1、江苏省常州市新北区江苏省常州市新北区 2019-2020 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、选择题一、选择题 1. 列四个图案中，不是轴对称图案的是（） A. B. C. D. 2. 若 12 ,x x是一元二次方程 2 60 xx的两个根，则 12 x x的值是（ ） A. 1 B. 6 C. 1 D. 6 3. 下列命题中，真命题的个数是（ ） 经过三点一定可以作圆；任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形任意一个 三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆三角形的内心到三角形的三个顶点距离相等 A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 4.
2、 如果一元二次方程 x2+（m +1）x+m=0 的两个根是互为相反数，那么有（ ） A. m=0 B. m=1 C. m=1 D. 以上结论都不对 5. 设 P 为O外一点，若点 P 到O的最短距离为 3，最长距离为 7，则O的半径为（ ） A. 3 B. 2 C. 4或 10 D. 2或 5 6. 已知半径为 3O上一点 P 和O 外一点 Q， 如果 OQ5， PQ4， 则 PQ与O 的位置关系是 （ ） A 相交 B. 相切 C. 相离 D. 位置不定 7. 如图，在一幅长 60 cm、宽 40 cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个 挂图的面积是 3100
3、2 cm，设金色纸边的宽为 xcm，则满足的方程是（ ） A. (60 )(40)3100 xx B. (60 2 )(40)3100 xx C (60 2 )(402 )3100 xx D. (60 )(402 )3100 xx 8. 如右图， 正方形 ABCD边长为 2， 点 E 是 BC边上一点， 以 AB 为直径在正方形内作半圆 O， 将DCE 沿 DE翻折，点 C 刚好落在半圆 O 的点 F处，则 CE的长为( ) A. 2 3 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 7 二、填空题二、填空题 9. 方程（x-1） （x+2）=0的两根分别为_ 10. 关于 x 的方程 2 21 (1
4、)50 aa axx 是一元二次方程，则 a=_ 11. 若1x是方程 2 10 xmx 的一个根，则 m 的值是_ 12. 某种商品原价是 250元，经两次降价后的价格是 160 元，则平均每次降价的百分率为_ 13. 图中 ABC 的外心坐标是_. 14. 如图，AD为ABCV的外接圆 Oe的直径，如果50BAD，那么ACB_ 15. 如图：四边形 ABCD内接于O，E为 BC 延长线上一点，若A=n ，则DCE=_ 16. 如图，ABC内接于半径为 5 cm 的O，且BAC30 ，则 BC的长为_cm 17. 将半径为 3，圆心角 120 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为_ 1
5、8. 在ABC中，若 O为 BC边的中点，则必有：AB2AC22AO22BO2成立依据以上结论，解决如下 问题：如图，在矩形 DEFG中，已知 DE4，EF3，点 P在以 DE为直径的半圆上运动，则 22 PFPG的 最小值为_ 三、解答题三、解答题 19. 2 410 x 2 44xx 2 2310 xx 22 (1)(23)0 xx 20. 已知一元二次方程 22 (23)30 xmxm 有两个不相等的实数根，求 m的取值范围 21. 如图，A、B、C、D 为O 上四点，若 ACOD于 E，且 =2ABAD请说明 AB2AE 22. 如图，已知 AB是O的直径，C，D是O上的点，OCBD，
6、交 AD于点 E，连结 BC （1）求证：AE=ED； （2）若 AB=10，CBD=36 ，求 AC的长 23. 如图，已知 AB 是P直径，点C在P 上，D为P外一点，且ADC90 ，直线CD为P 的切 线 试说明：2BDAB180 若B30 ，AD2，求P 的半径 24. 已知：在ABC 中，AB=AC点 A在以 BC为直径的O外 （1）请仅用无刻度的直尺画 出点 O 的位置（保留画图痕迹） ； （2）若ABC的外接圆的圆心 M，OM=4，BC=6，求ABC的面积 25. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为 40元，每年销售该种 产品的总开支（不含进价
7、）为 120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间 存在着如图所示的一次函数关系 直接写出y关于x的函数关系式为 市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过 100 元，该公司销售该种产品当年获利 55万元，求当年的 销售单价 26. 射线 QN与等边 ABC的两边 AB，BC 分别交于点 M，N，且 ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm动 点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm的速度向右移动，经过 t秒，以点 P 为圆心， 3cm为半径的圆 与 ABC的边相切（切点在边上） ，请写出 t可取的一切值_（单位：秒） 江苏省常州市新北区江苏省常州市新北
