1、必考部分 第九章第九章 计数计数原理、概率、随机变量及其分布原理、概率、随机变量及其分布 第六讲 几何概型 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点一 几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 知识点二 几何概型的特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性 长度(面积或体积) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高
2、考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点三 几何概型的概率公式 P(A)_. 知识点四 随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，通过这个试验求出随 机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的 基本步骤是：用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每 个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机 数个数 N；计算频率 fn(A)
3、M N 作为所求概率的近似值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关 (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若 已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这 样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题 (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问 题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”
4、) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零 ( ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机 地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 ( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 ( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 ( ) (6)从区间1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 P1 9. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 A
5、 题组二 走进教材 2(P140T1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小 球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择 的游戏盘是 ( ) 解析 P(A)3 8，P(B) 1 4，P(C) 1 3，P(D) 1 3， P(A)P(C)P(D)P(B)故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 D 3(P146B 组 T4)设不等式组 0 x2， 0y2 表示的平面区域为 D，在区 域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 ( ) A 4 B2 2 C 6 D4 4 返回导航 高考一轮总复
6、习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 如图所示， 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的平面区 域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分(不包括AC )表示的是区域 D 内 到坐标原点的距离大于 2 的区域易知该阴影部分的面积为 4.因此满 足条件的概率是4 4 ，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 题组三 走向高考 4(2017 全国)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极 图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对 称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分
7、的概率是 ( ) A1 4 B 8 C1 2 D 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S 正方形4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑 S 白1 2S 圆 2，所以由几何概型知，所求概率 P S黑 S正方形 2 4 8.故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 5(2019 全国)在 RtABC 中，ABBC，在 BC 边上随机取点 P， 则BAP30 的概率为 ( ) A1 2
8、 B 3 3 C3 3 D 3 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 在 RtABC 中，ABBC，RtABC 为等腰直角三角形，令 ABBC1，则 AC 2； 在 BC 边上随机取点 P，当BAP30 时，BPtan 30 3 3 ， 在 BC 边上随机取点 P，则BAP30 的概率为： PBP BC 3 3 ，故选 B 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点一 与长度有关的几何概型自主练透 D (1)(2021 山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度，规定
9、每 天 8：30 上班，有 15 分钟的有效刷卡时间(即 8：158：30)，一名职工 在 7：50 到 8：30 之间到单位且到达单位的时刻是随机的，则他能正常 刷卡上班的概率是 ( ) A2 3 B5 8 C1 3 D3 8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B (2)(2021 福建龙岩质检)在区间 2， 2 上随机取一个实数 x，使 cos x1 2的概率为 ( ) A3 4 B2 3 C1 2 D1 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C (3)(2020 山东省青岛市模拟)已知圆
10、C：x2y21 和直线 l：yk(x 2)，在( 3， 3)上随机选取一个数 k，则事件“直线 l 与圆 C 相交”发 生的概率为 ( ) A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)一名职工在 7：50 到 8：30 之间到单位，刷卡时间长度为 40 分钟，但有效刷卡时间是 8：158：30 共 15 分钟，由测度比为长度 比可得，该职工能正常刷卡上班的概率 P15 40 3 8.故选 D (2)由 ycos x 在区间 2，0 上单调递增，在 0， 2 上单调递减，则 不等式 cos x1 2在区间
