1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第七讲 抛物线 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_； (3)定点F与定直线l的关系为_ 相等 点Fl 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 标准 方程 p 的几何意义：焦点 F
2、到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y0 x0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 标准 方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 焦点 F_ F_ F_ F_ 离心率 e_ 准线 方程 _ _ _ _ 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR p 2，0 p 2，0 0，p 2 0，p 2 1 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0)
3、 x22py(p0) 标准 方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P(x0， y0) |PF|_ |PF|_ |PF|_ |PF|_ x0p 2 x0p 2 y0p 2 y0p 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 抛物线焦点弦的处理规律 直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，如图 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 (2)|AB|x1x2p，x1x22 x1x2p，即当 x1x2时，弦长最短
4、为 2p (3) 1 |AF| 1 |BF| 2 p 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (4)弦长 AB 2p sin2( 为 AB 的倾斜角) (5)以 AB 为直径的圆与准线相切 (6)焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90 (7)A、O、D 三点共线；B、O、C 三点共线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定 是抛物线 ( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，
5、 且其焦点 坐标是 a 4，0 ，准线方程是 x a 4 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 ( ) (4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F p 2，0 的弦，若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 x1x2p 2 4 ，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p ( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段 叫做抛物线的通径，那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组二 走进教材 2(必修2P69
6、例4)(2021 甘肃张掖诊断)过抛物线y24x的焦点的直线l 交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于( ) A9 B8 C7 D6 解析 抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1根据题 意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 B 3 (2021 河南郑州名校调研)抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距 离为 1，则点 M 的纵坐标是 ( ) A17 16 B15 16 C 7 16 D15 16 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析
7、由抛物线的方程 y4x2，可得标准方程为 x21 4y，则焦 点坐标为 F 0， 1 16 ，准线方程为 y 1 16，设 M(x0，y0)，则由抛物线的定 义可得y0 1 161，解得 y0 15 16故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 D 题组三 走向高考 4 (2019 课标全国)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆 x2 3p y2 p 1 的一个焦点，则 p ( ) A2 B3 C4 D8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为 p 2，0 ， 椭圆 x2 3p y2 p 1 的一
8、个焦点为 p 2，0 ， 3ppp 2 4 ，p8故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 5(2020 新课标)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到 C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p ( ) A2 B3 C6 D9 C 解析 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距 离为 12，到 y 轴的距离为 9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线 的距离相等，故有：9p 212p6；故选 C 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点一 抛物线的定义及应用多维探究
9、 角度1 轨迹问题 (1)动圆与定圆A：(x2)2y21外切，且和直线x1相 切，则动圆圆心的轨迹是 ( ) A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线 例 1 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x2)2y21的圆心的 距离等于r1，而动圆的圆心到直线x1的距离等于r，所以动圆到直线 x2距离为r1，即动圆圆心到定点(2,0)和定直线x2的距离相等， 根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 角度2 到焦点与到定点距离之和最小问题 (2)(2021 河北保定
10、七校联考)已知M是抛物线x2 4y上一点，F为 其焦点，C为圆(x1)2(y2)2 1的圆心，则|MF|MC|的最小值为 ( ) A2 B3 C4 D5 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 B (2021 山西运城联考)已知抛物线 C： x28y 的焦点为 F， O 为原点， 点 P 是抛物线 C 的准线上的一动点，点 A 在抛物线 C 上，且|AF|4，则 |PA|PO|的最小值为 ( ) A4 2 B2 13 C3 13 D4 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设抛物线 x24y 的准线方 程为 l： y1， C 为圆(x1)
