1、第1章 三角形的初步认识 章末检测卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.（2021浙江八年级期中）如图，点D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，CD、BE交于点F，现给出下面两个命题：当CD、BE是ABC的中线时，S三角形BFCS四边形ADFE；当CD、BE是ABC的角平分线时，BFC90+12A下列说法正确的是（）A是真命题 是假命题B是假命题 是真命题C是假命题 是假命题D是真命题 是真命题2（2021河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和已知：如图，是的外角求证：下列说法正确的是（ ）A
2、证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B证法1用严谨的推理证明了该定理C证法2用特殊到一般法证明了该定理 D证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理3（2020浙江八年级期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ）A6B7C8D104（2021浙江杭州市八年级期末）如图，在中，为中线，则与的周长之差为（ ）A1B2C3D45（2021湖北鄂州市八年级期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则1+3-2=
3、（ ）A30B45C60D1356（2021河北唐山市八年级期末）如图，在，上分别截取，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，就是的角平分线这是因为连结，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得在这个过程中，得到的条件是（ ）ASASBAASCASADSSS7（2021湖北八年级期末）如图，ABC中，B=2A，ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（）A6B7C8D98.（2021春锦江区校级期中）如图，在ABC和DEC中，已知ABDE，还需添加两个条件才能用SAS判定ABCDEC，能添加的一组条件是（）ABE，BCECBBE，AC
4、DCCAD，BCECDBCEC，ACDC9（2021广东中山市八年级期末）如图，在ABC和CDE中，若ACBCED90，ABCD，CEAC，则下列结论中正确的是（）AE为BC中点B2BECDCCBCDDABCCDE10（2021北京西城区八年级期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称若，则的周长为（ ）A9B10C11D1211（2021广西梧州市八年级期末）如图，在等腰直角三角形中，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E下列给出四个结论：；与互余；其中正确结论的序号是（ ）ABCD12（2020黑龙江松北初二期末）如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE
5、平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G，则DH=HC；DF=FC；BF=AC；CE = BF 中正确有（ ）A1 个B2 个C3 个D4 个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.（2021宽城区一模）判断命题“代数式2m21的值一定大于代数式m21的值”是假命题，只需举出一个反例，反例中m的值为 14（2020山西吕梁市八年级期末）下图是跪姿射击的情形我们可以看到，跪姿射击的动作构成了三个三角形一是由右脚尖、右膝、左脚构成的三角形支撑面；二是由左手、左肘、左
6、肩构成的托枪三角形；三是由左手、左肩、右肩所构成的近乎水平的三角形这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定其中，蕴含的数学道理是_15（2021浙江杭州市八年级期中）如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；（1）晷针与晷面夹角为_；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为_ 16（2021浙江八年级月考）如图，在ABC中，A90，ABAC，ABC的平分线BD交AC于点D，CEBD，交BD的延长线于点E，若BD4，则CE_17（2021湖北武汉市八年级期末）问题
7、背景：如图，点为线段外一动点，且，若，连接，求的最大值解决方法：以为边作等边，连接，推出，当点在的延长线上时，线段取得最大值问题解决：如图，点为线段外一动点，且，若，连接，当取得最大值时，的度数为_ 18（2020江苏昆山初二期末）如图，ABC中，ACB90，AC6cm，BC8cm，直线l经过点C且与边AB相交动点P从点A出发沿ACB路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿BCA路径向终点A运动点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束在某时刻分别过点P和点Q作PEl于点E，QFl于点F，设运动时间为t秒，则当t_秒时，PEC与QFC全等三、解
8、答题（本大题共6小题，共66分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2021浙江宁波市八年级期末）已知：两边及其夹角，线段，求作：，使，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）请你根据所学的知识，说明尺规作图作出，用到的是三角形全等判定定理中的_，作出的是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的_20（2021河南驻马店市八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“梦想三角形”反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个
