则点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是（4，3）12. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据二次函
16、数y=x24x+k1的图象与x轴有交点，可知(-4)2-41(k-1)0，从而可以求得k的取值范围【详解】解：二次函数y=x24x+k1的图象与x轴有交点，(-4)2-41(k-1)0，解得，k5，故答案为：k5【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答13. 某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出x个小分支，则x=_【答案】9【解析】【分析】根据主干+支干数目+支干数目支干数目=91，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】解：主干为1，每个支干长出x个
17、小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，小分支的个数为：xx=x2，可列方程为：1+x+x2=91解得：x1=9，x2=-10（舍去）答：每个支干长出9个小分支故答案为：9【点睛】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程求解14. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽度为时，水面下降了_【答案】【解析】【分析】如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为（0，2），A（-2，0），B（2，0），求出抛物线解析式，然后把代入求解即可【详解】解：如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为（0，2），A（-2，
18、0），B（2，0），设抛物线解析式为 ， 即 ，抛物线解析式为 ，当水面宽度为 时，即当 ， ，水面下降的高度为4m，故答案为：4m【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解15. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数的图像性质进行了探究，下面是小东的探究过程：（1）化简函数解析式，当时，_，当时，_；（2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如图，结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程只有一个实数根，直接写出实数的取值范围：_【答案】 . . 3 . a0或a1或a=【解析】【分析】（1）根据题意，化简函数解析式即可
19、；（2）根据化简解析式画出图象，然后根据图象即可求得【详解】解：（1）当x3时，=x；当x3时，=3；故答案为x，3；（2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如下：根据画出的函数图象，当a0时，直线y=ax+1与函数只有一个交点；当a1时，直线y=ax+1与函数y=3（x3）的图象有一个交点，与函数y=x（x3）无交点；当a=时，直线y=x+1经过点（3，3）故若关于x的方程只有一个实数根，实数a的取值范围：a0或a1或a=，故答案为a0或a1或a=【点睛】本题考查了化简绝对值，描点法画函数图象，一次函数的图象和性质，利用函数图象解方程，关键是能根据解析式画出图象16. 中，为的中点，直线经过
20、点，过作于，过作于，求的最大值为_【答案】【解析】【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可【详解】解：如图，过点C作CKl于点K，过点A作AHBC于点H，在RtAHB中，ABC=60，BAH=30，AB=4，BH=2，AH=2，在RtAHC中，ACB=45，AH=CH=2，AC=，点D为BC中点，BD=CD，在BFD与CKD中，BFDCKD（AAS），BF=CK，延长AE，过点C作CNAE于点N，得矩形ENCK，CK=EN，AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在RtACN中，ANAC，当直线lAC时，最大值为2，综上所述，AE+BF的最大
21、值为2故答案为：2【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，含30角的等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，以及垂线段最短等知识，构建全等三角形是解答此题的关键三、解答题（共8道小题）17. 解方程：【答案】， .【解析】【分析】利用求根公式即可以求出方程的解.【详解】求根公式为,将a,b,c分别代入即得，即， .【点睛】熟练掌握求根公式是本题解题的关键.18. 如图，有一矩形的硬纸板，长为，宽为，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为？【答案】【解析】【
22、分析】设剪去正方形的边长为xcm，根据长方体盒子的底面积为列出关于x的方程求解【详解】解：设剪去的正方形边长为，由题意得，化简得，又，答：剪去的正方形的边长为【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.（1）若为正整数，求的值；（2）若，满足，求的值.【答案】（1），2；（2）【解析】【分析】(1)根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论；(2)由根与系数的关系可得，代入，解方程即可得到结论【详解】(1)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，解得：，为正整数，2
23、；(2)，解得：，【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键20. 如图，已知点，在所给网格中完成下列任务：（1）画线段，使与垂直且相等，并写出点的坐标_（2）将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则这个旋转中心的坐标为_（3）画出以为对角线的正方形，并写出这个正方形的面积_【答案】（1）见解析，；（2）（4,2）或者（1,5）；（3）【解析】【分析】（1）根据 CD 与 AB 垂直且相等，通过数形结合即可得出答案；（2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心；（3）正方形的面积等于对角线乘积的一半
24、，即可得出答案【详解】解：（1）如图当 CD 与 AB 垂直且相等时，:D 点坐标为(6,6)故答案为：（2）若点 A 与C点重合，点 B 与点 D 重合，则旋转中心是 P 点P (4,2)若点 A 与D点重合，点 B 与点 C重合，则旋转中心是 P 点，P (1,5)这个旋转中心坐标为（4,2）或者（1,5）；（3）以CD为对角线的正方形CEDF如图所示， 这个正方形的面积为10故答案为：10【点睛】本题考查旋转中心，正方形，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题21. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上（1）求证：；（2）若为AD中点，求菱