11、2(y2)21 的圆心，所以 C 的坐标为(1,2)，过 M 作 l 的垂线，垂足为 E，根据抛物线的定义可 知|MF|ME|，所以问题求|MF|MC|的最 小值， 就转化为求|ME|MC|的最小值， 由 平面几何的知识可知，当 C，M，E 在一条直线上时，此时 CEl，|ME| |MC|有最小值，最小值为|CE|2(1)3，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由抛物线的定义知|AF|yAp 2yA2 4，yA2，代入 x28y，得 xA4，不妨取 A(4,2)， 又 O 关于准线 y2 的对称点为 O(0， 4)，|PA|PO|PA|PO|AO| 42)20
12、4)22 13， 当且仅当 A、 P、 O 共线时取等号，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 引申本例(2)中，()|MC|MF|的最大值为_；最小值为 _；()若N为C上任一点，则|MF|MN|的最小值为_ 2 2 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A 角度 3 到准线与到定点距离之和最小问题 (3)已知圆 C：x2y26x8y210，抛物线 y28x 的准线为 l，设 抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 d，则 d|PC|的最小值为( ) A 41 B7 C6 D9 解析 由题意得圆的方程为(x3)2(y4)24，圆心
13、 C 的坐标为 (3，4)由抛物线定义知，当 d|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间 的距离，即 d|PC| 32)24)2 41 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 B 角度 4 到两定直线的距离之和最小问题 (4)(2021 北京人大附中测试)点 P 在曲线 y24x 上，过 P 分别作直线 x1 及 yx3 的垂线，垂足分别为 G，H，则|PG|PH|的最小值为 ( ) A3 2 2 B2 2 C3 2 2 1 D 22 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 由题可知 x1 是抛物线的准线， 焦点 F(1,0)，由抛物线的性质可知|PG|
14、PF|， |PG|PH|PF|PH|FH|103| 2 2 2， 当且仅当 H、P、F 三点共线时取等号，|PG| |PH|的最小值为 2 2故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有 关的轨迹是否为抛物线 (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题 时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化 (3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关 问题的重要途径 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 x28y B 变
15、式训练 1 (1)(角度 1)到定点 A(0,2)的距离比到定直线 l：y1 大 1 的动点 P 的轨迹方程为_ (2)(角度 1)(2021 吉林省吉林市调研)已知抛物线 y24x 的焦点 F，点 A(4,3)，P 为抛物线上一点，且 P 不在直线 AF 上，则PAF 周长取最小 值时，线段 PF 的长为 ( ) A1 B13 4 C5 D21 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)(角度 2)(2021 山西大学附中模拟)已知点 Q(2 2， 0)及抛物线 yx 2 4 上一动点 P(x，y)，则 y|PQ|的最小值是_ (4)(角度 3)(2021 上海虹
16、口区二模)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2： x1， 抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和 l2的距离之和的最小值 为 ( ) A37 16 B11 5 C2 D7 4 2 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意知 P 到 A 的距离等于其到直线 y2 的距离，故 P 的轨迹是以 A 为焦点， 直线 y2 为准线的抛物线， 所以其方程为 x28y (2)求PAF 周长的最小值，即求|PA|PF| 的最小值，设点 P 在准线上的射影为 D，根据 抛物线的定义， 可知|PF|PD|， 因此， |PA|PF| 的最小值，即|PA|PD|
17、的最小值根据平面几 何知识，可得当 D，P，A 三点共线时|PA|PD| 最小， 此时 P(9 4， 3)， 且|PF| 9 41 13 4 ， 故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)抛物线 yx 2 4 即 x24y，其焦点坐标为 F(0,1)，准线方程为 y1因为点 Q 的坐标 为(2 2，0)，所以|FQ| 2 2)2123过 点 P 作准线的垂线 PH，交 x 轴于点 D，如图 所示结合抛物线的定义，有 y|PQ|PD| |PQ|PH|PQ|1|PF|PQ|1|FQ| 1312，即 y|PQ|的最小值是 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
18、 第八章 解析几何 (4)直线 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，抛 物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，则点 P 到直线 l2：x 1 的距离等于 PF，过点 F 作直线 l1：4x3y6 0 的垂线，和抛物线的交点就是点 P，所以点 P 到直线 l1：4x3y60 的距离和到直线 l2：x 1 的距离之和的最小值就是点 F(1,0)到直线 l1：4x 3y60 的距离，所以最小值为|406| 3242 2，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点二 抛物线的标准方程自主练透 (1)过点P(3,2)的抛物线的标准方程为_ (2)焦点在直线x2y40
19、上的抛物线的标准方程为_ _，准线方程为_ 例 2 y24 3x或x 29 2y y216x或 x2 8y x4或y2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 B (3)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准 线于点 A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为( ) Ay23 2x By23x Cy29 2x Dy29x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设所求抛物线的方程为y22px(p0)或x22py(p0) 过点(3,2)，42p (3)或 92p 2 p2 3或 p 9 4 所
20、求抛物线的标准方程为 y24 3x 或 x 29 2y 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)令 x0，得 y2，令 y0，得 x4 抛物线的焦点为(4,0)或(0，2) 当焦点为(4,0)时，p 24， p8，此时抛物线方程为 y216x； 当焦点为(0，2)时，p 22， p4，此时抛物线方程为 x28y 所求的抛物线的标准方程为 y216x 或 x28y， 对应的准线方程分别是 x4，y2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交 准线于点 E，D， 设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由