9、三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 （2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？21（2021山东德州市八年级期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，相邻两平行线间的距离相等，相交于，垂足为已知米请根据上述信息求标语的长度22.（2021蓬溪县期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的
10、夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究（1）如图1，在ABC中，ABC与ACB的平分线交于点P，A64，则BPC ；（2）如图2，ABC的内角ACB的平分线与ABC的外角ABD的平分线交于点E其中A，求BEC（用表示BEC）；（3）如图3，CBM、BCN为ABC的外角，CBM、BCN的平分线交于点Q，请你写出BQC与A的数量关系，并说明理由（4）如图4，ABC外角CBM、BCN的平分线交于点Q，A64，CBQ，BCQ的平分线交于点P，则BPC ，延长BC至点E，ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则R 23（2021福建福州市九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD（1）请判断：
11、线段BE与CD的大小关系是 ；（2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是_,在如图中证明你的猜想.（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？ 24（2021浙江温州市八年级月考）在ABC中，AO=BO，直线MN经过点O，且ACMN于C，BDMN于D. (1) 当直线MN绕点O旋转到图的位置时，求证：CD=AC+BD
12、；(2) 当直线MN绕点O旋转到图的位置时，求证：CD=AC-BD；(3) 当直线MN绕点O旋转到图的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明 25（2021湖北八年级期末）阅读下列材料，完成相应任务数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线求证：智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至，使，是边上的中线在和中（依据一）在中，（依据二）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：_；依据2：_归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”“
13、倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系任务二：如图3，则的取值范围是_；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，；中，连接试探究与的数量关系，并说明理由 26（2021南昌市心远中学八年级期中）在图1、图2，图3中点E、F分别是四边形边上的点；下面请你根据相应的条件解决问题特例探索：（1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），延长至G，使则_在图2中，；则_归纳证明：（2）在图3中，且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式实际应用:（3）图4是某公路筑建工程平面示意图，
14、指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起点，它们分别在指挥中心的北偏东和南偏东的方向上且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，经测量试求C与D两处之间的距离第1章 三角形的初步认识 章末检测卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.（2021浙江八年级期中）如图，点D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，CD、BE交于点F，现给出下
15、面两个命题：当CD、BE是ABC的中线时，S三角形BFCS四边形ADFE；当CD、BE是ABC的角平分线时，BFC90+12A下列说法正确的是（）A是真命题 是假命题B是假命题 是真命题C是假命题 是假命题D是真命题 是真命题【分析】由CD、BE是ABC的中线，得出F是ABC的重心，根据三角形重心的性质以及三角形的面积公式可判定是真命题；根据角平分线定义以及三角形内角和定理可判定是真命题【解答】解：CD、BE是ABC的中线，F是ABC的重心，S三角形BFC=13S三角形ABC，S三角形EFC=13S三角形BEC=16S三角形ABC，S三角形BDF=13S三角形BDC=16S三角形ABC，S四边
16、形ADFES三角形ABCS三角形BFCS三角形EFCS三角形BDFS三角形ABC-13S三角形ABC-16S三角形ABC-16S三角形ABC=13S三角形ABC，S三角形BFCS四边形ADFE，故命题正确；CD、BE是ABC的角平分线，BCF=12BCA，FBC=12ABC，BFC180（BCF+FBC）180-12（BCA+ABC）180-12（180A）90+12A，故命题正确故选：D【点评】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可2（2021河北中考真题）定理：三
17、角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和已知：如图，是的外角求证：下列说法正确的是（ ）A证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B证法1用严谨的推理证明了该定理C证法2用特殊到一般法证明了该定理 D证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一
