1、必考部分 第四第四章章 平面平面向量、数系的扩充与复数的引入向量、数系的扩充与复数的引入 第一讲 平面向量的概念及其线性运算 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点一 向量的有关概念 (1)向量：既有_又有_的量叫做向量，向量的大小叫 做向量的_(或称_) (2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_ 的，零向量记作_. (3)单位向量：长度等于_个单位的向量 大小 方向 长度 模 长度为0 任意 0 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
2、 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (4)平行向量：方向相同或_的_向量；平行向量又叫 _向量规定：0与任一向量_. (5)相等向量：长度_且方向_的向量 (6)相反向量：长度_且方向_的向量 相反 非零 共线 平行 相等 相同 相等 相反 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和 的运算 _法则 _法则 (1)交换律： ab_； (2)结合律： (ab)c _ 知识点二 向量的线性运算 三角形 平行四边形 ba a(bc) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面
3、向量、数系的扩充与复数的引入 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 向量 a 加上向量 b 的_叫 做 a 与 b 的差， 即 a (b)ab _法则 aba(b) 相反向量 三角形 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数乘 实数与向量a 的积是一个 _记作 a (1)模：|a|a| ； (2)方向： 当0时，a与a的方向 _； 当0时，a与a的方向 _； 当0时，a0 设，是实数 (1)_ ()a (2)()a _ (3)(ab) _. 向量 相同 相反 (a) aa ab 返回导航
4、高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点三 共线向量定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使_. ba 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 1零向量与任何向量共线 2与向量 a(a0)共线的单位向量a |a|. 3若存在非零实数 ，使得AB AC 或AB BC 或AC BC ，则 A， B，C 三点共线 4首尾相连的一组向量的和为 0. 5若 P 为 AB 的中点，则OP 1 2(OA OB ) 6若 a、b 不共线，且 ab，则 0. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平
5、面向量、数系的扩充与复数的引入 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量 ( ) (2)若 ab，bc，则 ac. ( ) (3)若向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反( ) (4)若向量AB 与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直 线上 ( ) (5)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组二 走进教材 2(必修 4P91A 组 T4 改编)化简AB BD
6、AC CD ( ) A.AD B0 CBC DDA B 解析 AB BD AC CD AD (AC CD )AD AD 0. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3(必修4P84T4改编)向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图 所示，向量ab等于 ( ) A4e12e2 B2e14e2 Ce13e2 D3e1e2 解析 由图可知a4e2，b(e1e2)，abe13e2，故选 C. C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 C 4(必修 4P91A 组 T3 改编)如图所示，在平行四边形 ABC
7、D 中，下列 结论中错误的是 ( ) AAB DC BAD AB AC CAB AD BD DAD CB 0 解析 由AB AD DB BD ，故 C 错误 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组三 走向高考 5(2020 新高考，3,5 分)若 D 为ABC 的边 AB 的中点，则CB ( ) A2CD CA B2CA CD C2CD CA D2CA CD A 解析 D 为ABC 的边 AB 的中点， CD 1 2(CA CB )， CB 2CD CA .故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数
8、的引入 6(2015 新课标2)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则 实数_. 解析 a、b 不平行，a2b0，由题意可知存在唯一实数 m， 使得 abm(a2b)，即(m)a(2m1)b， m0 2m10 ，解得 1 2. 1 2 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)(多选题)给出下列命题，不正确的有 ( ) A若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B若 A，B，C，D 是不共线的四点，且AB DC ，则四边形 ABCD 为平行四边形 Cab 的充要条件是|a|b|且 ab D已知 ， 为实数
9、，若 ab，则 a 与 b 共线 考点一 向量的基本概念自主练透 例 1 ACD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)若a0为单位向量，a为平面内的某个向量，下列命题中： 若a为平面内的某个向量，则a|a| a0； 若a与a0平行，则a|a|a0； 若a与a0平行且|a|1，则aa0， 假命题的个数是 ( ) A0 B1 C2 D3 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)A 错误， 两个向量起点相同， 终点相同， 则两个向量相等； 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点； B
10、正确，因为AB DC ，所以|AB |DC |且AB DC ，又 A，B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形； C 错误，当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，所 以|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件； D 错误，当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 ab，但 a 与 b 不一定共线 (2)均为假命题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 (3)平行向量就是共线向量，二者
11、是等价的；但相等向量不仅模相等， 而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相 等向量 (4)非零向量 a 与 a |a|的关系是： a |a|是 a 方向上的单位向量. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)(2021 武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则OA OB OC OD 等 于 ( ) A.OM B2OM C3OM D4OM 考点二 向量的线性运算师生共研 例 2 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
