1、2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1（3分）在比例尺为的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为，则它的实际长度约为A0.585 B5.85 C58.5 D585 2（3分）下列函数中，不是二次函数的是ABCD3（3分）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为，则它的宽约为ABCD4（3分）对于二次函数的图象，下列说法正确的是A开口向下B对称轴是直线C顶点坐标是D与轴有两个交点5（3分）如图，在中，于点，则图中相似三角形共有A1对B2对
2、C3对D4对6（3分）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于ABCD7（3分）如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为ABCD8（3分）二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；当时，的值随值的增大而增大其中正确的结论有A1个B2个C3个D4个二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，将答案填在答题卡上）9（3分）若，则10（3分）如图，在中，点、分别在、上，若，则的值为11（3分）中，则12（3分）锐角满足，则13（3分）向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为若此炮弹在第5秒与第
3、13秒时的高度相等，则第秒时炮弹位置达到最高14（3分）如图，中，两点分别在边，上，且与不平行请填上一个你认为合适的条件：，使（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！15（3分）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是16（3分）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为 三、解答题（本大题共11小题，共102分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（6分）计算：18（6分）已知是和3的比例中项，求19（8分）中，点，分别在，上
4、，如果，的面积为4，四边形的面积为5，求边的长20（8分）丁丁推铅球的出手高度为，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离21（8分）在中，解这个直角三角形22（10分）如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且（1）求证：；（2）当，时，求的长23（10分）如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、求证：（1）；（2）24（10分）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面的水平距离米，求旗杆的
5、高度约为多少？（保留一位小数，参考数据：，25（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏（1）若，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙的长；（2）求矩形菜园面积的最大值26（12分）如图，中，点从点出发，沿方向以的速度移动，同时点从出发，沿方向以的速度移动（1）证明当移动到中点时，四边形面积最小（2）经过多少时间，与相似？27（14分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；（2）证明与的面积相等；（3）是否存在使为直角三
6、角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1（3分）在比例尺为的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为，则它的实际长度约为A0.585 B5.85 C58.5 D585 【分析】由比例尺的定义，由图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离【解答】解：设这两城市的实际距离是厘米，由题意，得，解得：，故选：2（3分）下列函数中，不是二次函数的是ABCD【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可【解答】解：、是二次函数；、，是二次函数
7、；、，是二次函数；、，是一次函数；故选：3（3分）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为，则它的宽约为ABCD【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比【解答】解：方法1：设书的宽为，则有，解得方法2：书的宽为故选：4（3分）对于二次函数的图象，下列说法正确的是A开口向下B对称轴是直线C顶点坐标是D与轴有两个交点【分析】根据抛物线的性质由得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，从而可判断抛物线与轴没有公共点【解答】解：二次函数的图象开口向上，顶点坐标为
8、，对称轴为直线，抛物线与轴没有公共点故选：5（3分）如图，在中，于点，则图中相似三角形共有A1对B2对C3对D4对【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形【解答】解：，所以有三对相似三角形故选：6（3分）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于ABCD【分析】先过点向引垂线，构造出直角三角形，再利用三角函数的定义解答即可【解答】解：过点向引垂线，与的延长线交于点在中，故选：7（3分）如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为ABCD【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出点坐标【解答】解：线段
9、的两个端点坐标分别为，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，端点的横坐标和纵坐标都变为点的一半，端点的坐标为：故选：8（3分）二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；当时，的值随值的增大而增大其中正确的结论有A1个B2个C3个D4个【分析】根据抛物线的图象过点对进行判断；利用抛物线的对称轴方程可对进行判断；利用时函数值为负数可对进行判断；根据二次函数的增减性对进行判断【解答】解：抛物线与轴的一个交点是，；所以正确；对称轴为直线，所以正确；当时，即，所以错误；当时，的值随值的增大而增大，时，的值随值的增大而减小，所以选项错误故选：二、填空题（本大题共8小