8、区 2019-2020 学年九年级上学期期中数学试题学年九年级上学期期中数学试题 一、选择题一、选择题 1. 列四个图案中，不是轴对称图案的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解 【详解】解：A此图案是轴对称图形，不符合题意； B此图案不是轴对称图形，符合题意； C此图案是轴对称图形，不符合题意； D此图案是轴对称图形，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 2. 若 12 ,x x是一元二次方程 2 60 xx的两个根，则 12 x x的值是（ ） A
9、. 1 B. 6 C. 1 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案 【详解】 12 ,x x是一元二次方程 2 60 xx的两个根， 12 x x= 6 6 1 c a ， 故选 B 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握 2 0axbxc（a0）的两个根 12 xx，满足： 1212 += bc xxx x aa ， ，是解题的关键 3. 下列命题中，真命题的个数是（ ） 经过三点一定可以作圆；任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形任意一个 三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆三角形的内心到三角形的三个顶点距离
10、相等 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】利用确定圆的条件、三角形的外接圆与内切圆及三角形的内心的定义分别判断后即可确定正确的 选项 【详解】经过不在同一直线上的三点一定可以作圆，故错误，是假命题； 任意一个圆有无数个内接三角形，故错误，是假命题 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，正确，是真命题； 三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故错误，是假命题， 故选 D 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、三角形的外接圆与内切圆及三 角形的内心的定义等知识 4. 如果一元二次方程 x2+（m +1）x+m=0
11、的两个根是互为相反数，那么有（ ） A. m=0 B. m=1 C. m=1 D. 以上结论都不对 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：设该一元二次方程的两个根分别是 12 xx、，则根据题意知 12 10 xxm ， 即10m ， 解得，1.m 故选 B 点睛：一元二次方程 2 0axbxc的两根分别是 12 ,.x x 则 1212 ,. bc xxxx aa 5. 设 P 为O外一点，若点 P 到O的最短距离为 3，最长距离为 7，则O的半径为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 或 10 D. 2 或 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据 P 为O外一点，若点 P 到O 的最短距
12、离为 3，最长距离为 7，可以得到圆的直径，从而可 以求得圆的半径 【详解】解：P 为O外一点，若点 P 到O的最短距离为 3，最长距离为 7， O的直径为：7-3=4， O的半径为 2， 故选 B 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 6. 已知半径为 3 的O上一点 P和O外一点 Q， 如果 OQ5， PQ4， 则 PQ与O 的位置关系是 （ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 位置不定 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可知 PQO 为直角三角形，得到QPO=90 ，故可判断. 【详解】OQ5，PQ4，r=3， 222 OQPQ
13、r PQO为直角三角形，QPO=90 故 PQ与O的位置关系是相切 故选 B. 【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟知切线的判定定理. 7. 如图，在一幅长 60 cm、宽 40 cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个 挂图的面积是 3100 2 cm，设金色纸边的宽为 xcm，则满足的方程是（ ） A. (60)(40)3100 xx B. (602 )(40)3100 xx C. (602 )(402 )3100 xx D. (60)(402 )3100 xx 【答案】C 【解析】 【分析】首先表示出镶金边后的长和宽，然后再利用矩形的面积公式表