18、般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意故选择：【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨3（2020浙江八年级期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ）A6B7C8D10【答案】B【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木
19、框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可【详解】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-465+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-276+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+310，不能构成三角形，此种情况不成立；选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+48，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7故选：B
20、【点睛】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键4（2021浙江杭州市八年级期末）如图，在中，为中线，则与的周长之差为（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】根据三角形中线的性质得，则两个三角形的周长之差就是AB和AC长度的差【详解】解：AD是中线，故选：B【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质5（2021湖北鄂州市八年级期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则1+3-2=（ ）A30B45C60D135【答案】B【分析】首先利用SAS定理判定ABCDBE，根据全等三角形的性质可得3=ACB，再由ACB+1=1
21、+3=90，可得1+3-2【详解】在ABC和DBE中，ABCDBE（SAS），3=ACB，ACB+1=90，1+3=90，2=451+3-2=90-45=45，故选B【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等6（2021河北唐山市八年级期末）如图，在，上分别截取，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，就是的角平分线这是因为连结，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得在这个过程中，得到的条件是（ ）ASASBAASCASADSSS【答案】D【分析】由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS证明三角形全等即可【
22、详解】解：由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，CODCOE（SSS），故选：D【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题7（2021湖北八年级期末）如图，ABC中，B=2A，ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（）A6B7C8D9【答案】B【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案【详解】解：如图，在上截取 连接 平分 故选：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键8.（2021春锦江区校级期中）如图，
23、在ABC和DEC中，已知ABDE，还需添加两个条件才能用SAS判定ABCDEC，能添加的一组条件是（）ABE，BCECBBE，ACDCCAD，BCECDBCEC，ACDC【分析】由ABDE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一组对应边相等及其对应夹角相等【解答】解：A、若ABDE，BE，BCEC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出ABCDEC，故符合题意B、若ABDE，ACDC，BE，由SSA不能判定ABCDEC，故不符合题意；C、若ABDE，BCEC，AD，由SSA不能判定ABCDEC，故不符合题意；D、若ABDE，BCEC，ACDC，由SSS不能判定ABCDEC，故不符合
24、题意；故选：A【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL9（2021广东中山市八年级期末）如图，在ABC和CDE中，若ACBCED90，ABCD，CEAC，则下列结论中正确的是（）AE为BC中点B2BECDCCBCDDABCCDE【答案】D【分析】首先利用HL定理证明RtABCRtCDE，然后根据全等三角形的性质，即可一一判断【详解】ACBCED90 在RtABC与RtCDE中，RtABCRtCDE（HL），CBDE，CEAC，CDAB，ABCCDE，故D符合题意，其
25、他选项不符合题意故选：D【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握HL定理判定三角形全等是解题关键10（2021北京西城区八年级期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称若，则的周长为（ ）A9B10C11D12【答案】B【分析】连接，交于点，由点与点关于直线对称，可证得，继而可证明，由全等三角形对应边相等解得，同理可证及，最后结合线段的和差与已知条件解题即可【详解】连接，交于点，由点与点关于直线对称，在与中，同理，在与中，的周长为：故选：B【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键11（2021广西梧州市八年级期末）如图，