21、定义得|BD| a，故BCD30 在直角三角形 ACE 中， |AE|AF|3， |AC|3 3a，2|AE|AC|，33a6，从而得 a1 BDFG，|BD| |FG| |BC| |FC|，即 1 p 2 3，求得 p 3 2，因此抛物线的方程 为 y23x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未 知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可 (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定 位，再定量一般焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2ax(a0)；焦 点在y轴上的抛
22、物线的方程可设为x2ay(a0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A 变式训练 2 (1)(2021 重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，过点(p,0)且垂直于 x 轴的直线与抛物线 C 在第一象限内的交点为 A， 若|AF|1，则抛物线 C 的方程为 ( ) Ay24 3x By22x Cy23x Dy24x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)(2021 安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴 上，其上的点P(m，3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为 ( ) Ax28y Bx24y Cx2
23、4y Dx28y D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意知 xAp，又|AF|xAp 2 3p 2 1，p2 3，抛物 线 C 的方程为 y24 3x，故选 A (2)由题意可知抛物线的焦点在 y 轴负半轴上，故设其方程为 x2 2py(p0)，所以 3p 25，即 p4，所以所求抛物线方程为 x 28y， 故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点三 抛物线的几何性质师生共研 (1)(2021 广西四校联考)已知抛物线y22px(p0)上横坐标 为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ( )
24、 A4 B9 C10 D18 例 3 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 D (2)(2021 四川眉山模拟)点 F 为抛物线 C： y22px(p0)的焦点， 过 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，过 A、B 分别作抛物 线 C 的准线的垂线段，垂足分别为 M、N，若|MF|4，|NF|3，则直线 AB 的斜率为 ( ) A1 B 7 24 C2 D24 7 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)抛物线 y22px 的焦点为 p 2，0 ，准线方程为 x p 2由 题意可得 4p 29，解得 p10，
25、所以该抛物线的焦点到准线的距离为 10故选 C (2)由抛物线定义知|AM|AF|，|BN|BF|， AFMBFM360 MAFNBF 2 90 ， MFN90 ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 又|MF|4，|NF|3， |MN|5，p|KF|MF| |NF| |MN| 12 5 ， 又AFMAMFMFK， kABtan(180 2MFK) 2tanMFK 1tan2MFK 8 3 1 4 3 2 24 7 故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、 直观的特点来解题，特别是涉
26、及焦点、顶点、准线的问题更是如此 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练3 (1)(2021 广东茂名五校联考)设抛物线y22px(p0)的焦点为 F(1,0)，过焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AF|4|BF|，则|AB| _ 25 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 C (2)(2021 湖北荆州模拟)从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛 物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|9，设抛物线的焦点为 F，则直线 PF 的斜率为 ( ) A6 2 7 B18 2 7 C4 2 7 D2 2 7 返回导航 高考一轮总复习
27、数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)p 21，p2， 不妨设直线 AB 方程为 xmy1， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y24x xmy1，得 y 24my40， y1y24，又|AF|4|BF|，y14y2， y21，从而 x21 4，|BF|1 1 4 5 4， |AB|5|BF|25 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设 P(x0，y0)，由抛物线 y24x， 可知其焦点 F 的坐标为(1,0)， 故|PM|x019，解得 x08， 故 P 点坐标为(8,4 2)， 所以 kPF04 2 18 4 2 7 故选 C 返回导航 高
28、考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点四 直线与抛物线的综合问题师生共研 例 4 (1)已知抛物线 y22px(p0)的焦点 F 与双曲线 x2 12 y2 4 1 的一个焦点重合，直线 yx4 与抛物线交于 A，B 两点，则|AB|等于 ( ) A28 B32 C20 D40 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)(2021 陕西师大附中期中)已知抛物线y24x的一条弦AB恰好以 P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是 ( ) Ayx1 By2x1 Cyx2 Dy2x3 (3)(2021 湖南五市十校联考)已知抛物线C：y22px(p0)，
29、直线y x1与C相交所得的长为8 求p的值； 过原点O的直线l与抛物线C交于M点，与直线x1交于H点，过 点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)双曲线 x2 12 y2 4 1 的焦点坐标为(4,0)，故抛物线的焦点 F 的坐标为(4,0)因此 p8，故抛物线方程为 y216x，易知直线 yx 4 过抛物线的焦点设 A、B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) 由 y216x， yx4，可得 x 224x160，故 x 1x224 故|AB|x1x2p24832故选 B 返回导航 高考一轮总复
30、习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1y22， 由 y2 14x1 y2 24x2，知 k ABy 1y2 x1x2 4 y1y22， AB 的方程为 y12(x1)，即 2xy10，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)由 y22px yx1，消 x 可得 y 22py2p 0， y1y22p，y1y22p， 弦 长 为112 y1y2)24y1y2 2 4p28p8， 解得 p2 或 p4(舍去)，p2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由可得 y2 4x，设 M 1 4y
