1、必考部分 第三章第三章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 第六讲 解三角形 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点一 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 _2R(其中R 是ABC外接圆的半径) a2_ b2_ c2_ b2c22bccos A a2c22accos B a2b22abcos C a sin A b sin B c sin C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 定理 正弦定理 余弦定理 常见
2、 变形 a_， b_，c_ sin A_，sin B_， sin C_ abc_ asin Bbsin A，bsin Ccsin B， asin Ccsin A cos A_ cos B_ cos C_ 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C a 2R b 2R c 2R sin Asin Bsin C b2c2a2 2bc a2c2b2 2ac a2b2c2 2ab 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 定理 正弦定理 余弦定理 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角 和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角， 求另一边和其他
3、两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角， 求第三边和其他两个角 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点二 在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系 式 a bsin A a bsin A bsin A ab ab 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点三 三角形常用面积公式 (1)S1 2a ha(ha 表示 a 边上的高) (2)S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A. (3)S1
4、 2r(abc)(r 为内切圆半径) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点四 实际问题中的常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线 所成的角中，目标视线 在水平视线上方的叫做 仰角，目标视线在水平 视线下方的叫做俯角 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从某点的指北方向线起 按顺时针方向到目标方 向线之间的水平夹角叫 做方位角方位角 的 范围是 0 Babsin Asin Bcos AB 必有 sin Asin B ( ) (2)在ABC 中，若 b
5、2c2a2，则ABC 为锐角三角形 ( ) (3)在ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c 且 a1， c 3， A 6，则 b1 或 2. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (4)若满足条件 C60 ，AB 3，BCa 的ABC 有两个，则实数 a 的取值范围是( 3，2) ( ) (5)在ABC 中，若 bcos Bacos A，则ABC 是等腰三角形 ( ) (6)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0， 2 . ( ) (7)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 0， 2 . ( ) 返回导航 高考一
6、轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 题组二 走进教材 2(必修 5P10A 组 T8 改编)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.已知 a 5，c2，cos A2 3，则 b ( ) A. 2 B 3 C2 D3 D 解析 由余弦定理，得 4b222bcos A5，整理得 3b28b3 0，解得 b3 或 b1 3(舍去)，故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 3(必修 5P10A 组 T3 改编)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.已知 C60 ，b 6，c3，则 A ( ) A45 B75
7、C105 D60 B 解析 由题意： b sin B c sin C，即 sin B bsin C c 6 3 2 3 2 2 ，结 合 bc 可得 B45 ，则 A180 BC75 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 4(必修 5P18T1 改编)在ABC 中，A60 ，AC4，BC2 3，则 ABC 的面积等于_. 解析 设ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c. 由题意及余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc c 21612 24c 1 2，解得 c2. 所以 S1 2bcsin A 1 242sin 60 2 3. 2 3 返
8、回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 5(必修 5P14例 5 改编)如图，设 A，B 两点在河的两岸，要测量两 点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 m 米， BAC， ACB， 则 A， B 两点间的距离为( ) A.msin sin B msin sin C msin sin D msin sin sin C 解析 ABC()，由正弦定理得 AB sin AC sin ABC AB m sin sin msin sin，故选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 题组三 走
9、向高考 6(2020 课标理，7,5 分)在ABC 中，cos C2 3，AC4，BC3， 则 cos B ( ) A.1 9 B1 3 C1 2 D2 3 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 由 cos CAC 2BC2AB2 2AC BC 得2 3 169AB2 243 ， AB3，cos BBA 2BC2AC2 2BA BC 9916 233 1 9，故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 7(2019 全国卷，5分)在ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c.已知bsin Aacos B0，则B
10、_. 解析 解法一：依题意与正弦定理得 sin Bsin Asin Acos B0，即 sin Bcos B，则 tan B1.又 0B，所以 B3 4 . 解法二：由正弦定理得 bsin Aasin B，又 bsin Aacos B0，所以 asin Bacos B0，即 sin Bcos B，则 tan B1.又 0B0，故 cos B0，B 为钝角如 图，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，则 CEbsin BAC，BE acos ABC，故 BECE.又 CEAB，所以CBE 4，ABC 3 4 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形
11、8(2019 全国卷，5 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.若 b6，a2c，B 3，则ABC 的面积为_. 解析 解法一：因为 a2c，b6，B 3，所以由余弦定 理 b2a2c22accos B，得 62(2c)2c222cccos 3，得 c 2 3，所以 a4 3，所以ABC 的面积 S1 2acsin B 1 24 32 3sin 36 3. 6 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解法二： 因为 a2c， b6， B 3， 所以由余弦定理 b 2a2c22accos B，得 62(2c)2c222cccos 3，得 c
12、2 3，所以 a4 3，所以 a 2 b2c2，所以 A 2，所以ABC 的面积 S 1 22 366 3. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (1)(2020 东北师范大学附属中学模拟)在ABC 中，a1，A 6，B 4，则 c ( ) A. 6 2 2 B 6 2 2 C 6 2 D 2 2 考点一 利用正、余弦定理解三角形自主练透 例 1 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)(2020 河南南阳期中)在ABC 中，a8，b10，A45 ，则此三 角形解的情况是 ( ) A一解
13、B两解 C一解或两解 D无解 (3)(2020 百校联盟第二次联考)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分 别为 a，b，c.若 sin A3sin B，c 5，且 cos C5 6，则 a ( ) A2 2 B3 C3 2 D4 B B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (4)(2019 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 asin Absin B4csin C，cos A1 4，则 b c等于 ( ) A6 B5 C4 D3 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)解法一：
14、 sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos B cos Asin B 2 6 4 ， 由正弦定理 a sin A c sin C得 c asin C sin A 1 2 6 4 1 2 6 2 2 ，故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解法二：由正弦定理 a sin A b sin B，得 b asin B sin A 1sin 4 sin 6 2，则 cos Ccos(AB)(cos Acos Bsin Asin B) 6 2 4 .由余弦定理 可得，c a2b22abcos C1221 2 6 2 4 6 2 2 . 故选 A.