26、在等腰直角三角形中，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E下列给出四个结论：；与互余；其中正确结论的序号是（ ）ABCD【答案】D【分析】证ADBBEC即可【详解】证明：， ，ADB=BEC=90，BAD+ABD=90，BCE+CBE=90，ABD+CBE=90，BAD=CBE，BCE+BAD=90，故正确；BAD=CBE，ADB=BEC=90，ADBBEC，AD=BE，故正确；DE=DB+BE=CE+AD，故正确；故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是找到并证明全等三角形12（2020黑龙江松北初二期末）如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC
27、，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G，则DH=HC；DF=FC；BF=AC；CE = BF 中正确有（ ）A1 个B2 个C3 个D4 个【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质进行判断；过F作FMBC于M，则FMFC，由角平分线定理和三角形边的关系判断便可；根据ABC=45，CDAB于D，可以证明BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得BD=CD，然后证明BDF与CDA全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，从而判断正确；根据BE平分ABC，且BEAC于E，可以证明ABE与CBE全等，根据全等
28、三角形对应边相等可得AE=CE，从而判断正确【解析】解：CDAB于D，BDC=90，H是BC边的中点，DH=CD，正确；过F作FMBC于M，则FMFC， BE平分ABC，DF=FM，DFFC，错误；ABC=45，CDAB于D，BCD是等腰直角三角形，BD=CD，CDAB于D，BEAC于E，DBF+A=90，ACD+A=90，DBF=ACD，在BDF与CDA中，BDFCDA（ASA），BF=AC，正确；BE平分ABC，且BEAC于E，ABE=CBE，AEB=CEB=90，在ABE与CBE中，ABECBE（ASA），AE=CE=AC，AC=BF，CE=BF，正确所以，正确的结论是，故选：C【点睛】
29、本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.（2021宽城区一模）判断命题“代数式2m21的值一定大于代数式m21的值”是假命题，只需举出一个反例，反例中m的值为 【分析】把m0代入代数式计算，根据计算结果判断即可【解答】解：当m0时，2m211，m211，则代数式2m21的值等于代数式m21的值，命题“代数式2m21的值一定大于代数式m21的值”是假命题，故答案为：0【点评】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假要说
30、明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可14（2020山西吕梁市八年级期末）下图是跪姿射击的情形我们可以看到，跪姿射击的动作构成了三个三角形一是由右脚尖、右膝、左脚构成的三角形支撑面；二是由左手、左肘、左肩构成的托枪三角形；三是由左手、左肩、右肩所构成的近乎水平的三角形这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定其中，蕴含的数学道理是_【答案】三角形的稳定性【分析】直接根据题意进行解答即可【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性；故答案为三角形的稳定性【点睛】本题主要考查三角形稳定性，熟练
31、掌握三角形的稳定性是解题的关键15（2021浙江杭州市八年级期中）如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；（1）晷针与晷面夹角为_；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为_ 【答案】 【分析】由垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条平行线，即可判断出晷针与晷面垂直，即晷针与晷面夹角为 由平行线的性质即可求出，根据题意可求出，再根据三角形内角和定理即可求出，最后由对顶角相等即可求出，即太阳光与该晷面所夹锐角度为【详解】根据题意晷面与赤道平行，地轴与赤道垂直，地轴
32、与晷面垂直，又晷针与地轴平行，晷针与晷面垂直即晷针与晷面夹角为可将题干中图简化为如下图：根据题意结合图形可知：，即，即，即太阳光与该晷面所夹锐角度为故答案为，【点睛】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理理解题意，能看懂赤道式日晷的二维图形是解答本题的关键16（2021浙江八年级月考）如图，在ABC中，A90，ABAC，ABC的平分线BD交AC于点D，CEBD，交BD的延长线于点E，若BD4，则CE_【答案】2【分析】根据题意延长BA、CE相交于点F，利用“角边角”证明BCE和BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=EF，根据等角的余角相等求出ABD=ACF，然后利用“角边角”证明ABD
33、和ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，然后求解即可【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F，BD平分ABC，ABD=CBD，在BCE和BFE中，BCEBFE（ASA），CE=EF，BAC=90，CEBD，ACF+F=90，ABD+F=90，ABD=ACF，在ABD和ACF中，ABDACF（ASA），BD=CF，CF=CE+EF=2CE，BD=2CE=4，CE=2故答案为：2【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质和等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形并得到与BD相等的线段CF17（2021湖北武汉市八年级期末）问题背景