11、 2， 2 上的解为 3x 3，故 cos x 1 2的概率为 2 3 2 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)直线 l 与 C 相交 |2k| 1k21 3 3 k 3 3 . 所求概率 P 3 3 3 3 3 3 1 3.故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例(3)中“圆上到直线 l 的距离为1 2的点有 4 个”发生的概率 为_. 解析 圆上到直线l的距离为1 2的点有4个圆心到直线l的距离小 于1 2 |2k| 1k2 1 2 15 15 k 15 15 ， 所求
12、概率 P 15 15 15 15 3 3 5 15 . 5 15 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的 计算公式为 P(A) 构成事件A的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练 1 (1)(2017 江苏卷)记函数f(x) 6xx2的定义域为D在区间4,5 上随机取一个数 x，则 xD 的概率是_. (2)(2021 河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数 f(x)sin
13、x 3cos x，当 x0，时，f(x)1 的概率为 ( ) A1 3 B1 4 C1 5 D1 2 D 5 9 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)Dx|6xx202,3， 所求概率 P32 54 5 9. (2)由 f(x)2sin x 3 1，x0，得 x 0， 2 ， 所求概率 P 2 1 2，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点二 与面积有关的几何概型师生共研 D 角度 1 与平面图形有关的问题 (1)(2021 河南商丘、周口、驻马店联考)如图，AC，BD 上分
14、 别是大圆 O 的两条相互垂直的直径，4 个小圆的直径分别为 OA，OB， OC，OD，若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 ( ) A 4 B 8 C1 D2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C (2)设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概率为 ( ) A3 4 1 2 B1 2 1 C1 4 1 2 D1 2 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)不妨设大圆的半径为 2， 则大圆的面积为 4， 小圆的半径 为 1，如图，设图中阴影部分面积
15、为 S， 由图形的对称性知，S 阴影8S. 又 S1 21 2 1 41 21 21 2 21， 则所求概率为 8 4 2 ，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)|z| x12y21， (x1)2y21，其几何意义表示为以(1,0) 为圆心，1 为半径的圆面，如图所示，而 yx 所 表示的区域如图中阴影部分， 故 P 4 1 2 1 4 1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例(1)中图形改成下图，则此点取自图中阴影部分的概率为 _. 2 2 返回导航 高考一轮总复习
16、数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 不妨设大圆的半径为 2，则小圆的半径为 1， 所求概率 P 2 4 1 2 1 44 2 2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 角度 2 与线性规划交汇的问题 在满足不等式组 xy10， xy30， y0 的平面点集中随机取一 点 M(x0，y0)，设事件 A 为“y02x0”，那么事件 A 发生的概率是 ( ) A1 4 B3 4 C1 3 D2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 如图所示，不等式组 xy10 x
17、y30， y0 表示的平面区域为 ABC 且 A(1,2)，B(1,0)，C(3,0)，显然直线 l：y2x 过 A 且与 x 轴交于 O，所求概率 PS AOC SABC |OC| |BC| 3 4.选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解决与面积有关的几何概型的方法 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何元 素，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部 试验结果构成的平面图形，以便求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练2 (1)(2021 唐山
18、模拟)右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算 图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑 色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为 ( ) A8 B9 C10 D12 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C (2)(2021 四川模拟)以正三角形的顶点为圆心， 其边长为半径作圆弧， 由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆 的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现如图， D，E，F 为正三角形 ABC 各边中点，作出正三角形 DEF 的勒洛三角形 DEF(阴影部分)，若在
19、ABC 中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形 部分的概率为 ( ) A 3 2 B2 33 9 C 33 6 D 32 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)根据面积之比与点数之比相等的关系， 得黑色部分的面积 S44225 4009，故选 B (2)设ABC 的边长为 2，则正DEF 边长为 1， 以 D 为圆心的扇形面积是1 2 6 6， DEF 的面积是1 211 3 2 3 4 ， 勒洛三角形的面积为 3 个扇形面积减去 2 个正三角形面积， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分
20、布 即图中勒洛三角形面积为 3 6 3 4 3 4 3 2 ，ABC 面积为 3， 所求概率 P 3 2 3 33 6 . 故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点三 与体积有关的几何概型师生共研 C (1)(2021 山西省模拟)以正方体各面中心为顶点构成一个几 何体，从正方体内任取一点 P，则 P 落在该几何体内的概率为 ( ) A1 8 B5 6 C1 6 D7 8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 D (2)(2020 江西抚州临川一中期末)已知三棱锥 SABC， 在该三棱锥内
21、任取一点 P，则使 VPABC1 3VSABC 的概率为 ( ) A1 3 B4 9 C 8 27 D19 27 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)如图以正方体各面中心为顶点的几何体是由两同底正四 棱锥拼成， 不妨设正方体棱长为 2， 则 GH 2， 所求概率 PV EGHIJF V正方体 21 3 2 21 222 1 6，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)作出 S 在底面ABC 的射影为 O，若 VPABC1 3VSABC， 则三棱锥 PABC 的高等于1 3SO