14、示出面积=3100即可 【详解】解：设金色纸边宽为 x cm， 则整个挂图的长为（60+2x） ，宽为（40+2x） ， 根据整个挂图的面积是 3100cm2可得： （60+2x） （40+2x）=3100， 故选 C 【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系， 列出方程 8. 如右图， 正方形 ABCD的边长为 2， 点 E 是 BC 边上一点， 以 AB 为直径在正方形内作半圆 O， 将DCE 沿 DE翻折，点 C 刚好落在半圆 O 的点 F处，则 CE的长为( ) A. 2 3 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 7 【答案】A
15、【解析】 【分析】通过证明ODFODA，可以得到 F是O的切线，然后在直角BOE 中利用勾股定理计算出线 段 CE的长. 【详解】解：如图：连接 OF，OD. 由折叠的性质可得：EDFEDC， DF=DC, C=90 在ODF和ODA中， OF=OA，DA=DF，DO=DO， ODFODA， OFD=OAD=90 ， DF是O的切线 DFE=C=90 ， E，F，O 三点共线 EF=EC， 在BEO中，BO=1，BE=2CE，EO=1+CE， (1+CE) =1+(2CE)， 解得：CE= 2 3 . 故选 A. 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，根据三角形全等判定 CF是圆的切线,然后由
16、翻折变换对，得到 对应的角与对应的边分别相等，利用切线的性质结合直角三角形，运用勾股定理求出线段长. 二、填空题二、填空题 9. 方程（x-1） （x+2）=0的两根分别为_ 【答案】 12 1,2xx 【解析】 【分析】根据 AB=0，则 A、B中至少有一个为 0，化为一元一次方程即可解出方程. 【详解】解： （x-1） （x+2）=0 x-1=0 或 x+2=0 解得： 12 1,2xx 【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法，根据 AB=0，则 A、B中至少一个为 0，掌握将一元二次方 程化为一元一次方程的方法是解决此题的关键. 10. 关于 x 的方程 2 21 (1)50 aa ax
17、x 是一元二次方程，则 a=_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念，令 a2-2a-1=2，a+10，然后解答即可 【详解】解：关于 x的方程 2 21 (1)50 aa axx 是一元二次方程， a2-2a-1=2 且 a+10， 解得：a=3 故答案为 3 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和解法，熟记概念是解决此题的关键，注意二次项系数不能为 0 11. 若1x是方程 2 10 xmx 的一个根，则 m 的值是_ 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义将 x=-1代入方程 2 10 xmx ，列出关于 m的方程，通过解方程 求得 m的值即可 【详解】
18、1 是方程 2 10 xmx 的一个根， x=1 满足方程 2 10 xmx ， 1m1=0， 解得 m=0. 故答案为：0. 【点睛】本题考查一元二次方程的解. 12. 某种商品原价是 250元，经两次降价后的价格是 160 元，则平均每次降价的百分率为_ 【答案】20% 【解析】 【分析】得第一次降价后的价格为：250（1x） ，那么第二次降价后的价格为：250（1x）（1x） ， 那么相应的等量关系为：原价（1降低的百分率）2第二次降价后的价格，把相关数值代入即可 【详解】设平均每次降价的百分率为 x，由题意得： 250（1x）2160， 解得：x10.2，x21.8（不合题意，舍去）
19、故答案为 20% 【点睛】本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过 两次变化后的数量关系为 a（1x）2b得到第二次降价后价格的等量关系是解决本题的关键 13. 图中 ABC 的外心坐标是_. 【答案】 （5，2） 【解析】 【详解】试题分析：作 BC 和 AB 的垂直平分线，它们相交于点 P，如图， 则点 P 为 ABC 的外心， P 点坐标为（5，2） 考点：1、三角形的外接圆与外心；2、坐标与图形性质 14. 如图，AD为ABCV的外接圆 Oe的直径，如果50BAD，那么ACB_ 【答案】40 【解析】 【分析】连接 BD，如图，根据圆周
20、角定理得到ABD=90 ，则利用互余计算出D=40 ，然后再利用圆周 角定理得到ACB的度数 【详解】连接 BD，如图， AD为ABC的外接圆O 的直径， ABD=90 ， D=90 -BAD=90 -50 =40 ， ACB=D=40 故答案为 40 【点睛】本题考查了圆周角定理熟练掌握并运用圆周角定理是解决本题的关键. 15. 如图：四边形 ABCD内接于O，E为 BC 延长线上一点，若A=n ，则DCE=_ 【答案】n 【解析】 【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解 【详解】四边形 ABCD是O的内接四边形， A+DCB=180 ， 又DCE+DCB=180 DCE=A=