34、：如图，点为线段外一动点，且，若，连接，求的最大值解决方法：以为边作等边，连接，推出，当点在的延长线上时，线段取得最大值问题解决：如图，点为线段外一动点，且，若，连接，当取得最大值时，的度数为_【答案】【分析】以AC为直角边，作等腰直角三角形CEA，CE =CA，ECA=90，连接EB，利用SAS证出ECBACD，从而得出EB=AD，然后根据两点之间线段最短即可得出当AD取得最大值时，E、A、B三点共线，然后求出CAB的度数，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出ACB，从而求出ACD【详解】解：以AC为直角边，作等腰直角三角形CEA，CE =CA，ECA=90，连接EBECAACB=BC
35、DACBECB=ACD在ECB和ACD中ECBACDEB=AD当AD取得最大值时，EB也取得最大值根据两点之间线段最短可知EBEAEB，当且仅当E、A、B三点共线时取等号即当AD取得最大值时，E、A、B三点共线，CEA为等腰直角三角形CAE=45此时CAB=180CAE=135ACB=ABC=（180CAB）=ACD=ACBBCD=故答案为：【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和两点之间线段最短的应用，掌握等腰直角三角形的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质和两点之间线段最短是解决此题的关键18（2020江苏昆山初二期末）如图，ABC中，ACB90，A
36、C6cm，BC8cm，直线l经过点C且与边AB相交动点P从点A出发沿ACB路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿BCA路径向终点A运动点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束在某时刻分别过点P和点Q作PEl于点E，QFl于点F，设运动时间为t秒，则当t_秒时，PEC与QFC全等【答案】2或或6【分析】分点Q在BC上和点Q在AC上，根据全等三角形的性质列式计算【解析】解：由题意得，AP2t，BQ3t，AC6cm，BC8cm，CP62t，CQ83t，如图1，当PECCFQ时，则PCCQ，即62t83t，解得：t2，如图2，当点Q与P重合时，PE
37、CQFC全等， 则PCCQ，62t3t8解得：t，如图3，当点Q与A重合时，PECCFQ， 则PC=CQ，即2t-6=6，解得：t=6，综上所述：当t2秒或秒或6秒时，PEC与QFC全等，故答案为：2或或6【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键三、解答题（本大题共6小题，共46分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2021浙江宁波市八年级期末）已知：两边及其夹角，线段，求作：，使，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）请你根据所学的知识，说明尺规作图作出，用到的是三角形全等判定定理中的_，作出的是唯一的，依据是三角形全
38、等判定定理中的_【答案】作图见解析；SSS，SAS【分析】（1）首先根据一个角等于已知角的方法作B=，再在角的两边分别截取BC=a，AB=c，再连接AC；（2）根据三角形全等的判定定理可得【详解】解：（1）如图所示：（2）尺规作图作出ABC=，用到的是三角形全等判定定理中的SSS，作出的ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的SAS【点睛】本题主要考查用尺规作三角形，全等三角形的判定定理，关键是掌握作一个角等于已知角的方法以及全等三角形的判定方法20（2021河南驻马店市八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“
39、梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“梦想三角形”反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 （2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？【答案】（1）或；（2），都是“梦想三角形”，理由见解析【分析】（1）分两种情形：当108是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可（2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：AOB
40、、AOC都是“梦想三角形”【详解】解：（1）当108是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36，第三个内角也是36，故最小的内角是36，当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54，18，最小的内角是18故答案为：36或18（2）结论：，都是“梦想三角形”理由：，为“梦想三角形”，“梦想三角形”【点睛】本题考查三角形内角和定理，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型21（2021山东德州市八年级期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信
41、息如下：如图，相邻两平行线间的距离相等，相交于，垂足为已知米请根据上述信息求标语的长度【答案】16米【分析】已知ABCD，根据平行线的性质可得ABP=CDP，再由垂直的定义可得CDO=，可得PBAB，根据相邻两平行线间的距离相等可得PD=PB，即可根据ASA定理判定ABPCDP，由全等三角形的性质即可得CD=AB=16米【详解】ABCD，ABP=CDP，PDCD，CDP=，ABP=，即PBAB，相邻两平行线间的距离相等，PD=PB，在ABP与CDP中，ABPCDP（ASA），CD=AB=16米【点睛】本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键22.（2021蓬溪县期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究（1）如图1，在ABC中，ABC与ACB的平分线交于点P，A64，则BPC ；（2）如图2，ABC的内角ACB的平分线与ABC的外角ABD的平分线交于点E其中A，求BEC（用表示BEC）；（3）如图3，CBM、BCN为ABC的外角，CBM、BCN的平分线交于点Q，请你写出BQC与A的数量关系，并
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