15、 (2)因为 bsin 45 5 280)，结合 余弦定理有：cos Ca 2b2c2 2ab 9m 2m25 6m2 5 6，求解关于实数 m 的方 程可得 m1，则 a3m3. (4)由正弦定理：asin Absin B4csin Ca2b24c2a2b24c2. 由余弦定理 cos Ab 2c2a2 2bc 1 4. 将代入，消去 a2得b 2c2b24c2 2bc 1 4 b c6.故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的 问题时，首先必须判明是否有解，(例如在ABC 中，已知 a1
16、，b2， A60 ，则 sin Bb asin A 31，问题就无解)，如果有解，是一解，还 是两解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角 (三角函数)的关系转化为边的关系 (3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角” (4)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin A sin B a c，(b ca)(bca)3bc，则ABC 的形状为 ( ) A直角
17、三角形 B等腰非等边三角形 C等边三角形 D钝角三角形 考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状师生共研 (1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 例 2 B C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)解法一：因为 bcos Cccos Basin A， 由正弦定理知 sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A， 得 sin(BC)sin Asin A. 又 sin(BC)sin A，得 sin A1
18、， 即 A 2，因此ABC 是直角三角形 解法二：因为 bcos Cccos Bb a2b2c2 2ab c a2c2b2 2ac 2a 2 2a a， 所以 asin Aa，即 sin A1，故 A 2，因此ABC 是直角三角形 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)因为sin A sin B a c，所以 a b a c，所以 bc. 又(bca)(bca)3bc， 所以 b2c2a2bc， 所以 cos Ab 2c2a2 2bc bc 2bc 1 2. 因为 A(0，)，所以 A 3， 所以ABC 是等边三角形 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考
19、） 第三章 三角函数、解三角形 三角形形状的判定方法 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如 a2Rsin A，a2b2c2 2abcos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此 时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如 sin Asin BAB； sin(AB)0AB；sin 2Asin 2BAB 或 AB 2等 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 sin A a 2R ，cos A b2c2a2 2bc 等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断 (3)注意无论是化边还是化角，在化
20、简过程中出现公因式不要轻易约 掉，否则会有漏掉一种形状的可能 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练1 (1)(2021 长春调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若2bcos C2ccos Ba，且B2C，则ABC的形状是 ( ) A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)(2021 开封调研)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b， c，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，则ABC的形状是( ) A等腰三角形
21、B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)因为 2bcos C2ccos Ba， 所以 2sin Bcos C2sin Ccos B sin Asin(BC)，即 sin Bcos C3cos Bsin C，所以 tan B3tan C，又 B2C，所以 2tan C 1tan2C3tan C，得 tan C 3 3 ，C 6，B2C 3，A 2， 故ABC 为直角三角形故选 B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)解法一：已知等式可化为 a2sin(
22、AB)sin(AB)b2sin(A B)sin(AB)， 2a2cos Asin B2b2cos Bsin A. 由正弦定理知上式可化为 sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A， sin 2Asin 2B，由 02A2，02B2， 得 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 A 2B， ABC 为等腰三角形或直角三角形故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解法二：同解法一可得 2a2cos Asin B2b2sin Acos B a2b c2b2a2 2bc b2a a2c2b2 2ac ， a2(b2c2a2)b2(a2c2b2
23、)， 即(a2b2)(a2b2c2)0，ab 或 a2b2c2， ABC 为等腰三角形或直角三角形故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 考点三 与三角形面积有关的问题师生共研 例 3 (2019 全国卷，12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c.已知 asin AC 2 bsin A. (1)求 B； (2)若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)由题设及正弦定理得 sin Asin AC 2 sin Bsin A 因为 si
24、n A0，所以 sin AC 2 sin B 由 ABC180 ，可得 sin AC 2 cos B 2， 故 cos B 22sin B 2cos B 2. 因为 cos B 20，故 sin B 2 1 2，因此 B60 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC 3 4 a. 由正弦定理得 acsin A sin C sin120 C sin C 3 2tan C 1 2. 由于ABC 为锐角三角形，故 0 A90 ，0 C90 . 由(1)知 AC120 ， 所以 30 C90 ，故1 2a2，从而 3 8
25、SABC 3 2 . 因此，ABC 面积的取值范围是 3 8 ， 3 2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A，一般是已知哪一 个角就使用哪一个公式 (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角 的转化 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练 2 (2020 课标，18,12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.已知 B150 . (1)若 a 3c，b2 7，求A
