1、必考部分 第九章第九章 计数原理、概率、计数原理、概率、 随机变量及其分布随机变量及其分布 第一讲 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理(理) 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点一 分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方 法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种 不同的方法，则完成这件事共有N_种不同的方法 知识点二 分步乘法计数原理 完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1
2、种不同的方 法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方 法，那么完成这件事共有N_种不同的方法 m1m2mn m1 m2 mn 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用 其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步” 问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成 这件事 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括
3、号中打“”或“”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 ( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件 事 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独 的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完 成 ( ) (4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同 的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法 ( ) (5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不 相同的
4、( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组二 走进教材 2(P10练习T4)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则 不同的走法的种数为 ( ) A16 B13 C12 D10 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 将 4 个门编号为 1,2,3,4，从 1 号门进入后，有 3 种出门的方 式，共 3 种走法，从 2,3,4 号门进入，同样各有 3 种走法，共有不同走法 3412(种) 另解：A2 412(种) 完成这件事需分成 2 个步骤进 4 种、出 3 种， 共有 4312
5、 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 3(教材习题改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字， 其和为偶数的不同取法种数为_；能排成的两位偶数的个数为 _ 解析 和为偶数的取法可分为两类：取两奇数或取两偶数，各 有3种取法，故共有6种取法；排成的两位偶数可分成三类：个位是0 或2或4，显然个位为0的有5个，个位为2或4的各有4个，故共有13个 6 13 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组三 走向高考 4(2020 新课标)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每 名同学只去
6、1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共 有_种 36 解析 因为有一小区有两人， 则不同的安排方式共有 C2 4A 3 336 种 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 5(2017 天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有 一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字 作答) 1 080 解析 根据题意，分 2 种情况讨论： 四位数中没有一个偶数数字，即在 1、3、5、7、9 种任选 4 个， 组成一个四位数即可，有 A4 5120 种情况，即有 120 个没有一个偶数数 字四位数； 返回
7、导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 四位数中只有一个偶数数字，在 1、3、5、7、9 种选出 3 个，在 2、 4、6、8 中选出 1 个，有 C3 5 C 1 440 种取法， 将取出的 4 个数字全排列，有 A4 4 24 种顺序，则有 4024 960 个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有 1209601 080 个 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点一 分类加法计数原理自主练透 (1)(2020 常州模拟)已知I1,2,3，A，B是
8、集合I的两个非 空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有 ( ) A12对 B15对 C18对 D20对 例 1 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2020 山东济宁模拟)6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4 人，则不同的乘车方案数为 ( ) A70 B60 C50 D40 (3)(2021 山东日照联考)要将甲、乙、丙、丁4名同学分别到A，B， C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数 为_(用数字作答) C 12 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率
9、、随机变量及其分布 解析 (1) 依题意，当 A，B 中均有一个元素时，有 3 对；当 B 中有一个元素，A 中有两个元素时，有 C1 3C 1 3C 1 28(对)；当 B 中有一 个元素，A 中有三个元素时，有 3 对；当 B 中有两个元素，A 中有三个元 素时，有 3 对；当 A，B 中均有两个元素时，有 3 对所以共有 383 3320(对)，选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)C4 6C 3 6C 2 650 或 C 4 6 A 2 2C 3 650故选 C (3)由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到 A，有 6 种
10、；第 二类，甲单独在 A，则两人在 B 有 C2 33 种或两人在 C 有 C 2 33 种，共 有 6 种，共 12 种 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关 键词，关键元素，关键位置 (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准 (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并 且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复 (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点二 分步乘法计数
11、原理师生共研 (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再 一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选 择的最短路径条数为 ( ) A24 B18 C12 D9 例 2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多 参加一项，则共有_种不同的报名方法 120 解析 (1)从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径 有3条，所以从E点到G点的最短路径有6318(条)，故选B (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一 个项目有6种
12、选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根 据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申1本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一 项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报 名方法 解析 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同 的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36 729(种) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申2本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至
13、多参加一 项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同 的报名方法？ 解析 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中 选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63 216(种) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申3本例(1)中若去掉“先到F处与小红会合”，则最短路径的条 数为_ 35 解析 C3 735(条) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步， 即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：
14、完成一件事的各个步骤是 相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事 (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步 与步确保连续，逐步完成 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练1 (1)(2021 厦门模拟)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习 委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不 同的选法共有_种(用数字作答) (2)(2021 湖南永州模拟)某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度， 研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天 各安排1名，周五安排2名，则不同的安
