1、必考部分 第九章第九章 计数计数原理、概率、随机变量及其分布原理、概率、随机变量及其分布 第九讲 正态分布 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点一 正态曲线及其性质 (1)正态曲线：函数 f(x) 1 2e x2 22 ，x(，)，其中实 数 和 (0)为参数我们称函数 f(x)的图象为正态分布密度曲线，简 称正态曲线， 期望为 、 标准差为 的正态分布通常记作_. (2)正态曲线的性质：曲线位于 x 轴_，与 x 轴不相交；曲 线是单峰的，它
2、关于直线_对称； XN(，2) 上方 x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 曲线在_处达到峰值 1 2；曲线与 x 轴之间的面积为_； 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿着 x 轴平移； 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总 体的分布越_； 越大， 曲线越“矮胖”， 表示总体的分布越_. x 1 集中 分散 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点二 正态分布 (1)正态分布的定义及表示 若 对 于 任 何 实 数 a ， b(ab) ， 随 机 变
3、量 X 满 足 P(aXb) _，则称X服从正态分布，记作XN(，2) (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： P(X)_； P(2X2)_； P(3X3)_. 0.682 6 0.954 4 0.997 4 a b ，(x)dx 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 对于正态分布N(，2)，由x是正态曲线的对称轴知 (1)P(X)P(X)0.5； (2)对任意的a有P(Xa)； (3)P(Xx0)1P(xx0)； (4)P(aXb)P(Xb)P(Xa) 注：在X服从正态分布，即XN(，2)时，要充分利用正态曲线的 关于直线x对称和曲线与x轴
4、之间的面积为1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定 ( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均 程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)正态分布中的参数 和 完全确定了正态分布，参数 是正态分 布的均值， 是正态分布的标准差 ( ) (4)若 XN(0,1)，则 P(x1 2)P(x
5、 1 2) ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 题组二 走进教材 2(P75B 组 T2 改编)设随机变量 服从正态分布 N(4,3)，若 P(a1)，则实数 a 等于 ( ) A7 B6 C5 D4 解析 由题意知a5a1 2 4，a6. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 题组三 走向高考 3(2015 山东)已知某批零件的长度误差 (单位：毫米)服从正态分布 N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附：正态分布 N(，2)中，P()0.
6、682 7，P(2 2)0.954 5) A0.045 6 B0.135 9 C0. 271 8 D0.317 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 因为P(33)0. 682 7， P(66)0.954 5， 所以P(3 6)1 2(0.954 50.682 7)0.135 9.故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C 4(2015 湖北，5 分)设 XN(1，2 1)，YN(2， 2 2)，这两个正态分 布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是 ( ) AP(Y2)P(Y1) BP
7、(X2)P(X1) C对任意正数 t，P(Xt)P(Yt) D对任意正数 t，P(Xt)P(Yt) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 由正态分布密度曲线的性质可知，XN(1，2 1)，YN(2， 2 2)的密度曲线分别关于直线 x1，x2 对称，因此结合题中所给图象 可得，12，所以 P(Y2)P(Y1)，故 A 错误又 XN(1，2 1)的密 度曲线较 Y N(2， 2 2)的密度曲线“瘦高”，所以 1P(X1)，B 错误对任意正数 t，P(Xt)P(Yt)，P(Xt) P(Yt)，C 正确，D 错误 返回导航 高考一轮总复习 数学（新
8、高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 5(2017 全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程， 检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位： cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件 的尺寸服从正态分布N(，2) (1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 (3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零 件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对
9、当天的生产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性； 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 经 计 算 得 x 1 16 16 i1 xi 9.97 ， s 1 16 16 i1 xix 2 1 16 16 i1 x 2 i16 x 20.212，其中 x i 为抽取的第 i 个零件的尺寸，i 1,2，16. 用样本平均数
10、x作为 的估计值 ， 用样本标准差 s 作为 的估计值， 利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除( 3， 3) 之外的数据，用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(，2)，则 P(3Z1)0.158 7，则 P(1Y2)P(X1)0.158 7， P(1Y0)和 N(2， 2 2)(20)的密度函 数分别为 1(x)和 2(x)，其图象如图所示，则有 ( ) A12 C12 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
