1、2021年山东省淄博市沂源县中考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来每小题5分，共60分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分1（5分）下列运算正确的是ABCD2（5分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为ABCD3（5分）如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是A点B格点C格点D格点4（5分）一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是A3，4，0.4B4，0.4，4C4，4，0.4D4，3，0.45（5分）如图，四边形的对角线，分别是，的
2、中点，若在四边形内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为ABCD6（5分）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是A反比例函数的解析式是B两个函数图象的另一交点坐标为C当或时，D正比例函数与反比例函数都随的增大而增大7（5分）已知关于的一元二次方程的一个根为，二次函数的图象的顶点坐标为，则关于的不等式的解为A或B或CD8（5分）如图，半径为3的经过原点和点，是轴左侧优弧上一点，则为ABCD9（5分）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机饮水机关机后即刻自动开机，重复上述
3、自动程序若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从降到所用的时间是A27分钟B20分钟C13分钟D7分钟10（5分）如图，直线与轴、轴相交于，两点，与的图象相交于，两点，连接，下列结论：；不等式的解集是或；其中正确的结论是ABCD11（5分）如图，在菱形中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接则下列说法错误的是ABC若，则D12（5分）如图，在中，以为直径的交于点过点作，在上取一点，使，连接对于下列结论：；为的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是ABCD二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，
4、只要求填写最后结果13（4分）分解因式：14（4分）若，则的值为15（4分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 16（4分）关于的一元二次方程的解是，则不等式的解集为17（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点以点为中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，的对应点分别为，记为矩形对角线的交点，则的最大面积为三、解答题：本大题共7小题，共70分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤18（8分）（1）计算：；（2）解方程：19（8分）如图，且、三点在一条直线上（1）试说明与全等的理由（2）如果，
5、试说明线段、之间的数量关系，并说明理由20（10分）某校八（1）班同学为了了解2018年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，请解答以下问题：月均用水量频数（户频率60.12120.240.321040.0820.04（1）本次调查采用的调查方式是（填“普查”或“抽样调查” ，样本容量是；（2）补全频数分布直方图；（3）若将月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“”的圆心角度数是；（4）若该小区有5000户家庭，求该小区月均用水量超过的家庭大约有多少户？21（10分）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域如图，、分别
6、为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，垂直地面，点到点的距离（参考数据：，（1）求盲区中的长度；（2）点在上，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由22（10分）如图，与的斜边相切于点，与直角边相交于、两点，连接，已知，的半径为12，弧的长度为（1）求证：；（2）若，求线段的长度23（12分）（1）问题解决如图（1），是等边三角形的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转，交边于点，交射线于点，试证明：；（2）问题变式如图（2），是的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转角，交边于点，交射线于点，设，求证：；（3）问题拓展如图（3），
7、是的中线，当是上任意一点时（点不与重合），过点的直线交边于，交射线于点，设，试探究、之间的数量关系？并说明理由24（12分）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点（1）若点，点，求的值；（2）若点，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由（3）若点是圆与抛物线的交点与、不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点，使得以、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来每小题5分，共60分，错选、不选或选出的答案超过一
8、个，均记0分1（5分）下列运算正确的是ABCD【解答】解：、正确；、；、；、不能进一步计算故选：2（5分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为ABCD【解答】解：它的俯视图为故选：3（5分）如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是A点B格点C格点D格点【解答】解：如图，连接和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点的距离相等，因此格点就是所求的旋转中心；故选：4（5分）一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是A3，4，0.4B4，0.4，4C4，4，0.4D4，3，0.4【解答】解：把这组数据从小到大排列
9、：3，4，4，4，5，最中间的数是4，则这组数据的中位数是4；4出现了2次，出现的次数最多，则众数是4；平均数是，所以方差为故选：5（5分）如图，四边形的对角线，分别是，的中点，若在四边形内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为ABCD【解答】如图，、分别是线段，的中点，、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，根据三角形的中位线的性质知，且，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，四边形的面积，四边形，这一点落在图中阴影部分的概率为，故选：6（5分）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是A反比例函数的解析式是B两个函数图象的另一交点坐标为C当或时，D正比例函数与反比