21、n 故答案为 n 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补 16. 如图，ABC内接于半径为 5 cm 的O，且BAC30 ，则 BC的长为_cm 【答案】5 【解析】 【分析】连接 BO,CO根据圆周角定理得到BOC=60 ，故 OBC为等边三角形，故可求出 BC的长. 【详解】连接 BO,CO， BAC30 BOC=60 ， OB=OC， OBC等边三角形， BC=BO=5cm, 故填：5. 【点睛】此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的运用. 17. 将半径为 3，圆心角 120 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为_ 【答案
22、】2 2 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得圆锥的底面半径，再利用勾股定理 即可求出圆锥的高 【详解】设此圆锥的底面半径为 r， 由题意，得 1203 2 180 r ， 解得 r1cm 故圆锥的高为 22 312 2 故填：2 2. 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇 形的半径等于圆锥的母线长本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解 18. 在ABC中，若 O为 BC边的中点，则必有：AB2AC22AO22BO2成立依据以上结论，解决如下 问题：如图，在矩形 DEFG中，已知
23、DE4，EF3，点 P在以 DE为直径的半圆上运动，则 22 PFPG的 最小值为_ 【答案】10 【解析】 【分析】设点 M 为 DE 的中点，点 N为 FG 的中点，连接 MN，则 MN、PM的长度是定值，利用三角形的 三边关系可得出 NP 的最小值，再利用 PF2PG22PN22FN2即可求出结论 【详解】设点 M 为 DE的中点，点 N为 FG 的中点，连接 MN交半圆于点 P，此时 PN 取最小值 DE4，四边形 DEFG为矩形， GFDE，MNEF， MPFN 1 2 DE2， NPMNMPEFMP1， PF2PG22PN22FN221222210 故答案为 10 【点睛】本题考查
24、了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出 PN的 最小值是解题的关键 三、解答题三、解答题 19. 2 410 x 2 44xx 2 2310 xx 22 (1)(23)0 xx 【答案】 （1） 12 11 , 22 xx ； （2） 12 2xx； （3） 12 317317 , 44 xx ； （4） 12 2 ,4 3 xx 【解析】 【分析】 （1）根据直接开平方法即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据公式法即可求解； （4）根据因式分解法即可求解. 【详解】 2 410 x 2 1 4 x 12 11 , 22 xx 2 44xx 2 (
25、2)0 x 12 2xx 2 2310 xx a=2,b=3,c=-1 2 49+8=17bac 317317 2 24 x 12 317317 , 44 xx 22 (1)(23)0 xx (123)(1 23)0 xxxx (32)(4)0 xx 12 2 ,4 3 xx 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解法. 20. 已知一元二次方程 22 (23)30 xmxm 有两个不相等的实数根，求 m的取值范围 【答案】 7 4 m 【解析】 【分析】根据根的判别式即可列出不等式求解. 【详解】解：依题意得 22 (23)4(3)0mm 22 41294120mmm
26、 -12m-21 7 4 m 【点睛】此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知方程有两个不相等的实数根得到 0. 21. 如图，A、B、C、D 为O 上四点，若 ACOD于 E，且 =2ABAD请说明 AB2AE 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据垂径定理得到 2ACAD ，AC2AE，从而得到 ACAB ，得到 AC=AB，故可求解. 【详解】解： ACOD， 2ACAD ，AC2AE， 2ABAD ， ACAB ， ACAB， AB2AE 【点睛】此题主要考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是熟练掌握相关知识并能灵活运用. 22. 如图，已知 AB是O的直径，C，D是O上
27、的点，OCBD，交 AD于点 E，连结 BC （1）求证：AE=ED； （2）若 AB=10，CBD=36 ，求 AC的长 【答案】（1）证明见解析； （2） 2AC 【解析】 【详解】分析：（1）根据平行线的性质得出AEO=90 ，再利用垂径定理证明即可； （2）根据弧长公式解答即可 详证明： （1）AB是O的直径， ADB=90 ， OCBD， AEO=ADB=90 ， 即 OCAD， AE=ED； （2）OCAD， ACBD ， ABC=CBD=36 ， AOC=2ABC=2 36 =72 ， AC = 725 2 180 点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答 23.