11、解析 f(x) 1 2e x2 22 中 x 是对称轴，故 12； 越大， 曲线越“矮胖”， 越小曲线越“高瘦”，故 12.故选 A、C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点二 正态分布多维探究 D 角度 1 正态曲线的对称性 (1)(2021 山东新高考质量测评联盟联考)在2019年高中学生信息技术 测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩 XN(86，2)，若已知 P(80X86)0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大 于 92 分的概率为 ( ) A0.86 B0.64 C0.36 D0.14 返回导航 高考一轮总复习 数
12、学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 由题意 P(86x92)P(8092)0.50.360.14，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 角度2 确定正态曲线的对称轴 (2)(2021 福建模拟)已知随机变量X服从正态分布N(，2)，若P(X3) P(X1)1，则_. 解析 因为X服从正态分布N(，2)，所以P(X3)P(X3)1， 所以P(X1)P(X3)，由正态曲线的对称性知对称轴为X2，所 以2. 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 角度 3 三个常用数据
13、(3)(2020 安阳二模)2020 年 2 月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出 现了“一罩难求”的现象在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口 罩，已知某工厂生产口罩的质量指标 N(15,0.002 5)，单位为 g，该厂 每天生产的质量在(14.9 g,15.05 g)的口罩数量为 818 600 件，则可以估计 该厂每天生产的质量在 15.15 g 以上的口罩数量为 ( ) 参考数据： 若 N(， 2)， 则 P()0.682 7， P(2 2)0.954 5，P(33) 0.997 3. A158 700 B22 750 C2 700 D1 350 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新
14、高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 由题意知，N(15,0.002 5)， 即 15，2 0.002 5，即 0.05； 所以 P(14.915.05)P(215.15)P(3)1 0.997 3 2 ， 所以估计该厂每天生产的质量在15.15 g以上的口罩数量为1 000 000 10.997 3 2 1 350(件)故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例(1)中若有1 000名学生参加测试，则测试成绩在80分以上 的人数为_. 解析 1 000P(X80)1 0001(0.50.36)860. 860 返回
15、导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3) 的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.正态曲线 关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等；P(Xa) 1P(Xa)，P(Xa)P(Xa) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练2 (1)(角度1)(2021 江苏苏州调研)已知随机变量服从正态分布N(1， 2)，且P(4)0.9，则P(21) ( ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 (
16、2)(角度2)(2021 江西模拟)已知随机变量服从正态分布N(，2)，若 P(8)0.15，则P(25) ( ) A0.3 B0.35 C0.5 D0.7 C B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)(角度3)(2021 青岛模拟)已知某市居民在2019年用于手机支付的个 人消费额(单位：元)服从正态分布N(2 000,1002)，则该市某居民手机支 付的消费额在(1 900,2 200)内的概率为 ( ) 附：随机变量服从正态分布N(，2)，则 P()0.682 6， P(22)0.954 4， P(33)0.997 4. A0.975
17、 9 B0.84 C0.818 5 D0.477 2 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)由 P(4)0.9，得 P(4)0.1. 又正态曲线关于 x1 对称 则 P(2)P(4)0.1， 所以 P(21)1P2P4 2 0.4.故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)根据题意， 正态分布 N(， 2)， 若 P(8)0.15， 则 5， 即这组数据对应的正态曲线的对称轴 x5，则 P(5)0.5， 又由 P(2)0.15，得 P(25)0.50.150.35.故选 B
18、(3)服从正态分布 N(2 000,1002)， 2 000，100， 则P(1 9002 200)P()1 2P(22)P( )0.682 61 2(0.954 40.682 6)0.818 5.故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点三 正态分布的综合应用 (1)(2021 贵州贵阳为明教育集 团调研)如图，在正方形 ABCD 中的阴影部 分的上下边界分别是曲线 C1和 C2，其中 C1 是正态分布 N(0,0.52)的密度曲线，C1与 C2 关于 x 轴对称，若在正方形中随机取一点， 则该点取自阴影部分的概率是 ( ) 返回导航
19、高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 参考数据：随机变量Z服从正态分布N(，2)的概率为： P(Z)0.682 6， P(2Z2)0.954 4， P(3Z3)0.997 4 A0.682 6 B0.954 4 C0.477 2 D0.498 7 答案 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 河南六市模拟)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落 实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小 康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐 年增加，为了制定提升农民收入
20、、 实现2020年脱贫的工作计划，该地 扶贫办统计了2019年50位农民的年 收入并制成如下频率分布直方图： 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 ()根据频率分布直方图，估计 50 位农民的平均年收入 x (单位：千 元)；(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)； ()由频率分布直方图， 可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态 分布 N(，2)，其中 近似为年平均收入 x ，2 近似为样本方差 s2，经计 算得 s26.92，利用该正态分布，求： 在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农 民的年收入高于扶贫办制定的最