31、 2 0，y0， 直线 OM 的方程 y 4 y0 x， 当 x1 时，yH 4 y0， 代入抛物线方程 y24x，可得 xN 4 y2 0， N 4 y2 0， 4 y0 ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 直线 MN 的斜率 k y0 4 y0 y2 0 4 4 y2 0 4y0 y2 04， 直线 MN 的方程为 yy0 4y0 y2 04 x1 4y 2 0 ， 整理可得 y 4y0 y2 04(x1)， 故直线 MN 过点(1,0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类 似
32、，一般要将两方程联立，消元，用到根与系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦 点若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB| x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系 数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法 提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 4 (1)(2021 甘肃诊断)直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点，且交抛物 线于 A，B 两点，交其准线于 C 点，已知|AF|4，C
33、B 3BF ，则 p ( ) A2 B4 3 C8 3 D4 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)(2021 安徽皖南八校模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 到直线 xy10 的距离为 2 求抛物线 C 的方程； 过点 F 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， 交 y 轴于点 P 若|AB |3|BP |，求直线 l 的方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)过 A，B 分别作准线的垂线交准线于 E，D 两点， 设|BF|a，根据抛物线的性质可知，|BD|a， |AE|4，根据平行线段比例可知|BD|
34、 |AE| |CB| |AC|， 即a 4 3a 3aa4，解得 a2， 又|BD| |GF| |BC| |CF|，即 a p 3a 4a， 解得 p4 3a 8 3，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由抛物线 C：y22px(p0)，可得焦点 F p 2，0 ， 因为焦点到 xy10 的距离为 2， 即 p 21 2 2，解得 p2， 所以抛物线 C 的方程 y24x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由知焦点 F(1,0)，设直线 l：yk(x1)， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组 ykx1) y24x
35、，整理得 k2x2(2k24)xk20， 所以 x1x22 4 k2， x1x21， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 又由|AB |3|BP |，得AB 3BP ， 可得 x14x2， 由，可得 x12，x21 2， 代入，可得 2 4 k2 5 2，解得 k2 2， 所以直线 l 的方程为 2 2x y2 20 或 2 2xy2 20 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 5 巧解抛物线的切线问题 D (1)抛物线 C1：x22py(p0)的焦点与双曲线 C2： x2 3 y21 的右焦点的连线交 C1于第
36、一象限的点 M若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p ( ) A 3 16 B 3 8 C2 3 3 D4 3 3 (2)(2019 新课标，节选)已知曲线 C：yx 2 2 ，D 为直线 y1 2上的 动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B证明：直线 AB 过定点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)抛物线 C1： x22py(p0)的焦点坐标为 0，p 2 ， 双曲线x 2 3 y21 的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为 y p 4(x2)，联立 yp 4x2)， y 1 2px 2， 得 2x2p2x2p20
37、返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设点 M 的横坐标为 m，易知在 M 点处切线的斜率存在，则在点 M 处切线的斜率为 y xm 1 2px 2 xmm p 又双曲线x 2 3 y21 的渐近线方程为 x 3y0，其与切线平行，所以 m p 3 3 ，即 m 3 3 p，代入 2x2p2x2p20，得 p4 3 3 或 p0(舍去) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设 D t，1 2 ，A(x1，y1)，则 x2 12y1，由于 yx， 切线 DA 的斜率为 x1，故 y11 2 x1t x1，整理得：2tx12y110 设 B(x2
38、，y2)，同理可得 2tx22y210 故直线 AB 的方程为 2tx2y10，即 y1 2tx 直线 AB 过定点 0，1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若 用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错 注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不 充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3 条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 1 C 变式训练 5 (1)已知抛物线 C：y22px(p0)，
39、过点 M p 2，0 作 C 的切线，则切 线的斜率为_ (2)已知抛物线 x28y，过点 P(b,4)作该抛物线的切线 PA，PB，切点 为 A，B，若直线 AB 恒过定点，则该定点为 ( ) A(4,0) B(3,2) C(0，4) D(4,1) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设斜率为 k，则切线为 yk xp 2 代入 y22px 中得 k2x2 p(k22)xk 2p2 4 0 0，即 p2(k22)24 k2 k2p2 4 0 解得 k21，k1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设 A，B 的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， yx 2 8 ，yx 4， PA，PB 的方程 yy1x1 4 (xx1)，yy2x2 4 (xx2)， 由 y1x 2 1 8 ，y2x 2 2 8 ，可得 yx1 4 xy1，yx2 4 xy2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 切线 PA，PB 都过点 P(b,4)， 4x1 4 by1,4x2 4 by2， 故可知过 A，B 两点的直线方程为 4b 4xy， 当 x0 时，y4， 直线 AB 恒过定点(0，4)故选 C 谢谢观看
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