12、 (2)(2018 全国理，6)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB ( ) A.3 4AB 1 4AC B1 4AB 3 4AC C3 4AB 1 4AC D1 4AB 3 4AC A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)如图， 在OAC 中， M 为 AC 中点， 所以OA OC 2OM ， 在OBD 中，OB OD 2OM ，故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)如图，由 E 为 AD 的中点，得AE 1 2AD ， EB AB A
13、E AB 1 2AD . 又D 为 BC 的中点， AD 1 2AB 1 2AC .EB AB 1 4AB 1 4AC 3 4AB 1 4AC .故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义 (2)求已知向量的和或差一般共起点的向量求和用平行四边形法 则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则 (3)与三角形综合，求参数的值求出向量的和或差，与已知条件中 的式子比较，求得参数 (4)与平行四边形综合，研究向量的关系画出图形，找出图中的相 等向量、共线向量，
14、将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求 解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练 1 (1)已知三角形 ABC 是等边三角形，D 为 AB 的中点，点 E 满足 2CE BE 0，则AE ( ) A.2 3AB 2 3CD B2 3AB 2 3CD C2 3AB 1 3CD D1 3AB 2 3CD A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等 分点，AB a，AC b，则AD ( ) Aa1 2b B1 2ab
15、Ca1 2b D1 2ab D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)由 2CE BE 0 知CE 1 3CB ， BE 2 3BC ， 所以AE AB BE AB 2 3BC AB 2 3(BD DC ) AB 2 3 1 2AB CD 2 3AB 2 3CD . (2)连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点， 得 CDAB，且CD 1 2AB 1 2a，所以AD AC CD b1 2a. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 考点三 共线向量定理及其应用师生共研 分析 (1)利用向
16、量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共 线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线； (2)利用共线向量定理求解 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线 (1)若AB ab，BC 2a8b，CD 3(ab)，求证：A，B，D 三点 共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)证明：AB ab，BC 2a8b，CD 3(ab)， BD BC CD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab) 5AB . AB ，BD 共线， 又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线 返
17、回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)kab 与 akb 共线， 存在实数 ，使 kab(akb)， 即 kabakb. (k)a(k1)b. a，b 是不共线的两个非零向量， k0， k10， 解得 k 1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 引申 本例(2)中，若kab与akb反向，则k_；若kab 与akb同向，则k_. 解析 由本例可知kab与akb反向时0，从而k1. 1 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 平面向量共线的判定方法 (
18、1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数，使ba.要 注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数 法和方程思想的运用 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与 三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共 线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练 2 (1)(2021 济南模拟)已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(2 1)b，若 c 与 d 共线反向，则实数 的值为 ( ) A1 B1 2 C1 或1 2 D1 或1 2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高
19、考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc 与a共线，那么abc等于 ( ) Aa Bb Cc D0 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 ckd(k0)， 于是 abka(21)b， 整理得 abka(2kk)b. 由于 a，b 不共线，所以有 k， 2kk1， 整理得 2210，解得 1 或 1 2. 又因为 k0，所以 0，故 1 2.故选 B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数
20、系的扩充与复数的引入 (2)ab 与 c 共线，ab1c. 又bc 与 a 共线，bc2a. 由得：b1ca. bc1cac(11)ca2a. 110， 21， 即 11， 21. abccc0.故选 D. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (多选题)下列命题错误的是 ( ) A向量 a，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使 ba B在ABC 中，AB BC CA 0 C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立 D若向量 a，b 不共线，则向量 ab 与向量 ab 必不共线 例 4 ABC 易
21、错警示都是零向量“惹的祸” 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 易知 ABC 错误对于 D.向量 a 与 b 不共线， 向量 a，b，ab 与 ab 均不为零向量 若 ab 与 ab 共线， 则存在实数 使 ab(ab)， 即(1)a(1)b， 所以 10， 10， 此时 无解，故假设不成立， 即 ab 与 ab 不共线故 D 正确 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是 任意的，并且规定：0与任一向量平行由于零向量的特殊性，在两个 向量
22、共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判 断或结论在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结 论错误 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练 3 (多选题)下列叙述错误的是 ( ) A若非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，则 ab 与 a，b 其中之一 的方向相同 B|a|b|ab|a 与 b 的方向相同 CAB BA 0 D若 ab，则 ab ABCD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 对于 A，当 ab0 时，其方向任意，它与 a，b 的方向都 不相同；对于 B，当 a，b 中有一个为零向量时结论不成立；对于 C，因 为两个向量之和仍是一个向量， 所以AB BA 0； 对于 D， 当 0 时， a b，此时不一定有 ab. 谢谢观看
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