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    2022版新高考数学人教版一轮课件:第9章 第6讲 几何概型

    • 资源ID:194391       资源大小:2.90MB        全文页数:66页
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    2022版新高考数学人教版一轮课件:第9章 第6讲 几何概型

    1、必考部分 第九章第九章 计数计数原理、概率、随机变量及其分布原理、概率、随机变量及其分布 第六讲 几何概型 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点一 几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型 知识点二 几何概型的特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性 长度(面积或体积) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高

    2、考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点三 几何概型的概率公式 P(A)_. 知识点四 随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出随 机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的 基本步骤是:用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每 个随机数一定的意义;统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机 数个数 N;计算频率 fn(A)

    3、M N 作为所求概率的近似值 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关 (2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若 已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这 样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题 (3)与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问 题 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”

    4、) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零 ( ) (2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机 地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 ( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 ( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 ( ) (6)从区间1,10内任取一个数,取到 1 的概率是 P1 9. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 A

    5、 题组二 走进教材 2(P140T1)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小 球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择 的游戏盘是 ( ) 解析 P(A)3 8,P(B) 1 4,P(C) 1 3,P(D) 1 3, P(A)P(C)P(D)P(B)故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 D 3(P146B 组 T4)设不等式组 0 x2, 0y2 表示的平面区域为 D,在区 域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 ( ) A 4 B2 2 C 6 D4 4 返回导航 高考一轮总复

    6、习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 如图所示, 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的平面区 域 D,且区域 D 的面积为 4,而阴影部分(不包括AC )表示的是区域 D 内 到坐标原点的距离大于 2 的区域易知该阴影部分的面积为 4.因此满 足条件的概率是4 4 ,故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 题组三 走向高考 4(2017 全国)如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极 图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对 称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分

    7、的概率是 ( ) A1 4 B 8 C1 2 D 4 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2,则正方形内切圆的半径为 1,可得 S 正方形4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,得 S 黑 S 白1 2S 圆 2,所以由几何概型知,所求概率 P S黑 S正方形 2 4 8.故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 5(2019 全国)在 RtABC 中,ABBC,在 BC 边上随机取点 P, 则BAP30 的概率为 ( ) A1 2

    8、 B 3 3 C3 3 D 3 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 在 RtABC 中,ABBC,RtABC 为等腰直角三角形,令 ABBC1,则 AC 2; 在 BC 边上随机取点 P,当BAP30 时,BPtan 30 3 3 , 在 BC 边上随机取点 P,则BAP30 的概率为: PBP BC 3 3 ,故选 B 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点一 与长度有关的几何概型自主练透 D (1)(2021 山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度,规定

    9、每 天 8:30 上班,有 15 分钟的有效刷卡时间(即 8:158:30),一名职工 在 7:50 到 8:30 之间到单位且到达单位的时刻是随机的,则他能正常 刷卡上班的概率是 ( ) A2 3 B5 8 C1 3 D3 8 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B (2)(2021 福建龙岩质检)在区间 2, 2 上随机取一个实数 x,使 cos x1 2的概率为 ( ) A3 4 B2 3 C1 2 D1 3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C (3)(2020 山东省青岛市模拟)已知圆

    10、C:x2y21 和直线 l:yk(x 2),在( 3, 3)上随机选取一个数 k,则事件“直线 l 与圆 C 相交”发 生的概率为 ( ) A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)一名职工在 7:50 到 8:30 之间到单位,刷卡时间长度为 40 分钟,但有效刷卡时间是 8:158:30 共 15 分钟,由测度比为长度 比可得,该职工能正常刷卡上班的概率 P15 40 3 8.故选 D (2)由 ycos x 在区间 2,0 上单调递增,在 0, 2 上单调递减,则 不等式 cos x1 2在区间

    11、 2, 2 上的解为 3x 3,故 cos x 1 2的概率为 2 3 2 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)直线 l 与 C 相交 |2k| 1k21 3 3 k 3 3 . 所求概率 P 3 3 3 3 3 3 1 3.故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例(3)中“圆上到直线 l 的距离为1 2的点有 4 个”发生的概率 为_. 解析 圆上到直线l的距离为1 2的点有4个圆心到直线l的距离小 于1 2 |2k| 1k2 1 2 15 15 k 15 15 , 所求

    12、概率 P 15 15 15 15 3 3 5 15 . 5 15 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的 计算公式为 P(A) 构成事件A的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练 1 (1)(2017 江苏卷)记函数f(x) 6xx2的定义域为D在区间4,5 上随机取一个数 x,则 xD 的概率是_. (2)(2021 河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数 f(x)sin