15、排方法共有 ( ) A320种 B360种 C370种 D390种 36 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从 剩下的 3 人中选 1 人当文娱委员，有 3 种选法 第二步，从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行： 先选学习委员有 4 种选法，再选体育委员有 3 种选法由分步乘法计数 原理可得，不同的选法共有 34336(种) (2)第一步安排周五 2 名，有 C2 615(种)方法； 第二步安排周一至周四，有 A4 424(种)方法， 故不同的安排方法共有 152
16、4360 种，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点三 两个计数原理的综合应用多维探究 角度1 与数字有关的问题 (2020 天津和平区二模)在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重 复数字的四位数中，能被5整除的个数有 ( ) A512 B192 C240 D108 例 3 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 能被 5 整除的四位数末位是 0 或 5 的数，因此分两类， 第一类，末位为 0 时，其它三位从剩下的数中任意排 3 个即可，有 A3 5 60 个， 第二类，末位
17、为 5 时，首位不能排 0，则首位只能从 1,2,3,4 选 1 个， 第二位和第三位从剩下的 4 个数中任选 2 个即可，有 A1 4 A 2 4 48 个， 根据分类计数原理得可以组成 6048 108 个不同的能被 5 整除的 四位数，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申(1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为_； (2)本例组成的四位数中偶数的个数为_个，其中比2 310大的 四位偶数的个数为_个 252 156 109 解析 (1)C1 5C 1 6C 1 6C 1 2360,360108252 (2)个位为 0 时有
18、 A3 560 个；个位非 0 时有 C 1 4A 2 4C 1 296 个， 故四位偶数有 156 个；其中比 2 310 大的数中 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 前三位为 231 的有 1 个； 前两位为 23 第三位为 4 或 5 的有 3 个； 前一位为 2 第二位为 4 或 5 的有 9 个； 前一位为 4 的有 C1 2A 2 224 个； 前一位为 3 或 5 的各有 C1 3A 2 436 个，故共有 109 个 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 角度2 与涂色有关的问题 将
19、一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的 两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有 ( ) A48种 B72种 C96种 D108种 例 4 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 如图四棱柱 PABCD， 涂 P 有 4 种方法涂 A 有 3 种方法 涂 B 有 2 种方法涂 C C与A同色有1种方法 C与A不同色有1种方法涂 D 有2种方法 有1种方法，则 不同的涂法共有 432(1211)72 种，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 角度3 与几何有关的
20、问题 (2018 上海)九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂 直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳 马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳 马的个数是 ( ) A4 B8 C12 D16 例 5 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 根据正六边形的性质， 则D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意， 而C1，E1，C，D，E和D1一样，有248， 当A1ACC为底面矩形，有4个满足题意， 当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意， 故有84416，故选D 返回导航 高考一轮总复习 数
21、学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例中若去掉“以AA1为底面矩形的一边”，则阳马的个 数为_个 以六棱柱的顶点为顶点的四棱锥有_个 解析 矩形在棱柱底面上的阳马有24个； 矩形为棱柱侧面的阳马有24个； 矩形为棱柱对角面的阳马有24个； 故共有72个 72 300 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 底面在棱柱底面上的四棱锥有 2C4 6C 1 6180 个； 底面四边形含两条侧棱的有 C2 6C 1 8120 个； 故共有 300 个 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
22、 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 1弄清完成一件事是做什么 2确定是先分类后分步，还是先分步后分类 3弄清分步、分类的标准是什么 4利用两个计数原理求解 注意：(1)相同元素不加区分；(2)数字问题中0不能排在数的首位 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练2 (1)(角度2)(2021 宁波模拟)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可 供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不 同的涂色方法种数为 ( ) A24种 B48种 C72种 D96种 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率
23、、随机变量及其分布 (2)(角度1)(2020 四川成都青羊区模拟)由数字0,1,2,3组成的无重复数 字的4位数，比2 019大的有( )个 ( ) A10 B11 C12 D13 (3)(角度3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成 一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有 四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 ( ) A60 B48 C36 D24 B B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1) 区域 A B E C D 涂法 4 3 2 (与 A 同色)1 2 与 A 不同色 1 1 不同
24、的涂色方法共有 4 3 2 1 (21)72(种)，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)千位数字为3时满足题意的数字个数为：3！6千位数字为2 时，只有2 013不满足题意，则满足题意的数字的个数为3！15，综 上可得：比2 019大的有6511个 (3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6636，另 含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6212， 故符合条件的“平行线面组”的个数是361248 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量
25、及其分布 (1)将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的 六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有两个盒子的编号与放入 的小球编号相同，则不同的放法总数是_ 例 6 135 巧用图表法、间接法求解计数问题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 吉林模拟)一只蚂蚁从正四面体ABCD的顶点A出发，沿着 正四面体ABCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机 的，则蚂蚁第1秒后到点B，第4秒后又回到A点的不同爬行路线有 ( ) A6条 B7条 C8条 D9条 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（
26、新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)(2021 济南模拟)如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回 路，其中有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果焊接点脱落，整个电路 就会不通现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有_ 种 63 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)(图表法)两个小球放入编号相同的盒子中有 C2 615 种方 法，将剩余四个小球放入四个盒子，由图知共有 9 种方法，故符合题意 的放法总数为 159135 注：结论：把编号为 1、2、3、4 的小球，放入编为 1、2、3、4 的 小盒中号码不
27、同的放法共有 9 种 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)根据已知，可作出下图，如图知，不同的爬行线路有 7 条，故选 B (3)(间接法)因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有 一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26163(种)可能情况 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)当问题中涉及到的元素个数较少时，可通过图表将各种情况一一 列出求解计数问题； (2)当要求计数的情况较复杂，而其反面情况简单易求时，可采用间 接法求解即问题所有情况种数减去不合题意的情况种数 返回导航
28、高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练3 (1)(2021 保定质检)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下， 由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共 有 ( ) A4种 B6种 C10种 D16种 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 江苏淮阴淮安中学测试)若把单词“error”的字母顺序写错 了，则可能出现的错误写法的种数为 ( ) A17 B18 C19 D20 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)分两类： 甲第一次踢给乙时， 满足条件的有 3 种传递方式 (如图)， 同理，甲先传给丙时，满足条件的也有 3 种传递方式 由分类加法计数原理可知，共有 336(种)传递方式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)将 5 个字母排成一排，可分三步进行： 第一步：排 e，o，共有 A2 520 种排法； 第二步：排三个 r，共有 C3 31 种排法； 将 5 个字母排成一排共有 20120 种排法， 可能出现的错误写法的种数为 20119 种； 故选 C 谢谢观看
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