22、， P 点落在平面 EFD 上，且SE SA SD SB SF SC 2 3， 所以S EFD SABC 4 9，故 VSEFD 8 27VSABC， VPABC1 3VSABC 的概率 P1 8 27 19 27.故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 求解与体积有关问题的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空 间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题常转化为其对立 事件的概率问题求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C 变式训练 3 一只蜜蜂在一
23、个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程 中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则 蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( ) A4 81 B814 81 C 1 27 D 8 27 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 由已知条件可知， 蜜蜂只能在以正方体的中心为中心棱长为 1 的小正方体内飞行， 结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为 P 13 33 1 27. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 8 个顶点的距离均大
24、于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_. 解析 所求概率 P 334 3 33 14 81. 14 81 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点四 与角度有关的几何概型师生共研 D (1)(2021 南岗区校级模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 3， 以 A 为顶点在BAD 内部作射线 AP， 射线 AP 与正方形 ABCD 的边交于 点 M，则 AM2 的概率为 ( ) A 3 2 B1 2 C 3 3 D2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)在等腰 RtABC
25、中， 过直角顶点 C 在ACB 内作一条射线 CD 与 线段 AB 交于点 D，则 ADAC 的概率为_. 解析 (1)正方形 ABCD 的边长为 3，以 A 为顶点在BAD 内部作 射线 AP，射线 AP 与正方形 ABCD 的边交于点 M，如图所示： 己知 ADABBCCD 3，DM 1， 所以 AM 32122. 所以DAM 6. 3 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 根据阴影的对称性，故 P(AM2) 6 6 2 2 3，故选 D (2)在 AB 上取 ACAC，则ACC180 45 2 67.5 . 设事件 A在ACB 内部作一条
26、射线 CD，与线段 AB 交于点 D， ADAC 则所有可能结果的区域角度为 90 ，事件 A 的区域角度为 67.5 ， P(A)67.5 90 3 4. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 与角度有关的几何概型的求解方法 (1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概 率公式为 P(A) 构成事件A的区域角度 试验的全部结果所构成区域的角度. (2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所 有结果构成的区域，然后再利用公式计算 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
27、变式训练 4 (1)(2021 山西太原一模)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB 3，BC 1，在DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 _. 1 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)如图所示，在ABC 中，B60 ，C45 ，高 AD 3，在 BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，则 BM1 的概率为_. 2 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)当点 P 在 BC 上时，AP 与 BC 有公共点，此时 AP 扫过 ABC，所以所求事
28、件的概率 P30 90 1 3. (2)因为B60 ，C45 ，所以BAC75 ， 在 RtABD 中，AD 3，B60 ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 所以 BD AD tan 60 1，BAD30 . 记事件 N 为“在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M， 使 BM1”， 则 可得BAM3 的概率 P 1 2 4 1 8.故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)以 6 点作为计算时间的起点， 设甲到的时间为 x， 乙到的时间为 y， 则基本事件空间是 (x， y)|0
29、 x1,0y1， 事件对应的平面区域的 面积 S1，设满足条件的事件对应的平面区域是 A，则 A(x， y)|0 x1,0y1，yx1 2，且 yx，其对应的区域如图中阴影部分 所示，则 B(0，1 2)，D( 1 2，1)，C(0,1)， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 则事件 A 对应的平面区域的面积是 11 2 1 2 1 2 1 211 3 8，根据几何 概型的概率计算公式得 P 3 8 1 3 8. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 生活中的几何概型度量区域的构造方法： (1)审题：
30、通过阅读题目，提炼相关信息 (2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型 (3)解模：求解建立的数学模型 (4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练 5 (2020 海口调研)张先生订了一份南昌晚报 ，送报人在早上 6：30 7：30 之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上 7：00 8：00 之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是_. 解析 以横坐标 x 表示报纸送到时间，以纵坐标 y 表示张先生离家时间， 建立平面直角坐标系， 如图 因 为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以 符合几何概型的条件 7 8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸， 即所求事件 A 发生，所以 P(A) 111 2 1 2 1 2 11 7 8. 谢谢观看
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