    13、x 3cos x,当 x0,时,f(x)1 的概率为 ( ) A1 3 B1 4 C1 5 D1 2 D 5 9 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)Dx|6xx202,3, 所求概率 P32 54 5 9. (2)由 f(x)2sin x 3 1,x0,得 x 0, 2 , 所求概率 P 2 1 2,故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点二 与面积有关的几何概型师生共研 D 角度 1 与平面图形有关的问题 (1)(2021 河南商丘、周口、驻马店联考)如图,AC,BD 上分

    14、 别是大圆 O 的两条相互垂直的直径,4 个小圆的直径分别为 OA,OB, OC,OD,若向大圆内部随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为 ( ) A 4 B 8 C1 D2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C (2)设复数 z(x1)yi(x,yR),若|z|1,则 yx 的概率为 ( ) A3 4 1 2 B1 2 1 C1 4 1 2 D1 2 1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)不妨设大圆的半径为 2, 则大圆的面积为 4, 小圆的半径 为 1,如图,设图中阴影部分面积

    15、为 S, 由图形的对称性知,S 阴影8S. 又 S1 21 2 1 41 21 21 2 21, 则所求概率为 8 4 2 ,故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)|z| x12y21, (x1)2y21,其几何意义表示为以(1,0) 为圆心,1 为半径的圆面,如图所示,而 yx 所 表示的区域如图中阴影部分, 故 P 4 1 2 1 4 1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例(1)中图形改成下图,则此点取自图中阴影部分的概率为 _. 2 2 返回导航 高考一轮总复习

    16、数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 不妨设大圆的半径为 2,则小圆的半径为 1, 所求概率 P 2 4 1 2 1 44 2 2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 角度 2 与线性规划交汇的问题 在满足不等式组 xy10, xy30, y0 的平面点集中随机取一 点 M(x0,y0),设事件 A 为“y02x0”,那么事件 A 发生的概率是 ( ) A1 4 B3 4 C1 3 D2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 如图所示,不等式组 xy10 x

    17、y30, y0 表示的平面区域为 ABC 且 A(1,2),B(1,0),C(3,0),显然直线 l:y2x 过 A 且与 x 轴交于 O,所求概率 PS AOC SABC |OC| |BC| 3 4.选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解决与面积有关的几何概型的方法 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的几何元 素,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部 试验结果构成的平面图形,以便求解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练2 (1)(2021 唐山

    18、模拟)右图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算 图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷400个点,其中落入黑 色部分的有225个点,据此可估计黑色部分的面积为 ( ) A8 B9 C10 D12 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C (2)(2021 四川模拟)以正三角形的顶点为圆心, 其边长为半径作圆弧, 由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形,它是具有类似于圆 的“等宽性”曲线,由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现如图, D,E,F 为正三角形 ABC 各边中点,作出正三角形 DEF 的勒洛三角形 DEF(阴影部分),若在

    19、ABC 中随机取一点,则该点取自于该勒洛三角形 部分的概率为 ( ) A 3 2 B2 33 9 C 33 6 D 32 6 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)根据面积之比与点数之比相等的关系, 得黑色部分的面积 S44225 4009,故选 B (2)设ABC 的边长为 2,则正DEF 边长为 1, 以 D 为圆心的扇形面积是1 2 6 6, DEF 的面积是1 211 3 2 3 4 , 勒洛三角形的面积为 3 个扇形面积减去 2 个正三角形面积, 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分

    20、布 即图中勒洛三角形面积为 3 6 3 4 3 4 3 2 ,ABC 面积为 3, 所求概率 P 3 2 3 33 6 . 故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点三 与体积有关的几何概型师生共研 C (1)(2021 山西省模拟)以正方体各面中心为顶点构成一个几 何体,从正方体内任取一点 P,则 P 落在该几何体内的概率为 ( ) A1 8 B5 6 C1 6 D7 8 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 D (2)(2020 江西抚州临川一中期末)已知三棱锥 SABC, 在该三棱锥内

    21、任取一点 P,则使 VPABC1 3VSABC 的概率为 ( ) A1 3 B4 9 C 8 27 D19 27 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)如图以正方体各面中心为顶点的几何体是由两同底正四 棱锥拼成, 不妨设正方体棱长为 2, 则 GH 2, 所求概率 PV EGHIJF V正方体 21 3 2 21 222 1 6,故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)作出 S 在底面ABC 的射影为 O,若 VPABC1 3VSABC, 则三棱锥 PABC 的高等于1 3SO