26、BC 的面积； (2)若 sin A 3sin C 2 2 ，求 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)由题设及余弦定理得 283c2c22 3c2cos 150 . 解得 c12(舍去)，c2 2，从而 a2 3. ABC 的面积为1 22 32sin 150 3. (2)在ABC 中，A180 BC30 C， 所以 sin A 3sin Csin(30 C) 3sin Csin(30 C) 故 sin(30 C) 2 2 . 而 0 C30 ，所以 30 C45 ，故 C15 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、
27、解三角形 考点四 解三角形应用举例师生共研 (2021 济南模拟)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字， 其造型流畅别致，成了济南的标志和象征，李明同学想测量泉标的高 度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60，他又沿着泉标底 部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80.则李明同 学求出泉标的高度为_m.(精确到1 m) 例 4 38 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 如图所示，点 C，D 分别为泉标的底部和顶端 依题意，BAD60 ，CBD80 ，AB15.2 m， 则ABD100 ，故ADB180 (60 100 )20 . 在
28、ABD 中，根据正弦定理， BD sin 60 AB sin 20 . BDABsin 60 sin 20 15.2sin 60 sin 20 38.5(m) 在 RtBCD 中，CDBDsin 80 38.5sin 80 38(m)， 即泉城广场上泉标的高约为 38 m. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解三角形的实际应用问题的类型及解题策略 求距 离、 高度 问题 (1)选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角 形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在 另一确定三角形中求解有时需设出未知量，从几个三角形 中列出方程(组)，解方程(
29、组)得出所要求的量 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更 便于计算的定理 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 求角 度问 题 (1)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的 示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确 仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到 这些角 (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意 正、余弦定理的综合应用 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练3 (1)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立
30、即前往营救，同时把消息告知在甲 船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的 方向沿直线前往B处营救，则sin 的值为_. 21 7 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保 留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量 如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C， D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB 120，求A，B两点的距离 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)如图，连接 BC
31、，在ABC 中，AC10，AB20， BAC120 ，由余弦定理，得 BC2AC2AB22AB AC cos 120 700， BC10 7.再由正弦定理，得 BC sinBAC AB sin ，sin 21 7 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)作出示意图，如图，在ACD中， ACD15 ，ADC150 ， DAC15 . 由正弦定理 AC sinADC CD sinDAC， 得 AC80sin 150 sin 15 40 6 2 4 40( 6 2)， 在BCD 中，BDC15 ，BCD135 ， DBC30 ， 返回导航 高考一轮总复习 数学
32、（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 由正弦定理 CD sinCBD BC sinBDC， 可得 BCCD sinBDC sinCBD 80sin 15 1 2 40( 6 2) 在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22AC BC cosACB 1 600(84 3)1 600(84 3)21 600( 6 2)( 6 2)1 21 60020， 解得 AB80 5， A，B 两点的距离为 80 5. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 角度1 测量距离问题 如图所示，为了测量河对岸A，B两 点间的距离，在岸边定一基线
33、CD，现已测出CD a和ACD60，BCD30，BDC 105，ADC60，试求AB的长 例 5 三角形中的实际测量问题 分析 欲求AB只需解ABC，因为ACB30，所以需求AC、 BC.从而需解ACD、BCD. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 在ACD 中，已知 CDa，ACD60 ，ADC60 ，所 以 ACa. 在BCD 中，由BCD30 ，BDC105 知DBC45 ，由正 弦定理可得 BC sin 105 a sin 45 ， BCasin 105 sin 45 31 2 a. 在ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为ACB30 ，所
34、以利用余 弦 定 理 可 以 求 得A 、 B两 点 之 间 的 距 离 为AB AC2BC22AC BC cos 30 2 2 a. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 距离问题的常见类型及解法 (1)类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对 岸 (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为 求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解在解题中，首 先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求 解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理 要恰当若图中涉及到多个三角形，则先解可解三角形，借助公