28、 如图，已知 AB 是P直径，点C在P 上，D为P外一点，且ADC90 ，直线CD为P 的切 线 试说明：2BDAB180 若B30 ，AD2，求P 的半径 【答案】 （1）证明见解析； （2）4. 【解析】 【分析】 （1）根据切线的性质和圆周角定理，以及平行线的性质即可得到结论； （2）连接 AC，易证 ACP 是等边三角形，得到ACD30 即可求出半径. 【详解】解： 连接 CP PCPB，BPCB， APCPCBB2B CD是OP的切线，DCP90 ADC90 ，DABAPC180 2BDAB180 连接 AC B30 ，APC60 ， PCPA，ACP是等边三角形，ACPA，ACP6
29、0 ACD30 ，AC2AD4，PA4 答：P的半径为 4. 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题 24. 已知：在ABC 中，AB=AC点 A在以 BC为直径的O外 （1）请仅用无刻度的直尺画 出点 O 的位置（保留画图痕迹） ； （2）若ABC外接圆的圆心 M，OM=4，BC=6，求ABC的面积 【答案】 （1）答案见解析； （2）27 【解析】 【分析】 （1）连接 CE、BF 交于点 K，作直线 AK交 BC于点 O，点 O即为所求 （2）利用勾股定理求出 CM，即可解决问题 【详解】解： （1）如图，点 O 即所求 （2）点 M 是ABC
30、 的外心，AMMC， 由题意，在 RtOMC中，MOC90，OM4，OC3， CM 2222 435OMOC ， OAAM+OM5+49， SABC 1 2 BCAO 1 2 9627 【点睛】本题考查利用圆的性质作图、等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形的外接圆与外心 等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确求出ABC外接圆的半径 25. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为 40元，每年销售该种 产品的总开支（不含进价）为 120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间 存在着如图所示的一次函数关系 直接写出y关于x的函数
31、关系式为 市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过 100 元，该公司销售该种产品当年获利 55万元，求当年的 销售单价 【答案】 1 8 20 yx ； （2）当年销售单价为 90元. 【解析】 【分析】 （1）设直线为 ykxb，把已知坐标代入求出 k，b 的值后可求出函数解析式； （2）根据题意可知列出一元二次方程，即可求解. 【详解】解： （1）设 ykxb（k0） ，它过点（60，5） ， （80，4） ， 故 5 60 4 80 kb kb ， 解得： 1 20 8 k b 1 8 20 yx （2） 依题意得 1 (40)(8) 12055 20 xx (40)(160)3500
32、 xx 60(100) 60(100)3500 xx 2 (100)100 x 1 90 x ， 2 110 x 100 x，90 x 答：当年销售单价为 90 元. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟知待定系数法与找等量关系. 26. 射线 QN与等边 ABC的两边 AB，BC 分别交于点 M，N，且 ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm动 点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm的速度向右移动，经过 t秒，以点 P 为圆心，3cm为半径的圆 与 ABC的边相切（切点在边上） ，请写出 t可取的一切值_（单位：秒） 【答案】t=2 或 3t7 或 t
33、=8 【解析】 【详解】ABC 是等边三角形，AB=AC=BC=AM+MB=4cm，A=C=B=60 QNAC，AM=BMN 为 BC 中点 MN= 1 2 AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60 分为三种情况：如图 1，当P 切 AB 于 M时，连接 PM， 则 PM= 3cm，PMM=90， PMM=BMN=60 ，MM=1cm，PM=2MM=2cm， QP=4cm2cm=2cm， 速度是每秒 1cm，t=2 如图 2，当P 于 AC 切于 A 点时，连接 PA， 则CAP=APM=90 ，PMA=BMN=60 ，AP= 3cm PM=1cm，QP=4cm1cm=3cm 速度是每秒 1cm，t=3 当P 于 AC 切于 C 点时，连接 PC， 则CPN=ACP=90，PNC=BNM=60 ，CP= 3cm， PN=1cm，QP=4cm+2cm+1cm=7cm 速度是每秒 1cm，t=7 当 3t7 时，P 和 AC 边相切 如图 3，当P 切 BC 于 N时，连接 PN， 则 PN= 3cm，PMNN=90， PNN=BNM=60 ，NN=1cm，PN=2NN=2cm QP=4cm+2cm+2cm=8cm 速度是每秒 1cm，t=8 综上所述，t 可取的一切值为：t=2 或 3t7 或 t=8
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