10、例函数都随的增大而增大【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，正比例函数，反比例函数，两个函数图象的另一个交点为，选项错误；正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，选项错误；当或时，选项正确；故选：7（5分）已知关于的一元二次方程的一个根为，二次函数的图象的顶点坐标为，则关于的不等式的解为A或B或CD【解答】解：设抛物线的表达式为：，当时，解得：，故抛物线的表达式为：，将不等式整理为：，联立和并解得：，故时，函数在之上，即，故选：8（5分）如图，半径为3的经过原点和点，是轴左侧优弧上一点，则为ABCD【解答】解：设交轴于，连接，则是直径，在中，则
11、，由圆周角定理得，则，故选：9（5分）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从降到所用的时间是A27分钟B20分钟C13分钟D7分钟【解答】解：开机加热时每分钟上升，从到需要7分钟，设一次函数关系式为：，将，代入得，令，解得；设反比例函数关系式为：，将代入得，将代入，解得；水温从降到所用的时间是分钟，故选：10（5分）如图，直线与轴、轴相交于，两点，与的图象相交于，两点，连接，下列结论：；不等式的解集
12、是或；其中正确的结论是ABCD【解答】解：由图象可得，则，故正确；直线与的图象相交于，两点，不等式的解集是或，故错误；的图象过，两点，故正确；直线过，两点，解得，直线，当时，当时，点的坐标为，点的坐标为，故正确；故选：11（5分）如图，在菱形中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接则下列说法错误的是ABC若，则D【解答】解：由作法得垂直平分，即，四边形为菱形，在中，所以选项的结论正确；，而，所以选项的结论正确；若，则，在中，所以选项的结论错误；作交的延长线于，如图，设，则，在中，所以选项的结论正确故选：12（5分）如图，
13、在中，以为直径的交于点过点作，在上取一点，使，连接对于下列结论：；为的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是ABCD【解答】解：为直径，而，所以正确；，而，所以正确；不能确定为直角三角形，不能确定等于，与不能确定相等，所以错误；，点在以为直径的圆上，而，为的切线，所以正确故选：二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果13（4分）分解因式：【解答】解：，故答案为：14（4分）若，则的值为【解答】解：，原式故答案为：15（4分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是【解答】解：第1个图形是
14、三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子个，第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子个，第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子个，则第个图形需要黑色棋子的个数是故答案为：16（4分）关于的一元二次方程的解是，则不等式的解集为【解答】解：依题意：设，则抛物线与轴的交点横坐标分别为，1，设，则与关于直线对称，所以依图象得时，故答案为：17（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点以点为中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，的对应点分别为，记为矩形对角线的交点，则的最大面积为【解答】解：，四边形是
15、矩形，矩形是由矩形旋转得到，如图，当点在线段上时，的面积最小，当点在的延长线上时，的面积最大，最大面积故答案为：三、解答题：本大题共7小题，共70分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤18（8分）（1）计算：；（2）解方程：【解答】解：（1）；（2），移项，得，合并同类项，得，解得19（8分）如图，且、三点在一条直线上（1）试说明与全等的理由（2）如果，试说明线段、之间的数量关系，并说明理由【解答】解：（1）理由：，即，在与中，；（2）由（1）可得：，是等边三角形，即20（10分）某校八（1）班同学为了了解2018年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下
16、整理，请解答以下问题：月均用水量频数（户频率60.12120.240.321040.0820.04（1）本次调查采用的调查方式是抽样调查（填“普查”或“抽样调查” ，样本容量是；（2）补全频数分布直方图；（3）若将月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“”的圆心角度数是；（4）若该小区有5000户家庭，求该小区月均用水量超过的家庭大约有多少户？【解答】解：（1）由题意可得，本次调查采用的调查方式是抽样调查，样本容量是，故答案为：抽样调查，50；（2），补全的频数分布直方图如右图所示；（3）月均用水量“”的圆心角度数是：，故答案为：；（4）（户，答：该小区月均用水量超过的家庭大约有600户
17、21（10分）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，垂直地面，点到点的距离（参考数据：，（1）求盲区中的长度；（2）点在上，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由【解答】解：（1），四边形是平行四边形，四边形是矩形，在中，在中，答：盲区中的长度为；（2）如图所示：过点作，可得：，则，故，解得：，在处有一个高度为的物体，驾驶员不能观察到物体22（10分）如图，与的斜边相切于点，与直角边相交于、两点，连接，已知，的半径为12，弧的长度为（1）
18、求证：；（2）若，求线段的长度【解答】（1）证明：连接、，是的切线，又弧的长度为，是等边三角形，（2）解：连接，是的直径，由（1）得：，又，又，又，23（12分）（1）问题解决如图（1），是等边三角形的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转，交边于点，交射线于点，试证明：；（2）问题变式如图（2），是的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转角，交边于点，交射线于点，设，求证：；（3）问题拓展如图（3），是的中线，当是上任意一点时（点不与重合），过点的直线交边于，交射线于点，设，试探究、之间的数量关系？并说明理由【解答】证明：（1）如图1，是等边三角形，是等边三角形的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转，；（2
19、）如图2，作交于点，是的中线，在和中，即，；（3）、之间的数量关系为：理由如下：如图3，过点作的平行线，交直线于点，交直线于点，则，设，即，由（2）知；即24（12分）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点（1）若点，点，求的值；（2）若点，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由（3）若点是圆与抛物线的交点与、不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点，使得以、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设圆心为点，的半径为5，设抛物线解析式为，点在抛物线上，；（2）的值是定值，为，理由：点，令时，；（3）存在；点是圆与抛物线的交点与、不重合），即：，当点在轴上时，如图1，设点的坐标为，以、为顶点的三角形与相似，或，当点在轴上时，如图2，设，以、为顶点的三角形与相似，或，即：满足条件的点的坐标为或，或或
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