35、共边、 公共角再解其它三角形从而求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 角度 2 测量高度问题 (2021 郑州模拟)如图， 一栋建筑物 AB 的高为(3010 3)米， 在该建筑的正东方向有一个通信塔 CD，在它们之间的点 M(B，M，D 三 点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15 和 60 ，在楼顶 A 处测得 塔顶 C 的仰角是 30 ，则通信塔 CD 的高为_米 例 6 60 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 在 RtABM 中，AM AB sin 15 3010 3 sin 15 3010 3
36、 6 2 4 20 6.如 图过点 A 作 ANCD 于点 N，在 RtACN 中，因为CAN30 ，所以 ACN60 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 又在 RtCMD 中，CMD60 ，所以MCD30 ，所以ACM30 ， 在AMC 中，AMC105 ，所以 AC sin 105 AM sin ACM 20 6 sin 30 ，所以 AC6020 3，所以 CN3010 3，所以 CDDNCNABCN 3010 33010 360.故填 60. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 求解高度问题的三个关注点 (1)在处
37、理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的 角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键 (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题， 这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既 清楚又不容易搞错 (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把 需要的三角形的内角表示出来而容易出现的错误是把角的含义弄错， 把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章
38、三角函数、解三角形 例 7 角度 3 角度问题 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45 方向，距 A 处( 31)海里 的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75 方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我 方缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30 方向逃窜 问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私 船？并求出所需时间 分析 根据题意在图中标注已知条件，先 使用余弦定理求BC，再使用正弦定理求角度 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截
39、获(在 D 点) 走私船，则 CD10 3t 海里，BD10t 海里，在ABC 中，由余弦定理， 有 BC2AB2AC22AB AC cos A ( 31)2222( 31)2cos 120 6， 解得 BC 6. 又 BC sin A AC sin ABC， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 sin ABCAC sin A BC 2sin 120 6 2 2 ， ABC45 ，故 B 点在 C 点的正东方向上， CBD90 30 120 ， 在BCD 中，由正弦定理，得 BD sin BCD CD sin CBD， sin BCDBD sin CBD CD
40、 10t sin 120 10 3t 1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 BCD30 ，缉私船沿北偏东 60 的方向行驶 又在BCD 中，CBD120 ，BCD30 ， D30 ，BDBC，即 10t 6，解得 t 6 10 小时15 分钟 缉私船应沿北偏东 60 的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需 要 15 分钟 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 角度问题的解题方法 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与 所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过 这一步可将实际问题转
41、化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意 体会正、余弦定理“联袂”使用的优点 提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄 清是哪一点的方向角 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练 4 (1)(角度 1)如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离，选择 山坡上一段长度为 300 3 m 且和 P，Q 两点在同一平面内的路段 AB 的 两个端点作为观测点，现测得PAB90 ，PAQPBAPBQ 60 ，则 P，Q 两点间的距离为_m. 900 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)(角度2)(2
42、021 衡水模拟)如图，为了测量河对岸 电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为 30，塔底C与A的连线同河岸成15角，小王向前走 了600 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60 角，则电视塔CD的高度为_. 300 2 m 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)(角度 3)(2021 宜昌模拟)甲船在 A 处观察乙船， 乙船在它的北偏东 60 的方向，相距 a 海里的 B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3倍， 甲船为了尽快追上乙船， 则应取北偏东_(填角度)的方向前 进 30 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三
43、角函数、解三角形 解析 (1)由已知，得QABPABPAQ30. 又PBAPBQ60，AQB30， ABBQ. 又PB为公共边，PABPQB，PQPA. 在RtPAB中，APAB tan 60900， 故PQ900， P，Q两点间的距离为900 m. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)在ACM 中， MCA60 15 45 ，AMC180 60 120 ， 由正弦定理得 AM sin MCA AC sin AMC， 即600 2 2 AC 3 2 ，解得 AC300 6. 在 RtACD 中，因为 tan DACDC AC 3 3 ， 所以 DCACtan DAC300 6 3 3 300 2(m) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)设两船在 C 处相遇， 则由题意ABC180 60 120 ，且AC BC 3， 由正弦定理得AC BC sin 120 sin BAC 3， 所以 sin BAC1 2. 又因为 0 BAC60 ，所以BAC30 . 所以甲船应沿北偏东 30 方向前进 谢谢观看
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