10、题，每题3分，共24分，将答案填在答题卡上）9（3分）若，则【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案【解答】解：根据等式的性质：两边都加1，则，故答案为：10（3分）如图，在中，点、分别在、上，若，则的值为【分析】首先根据，得出，即可得出，进而得的值【解答】解：，则的值为故答案为：11（3分）中，则【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出的长，根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出的值【解答】解：如图，等腰中，过作于，则，在中，则，故故答案为12（3分）锐角满足，则【分析】根据特殊锐角三角函数值可得答案【解答】解：，又，故答案为：13（3分）向
11、空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为若此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，则第9秒时炮弹位置达到最高【分析】求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值【解答】解：此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，抛物线的对称轴是直线，炮弹位置达到最高时，时间是第9秒故答案为：914（3分）如图，中，两点分别在边，上，且与不平行请填上一个你认为合适的条件：或，使（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！【分析】此题属于开放题，答案不唯一注意此题的已知条件是：，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可【解答】解：此题答案不唯
12、一，如或或15（3分）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是【分析】设出抛物线方程代入坐标求得【解答】解：设出抛物线方程，由图象可知该图象经过点，故，故16（3分）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为 18【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得【解答】解：连接，若要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，则，又，故答案是：18三、解答
13、题（本大题共11小题，共102分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（6分）计算：【分析】把特殊三角函数值代入，再根据实数混合运算顺序进行运算即可【解答】解：原式18（6分）已知是和3的比例中项，求【分析】根据比例中项的定义列方程求解即可【解答】解：和3的比例中项，19（8分）中，点，分别在，上，如果，的面积为4，四边形的面积为5，求边的长【分析】由，是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得，然后由，的面积为4，四边形的面积为5，即可求得的长【解答】解：，是公共角，的面积为4，四边形的面积为5，的面积为9，解得：20（8分）丁丁
14、推铅球的出手高度为，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离【分析】从抛物线解析式可以看出，有一个待定系数，在抛物线图象上找一个点，就可以确定待定系数，从而确定抛物线解析式，再利用抛物线解析式回答题目的问题【解答】解：由题意知，点在抛物线上，所以，解这个方程，得或（舍去），所以该抛物线的解析式为，当时，有，解得，（舍去），所以铅球的落点与丁丁的距离为21（8分）在中，解这个直角三角形【分析】利用三角形内角和定理构建方程组求出，的值，推出，解方程组求出，即可解决问题【解答】解：，由，解得，22（10分）如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且（
15、1）求证：；（2）当，时，求的长【分析】（1）连接，因为，所以，从而易证，所以，从可证明；（2）设的半径为，则，在中，从而可求出的值【解答】解：（1）证明：连接，与边相切于点，；（2）在，设的半径为，则，在中，23（10分）如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、求证：（1）；（2）【分析】（1）由题意可得，即可证；（2）由可得，即可证，可得【解答】证明：（1）等腰和等腰，且，（2），且24（10分）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面的
16、水平距离米，求旗杆的高度约为多少？（保留一位小数，参考数据：，【分析】如图，延长交的延长线于，作于则四边形是矩形在中求出、，再根据构建方程即可解决问题【解答】解：如图，延长交的延长线于，作于则四边形是矩形在中，设，则有，在中，解得故旗杆的高度约为13.1米25（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏（1）若，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙的长；（2）求矩形菜园面积的最大值【分析】（1）设，则，根据“所围成的矩形菜园的面积为1800平方米”列出方程求解即可；（2）设，则，
17、分和两种情况讨论【解答】解：（1）设，则，根据题意得：，解得，当时，不符合题意舍去，当时，答：的长为；（2）设，当时，则时，的最大值为5000，当时，则当时，随的增大而增大，当时，的最大值为，答：当时，的最大值为5000，当时，的最大值为26（12分）如图，中，点从点出发，沿方向以的速度移动，同时点从出发，沿方向以的速度移动（1）证明当移动到中点时，四边形面积最小（2）经过多少时间，与相似？【分析】（1）设经过时，根据四边形的面积公式得到关于的二次函数关系式，结合二次函数最值的求法解答（2）分和两种情况解答，利用相似三角形的对应边成比例列出比例式，并解答即可【解答】解：在中，由，可得：（1）证
18、明：设经过时，即：当时，四边形面积最小，即为中点；（2）当时，有，即：当时，有即：答：经过秒或秒时，和相似27（14分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；（2）证明与的面积相等；（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由【分析】（1）将抛物线化为顶点式，则抛物线顶点的坐标为，令，解方程即可求出点、的坐标；（2）分别表示出与的面积即可证明；（3）用含的代数式分别表示出、，再根据为直角三角形，分三种情况：当时，；时，；当时，由，此种不存在，分别进行列方程计算即可得出答案【解答】解：（1），抛物线顶点的坐标为，抛物线与轴交于、两点，当时，解得，两点的坐标为、，（2）当时，点的坐标为，过点作轴于，则，（3）存在使为直角三角形的抛物线过点作于点，则为直角三角形，在中，在中，如果是直角三角形，且时，即，解得，存在抛物线使得是直角三角形；如果是直角三角形，且时，即，解得，存在抛物线使得是；，以为直角的直角三角形不存在，综上，存在抛物线和使是直角三角形
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