21、低年收入标准，则最低年收入标准大约 为多少千元？ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办 随机走访了 1 000 位农民若每位农民的年收入互相独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是多少？ 附参考数据： 6.922.63，若随机变量 X 服从正态分布 N(，2)， 则 P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，P(3X 3)0.9973. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)因为 C1是正
22、态分布 N(0,0.52)的密度曲线， 且 P(2Z2)0.954 4， 所以 P(1)1 2 0.682 7 2 0.841 4， 所以 17.402.6314.77 时，满足题意， 即最低年收入大约为 14.77 千元 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 由 P(x12.14)P(x2)0.50.954 5 2 0.977 3， 每个农民的年收入不少于 12.14 千元的事件的概率为 0.977 3， 记 1 000 个农民的年收入不少于 12.14 千元的人数为 则 B(1 000，p)，其中 p0.977 3 于是恰好有 k 个农民的年收
23、入不少于 12.14 千元的事件概率为 P(k)Ck 1 000p k(1p)1 000k， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 从而由 Pk Pk1 1 001kp k1p 1，得 k1 001p 而 1 001p978.277 3，所以， 当 0k978 时，P(k1)P(k)， 由此可知，在所走访的 1 000 位农民中，年收入不少于 12.14 千元的 人数最有可能是 978 人 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解决正态分布问题的三个关键点 若随机变量N(，2)，则 (1)对称轴x； (
24、2)标准差； (3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布 区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概 率 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练3 (2021 广西柳州铁路一中、玉林一中联考)从某公司生产线生产的某 种产品中抽取1 000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如 图所示的频率分布直方图： 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)求这 1 000 件产品质量指标的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组 中的数据用该组区间的中点值作代表)
25、； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(， 2)，其中 近似为样本平均数 x ，2 近似为样本方差 s2. 利用该正态分布，求 P(175.6Z224.4)； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 已知每件该产品的生产成本为 10 元， 每件合格品(质量指标值 Z (175.6,224.4)的定价为 16 元；若为次品(质量指标值 Z(175.6,224.4)，除 了全额退款外且每件次品还须赔付客户 48 元，若该公司卖出 100 件这种 产品，记 Y 表示这些产品的利润，求 E(Y) 附： 15012.2，若 ZN
26、(，2)，则 P(Z)0.68，P( 2Z2)0.95. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)由题意得 x 1700.021800.091900.222000.332100.24 2200.082300.02200 s2(170200)20.02(180200)20.09(190200)20.22 (200200)20.33(210200)20.24(220200)20.08(230 200)20.02150. 即样本平均数为 200，样本方差为 150. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其
27、分布 (2)由(1)可知，200， 15012.2， ZN(200,12.22)，P(175.6Z224.4) P(2ZE()，所以按平均分组法较合理 2 3 P 1 3 2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机 变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产 实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同， 再用方差来决定 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练4 (2021 湖南郴州质检)某蔬菜种植基
28、地有一批蔬菜需要两天内采摘完 毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8. 现有两种方案可以选择： 方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两 天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为 0.75万元 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘，当天无雨 收益为2万元，有雨收益为1万元额外聘请工人的成本为a万元 (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收 益； (2)该基地是否应该外聘工人？请说明理由 解析 (1)基地收益X的可
29、能值为2,1,0.75， 则P(X2)0.80.80.64，P(X1)0.80.20.20.80.32， P(X0.75)(10.8)(10.8)0.04， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 故 X 的分布列为 X 2 1 0.75 P 0.64 0.32 0.04 则 E(X)20.6410.320.750.041.63. (2)设基地额外聘请工人时的收益为 Y 万元， 则其预期收益 E(Y)20.810.2a1.8 a 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 E(Y)E(X)0.17a 综上可得，当额外聘请工人的成本高于 0.17 万元时，E(X)E(Y)，不 外聘工人， 当成本低于 0.17 万元时 E(X)E(Y)，外聘工人， 当成本恰为 0.17 万元时，E(X)E(Y)，是否外聘工人均可以 谢谢观看
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