    22、, P 点落在平面 EFD 上,且SE SA SD SB SF SC 2 3, 所以S EFD SABC 4 9,故 VSEFD 8 27VSABC, VPABC1 3VSABC 的概率 P1 8 27 19 27.故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 求解与体积有关问题的注意点 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空 间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的问题常转化为其对立 事件的概率问题求解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C 变式训练 3 一只蜜蜂在一

    23、个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程 中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则 蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( ) A4 81 B814 81 C 1 27 D 8 27 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 由已知条件可知, 蜜蜂只能在以正方体的中心为中心棱长为 1 的小正方体内飞行, 结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为 P 13 33 1 27. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 8 个顶点的距离均大

    24、于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为_. 解析 所求概率 P 334 3 33 14 81. 14 81 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点四 与角度有关的几何概型师生共研 D (1)(2021 南岗区校级模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 3, 以 A 为顶点在BAD 内部作射线 AP, 射线 AP 与正方形 ABCD 的边交于 点 M,则 AM2 的概率为 ( ) A 3 2 B1 2 C 3 3 D2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)在等腰 RtABC

    25、中, 过直角顶点 C 在ACB 内作一条射线 CD 与 线段 AB 交于点 D,则 ADAC 的概率为_. 解析 (1)正方形 ABCD 的边长为 3,以 A 为顶点在BAD 内部作 射线 AP,射线 AP 与正方形 ABCD 的边交于点 M,如图所示: 己知 ADABBCCD 3,DM 1, 所以 AM 32122. 所以DAM 6. 3 4 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 根据阴影的对称性,故 P(AM2) 6 6 2 2 3,故选 D (2)在 AB 上取 ACAC,则ACC180 45 2 67.5 . 设事件 A在ACB 内部作一条

    26、射线 CD,与线段 AB 交于点 D, ADAC 则所有可能结果的区域角度为 90 ,事件 A 的区域角度为 67.5 , P(A)67.5 90 3 4. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 与角度有关的几何概型的求解方法 (1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示,则其概 率公式为 P(A) 构成事件A的区域角度 试验的全部结果所构成区域的角度. (2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所 有结果构成的区域,然后再利用公式计算 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

    27、变式训练 4 (1)(2021 山西太原一模)如图,四边形 ABCD 为矩形,AB 3,BC 1,在DAB 内任作射线 AP,则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 _. 1 3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)如图所示,在ABC 中,B60 ,C45 ,高 AD 3,在 BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,则 BM1 的概率为_. 2 5 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)当点 P 在 BC 上时,AP 与 BC 有公共点,此时 AP 扫过 ABC,所以所求事

    28、件的概率 P30 90 1 3. (2)因为B60 ,C45 ,所以BAC75 , 在 RtABD 中,AD 3,B60 , 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 所以 BD AD tan 60 1,BAD30 . 记事件 N 为“在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M, 使 BM1”, 则 可得BAM3 的概率 P 1 2 4 1 8.故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)以 6 点作为计算时间的起点, 设甲到的时间为 x, 乙到的时间为 y, 则基本事件空间是 (x, y)|0

    29、 x1,0y1, 事件对应的平面区域的 面积 S1,设满足条件的事件对应的平面区域是 A,则 A(x, y)|0 x1,0y1,yx1 2,且 yx,其对应的区域如图中阴影部分 所示,则 B(0,1 2),D( 1 2,1),C(0,1), 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 则事件 A 对应的平面区域的面积是 11 2 1 2 1 2 1 211 3 8,根据几何 概型的概率计算公式得 P 3 8 1 3 8. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 生活中的几何概型度量区域的构造方法: (1)审题:

    30、通过阅读题目,提炼相关信息 (2)建模:利用相关信息的特征,建立概率模型 (3)解模:求解建立的数学模型 (4)结论:将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练 5 (2020 海口调研)张先生订了一份南昌晚报 ,送报人在早上 6:30 7:30 之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上 7:00 8:00 之间,则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是_. 解析 以横坐标 x 表示报纸送到时间,以纵坐标 y 表示张先生离家时间, 建立平面直角坐标系, 如图 因 为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以 符合几何概型的条件 7 8 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 根据题意只要点落在阴影部分,就表示张先生在离开家之前能拿到报纸, 即所求事件 A 发生,所以 P(A) 111 2 1 2 1 2 11 7 8. 谢谢观看


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