25、形的周长【答案】（1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到EH=FG，EHFG，得到GFH=EHF，求得BFG=DHE，根据菱形的性质得到ADBC，得到GBF=EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，ADBC，求得AE=BG，AEBG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，于是得到结论【详解】（1）四边形EFGH是矩形，EH=FG，EHFG，GFH=EHF，BFG=180-GFH，DHE=180-EHF，BFG=DHE，四边形ABCD是菱形，ADBC，GBF=EDH，BGFDEH（AAS），（2）连接EG，四边形AB
26、CD是菱形，AD=BC，ADBC，E为AD中点，AE=ED，BG=DE，AE=BG，AEBG，四边形ABGE是平行四边形，AB=EG，EG=FH=2，AB=2，菱形ABCD的周长=8【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键22. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价（元/件）606570销售量（件）140013001200（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中
27、获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）与之间的函数表达式为；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元【解析】【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定
28、价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少【详解】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k0），把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得， 解得，与之间的函数表达式为；（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得，（x-50）(-20x+2600)=24000解得，批发商场想尽量给客户实惠，故这种衬衫定价为每件70元；（3）设售价定为x元，则有： = k=-200，w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元【点睛】本题考查二次函数的应用，解答
29、本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答23. 为等边三角形，于点，为线段上一点，以为边在直线右侧构造等边三角形，连接，为的中点（1）如图1，与交于点，连接，求线段的长；（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，M为线段EF的中点，连接，当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接，在绕点逆时针旋转过程中，当线段最大时，请直接写出的面积_【答案】（1）GN=；（2）是定值，见解析；（3）【解析】【分析】（1）如图1中，连接BE，CF解直角三角形求出BE，再利用全等三角形的性质证明CF=BE，利用三角形的中位线定理即可解决问题；（2）结论：D
30、NM=120是定值利用全等三角形的性质证明EBC+BCF=120，再利用三角形的中位线定理，三角形的外角的性质证明DNM=EBC+BCF即可；（3）如图3-1中，取AC的中点，连接BJ，BN首先证明当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3-2中，过点N作NHAD于H，设BJ交AD于K，连接AN解直角三角形求出NH即可解决问题【详解】解：（1）如图1中，连接BE，CFABC是等边三角形，ADBC，AB=BC=AC=4，BD=CD=2，BAD=CAD=30，AD=BD=2，AEF是等边三角形，EAF=60，EAG=GAF=30，EG=GF，AE=，DE=AE=，BE=，ABC，AEF是等边三
31、角形，AB=AC，AE=AF，BAC=EAF=60，BAE=CAF，BAECAF（SAS），CF=BE=，EN=CN，EG=FG，GN=CF=；（2）结论：DNM=120是定值理由：连接BE，CF同法可证BAECAF（SAS），ABE=ACF，ABC+ACB=60+60=120，EBC+BCF=ABC-ABE+ACB+ACF=120，EN=NC，EM=MF，MNCF，ENM=ECF，BD=DC，EN=NC，DNBE，CDN=EBC，END=NDC+NCD，DNM=DNE+ENM=NDC+ACB+ACN+ECF=EBC+ACB+ACF=EBC+BCF=120；（3）如图3-1中，取AC的中点，连
32、接BJ，BNAJ=CJ，EN=NC，JN=AE=，BJ=AD=2，BNBJ+JN，BN，当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3-2中，过点N作NHAD于H，设BJ交AD于K，连接ANKJ=AJtan30=，JN=，KN=，在RtHKN中，NHK=90，NKH=60，HN=NKsin60=，SADN=ADNH=2=【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题24. 如图，抛物线经过、三点，为抛物线上一个动点（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）
33、已知是直线上的一动点，若以、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）把、三点代入函数解析式求解即可；（2）分当四边形AEDC是平行四边形时和当四边形ADEC是平行四边形时，两种情况进行讨论求解；（3）先求出抛物线的最大值，然后求出函数值为2时，自变量的值，由此得到 时的取值范围是；再由当时，的取值范围是，求解即可【详解】解：（1）抛物线经过、三点，解得，抛物线解析式为：；（2）如图所示，当四边形AEDC平行四边形时，设直线BC的解析式为，解得，直线BC的解析式为，设，整理得：，此时方程无解，不符合题意；当四边形ADEC是平行四边形时，整理得：，解得或（舍去），D（5，-3）；（3）抛物线的解析式为抛物线的对称轴为，当时，当y=2时，解得或抛物线的函数值最大为，当，的取值范围是，当时，的取值范围是，当时，此时，同理当时，综上所述，【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解
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