1、必考部分 第三章第三章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 第四讲 三角函数的图象与性质 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点一 周期函数的定义及周期的概念 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的 每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做_.非零 常数T叫做这个函数的_.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一 个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小_. (2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，_都
2、 是它们的周期，最小正周期是_. 周期函数 周期 正周期 2k(kZ，k0) 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点二 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 性质 ysin x ycos x ytan x 图象 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 函数 性质 ysin x ycos x ytan x 定义域 x|xR x|xR x|xR，且 x 2k，kZ 值域 _ _ _ y|1y1 y|1y1 R 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 函数 性质 ysin x ycos x yta
3、n x 单调性 在_， kZ 上递增； 在_， kZ 上递减 在_，k Z 上递增；在 _，k Z 上递减 在 2 k， 2k ， kZ 上递 增 22k， 22k (2k1)，2k 2k，(2k1) 22k， 3 2 2k 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 函数 性质 ysin x ycos x ytan x 最值 x_ 时，ymax1；x _ 时，ymin1 x_时， ymax1；x _时， ymin1 无最值 奇偶性 _ _ _ 2k(kZ) 2k(kZ) 奇 偶 奇 22k(kZ) 22k(kZ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三
4、角函数、解三角形 函数 性质 ysin x ycos x ytan x 对称 中心 _ _ _ 对 称 性 对称 轴 _ _ 无对称轴 最小 正周期 _ _ _ (k，0)，kZ xk，kZ 2 2 k 2，0 ，kZ k 2 ，0 ，kZ xk 2，kZ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 1函数ysin x，x0,2的五点作图法的五个关键点是 _、_、_、_、_. 函数ycos x，x0,2的五点作图法的五个关健点是 _、_、_、_、_. (0,0) (，0) (2，0) (0,1) (，1) (2，1) 2，1 3 2 ，1 2，0 3 2 ，0 返回导
5、航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 2函数 ysin x 与 ycos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或 最低点且垂直于 x 轴的直线，如 ycos x 的对称轴为 xk(kZ)，而不 是 x2k(kZ) 3对于 ytan x 不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间 (k 2，k 2)(kZ)内为增函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 题组一 走出误区 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)ysin x在第一象限是增函数 ( ) (2)正切函数ytan x在定义域内是增函数 ( ) (3)ysin |x|是
6、周期为的函数 ( ) (4)ycos x，x(0,4)不是周期函数 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (5)由 sin 6 2 3 sin 6知， 2 3 是正弦函数 ysin x(xR)的一个周 期 ( ) (6)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 题组二 走进教材 2(必修 4P45T3 改编)函数 ytan 2x 的定义域是 ( ) A. x xk 4，kZ B x xk 2 8，kZ C x xk 8，kZ D x xk 2 4，kZ D 解析
7、由 2xk 2，kZ，得 x k 2 4，kZ，所以 ytan 2x 的定义域为 x xk 2 4，kZ . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 3(必修 4P40T4 改编)下列关于函数 y4sin x，x，的单调性 的叙述，正确的是 ( ) A在，0上是增函数，在0，上是减函数 B在 2， 2 上是增函数，在 ， 2 及 2， 上是减函数 C在0，上是增函数，在，0上是减函数 D在 2， 及 ， 2 上是增函数，在 2， 2 上是减函数 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 函数 y4sin x 在 ， 2 和 2
8、， 上单调递减，在 2， 2 上单调递增故选 B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 4(必修 4P38T3 改编)函数 y32cos x 4 的最大值为_，此时 x_. 5 解析 函数 y32cos x 4 的最大值为 325， 此时 x 4 2k，kZ，即 x3 4 2k(kZ) 3 4 2k(kZ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 题组三 走向高考 5(2020 天津，8,5 分)已知函数 f(x)sin x 3 .给出下列结论： f(x)的最小正周期为 2； f 2 是 f(x)的最大值； 把函数 ysin x
9、的图象上所有点向左平移 3个单位长度，可得到函 数 yf(x)的图象 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 其中所有正确结论的序号是 ( ) A B C D B 解析 函数 f(x)sin x 3 的最小正周期 T2 1 2，正确；易知 f 6 sin 21，f 2 sin 2 3 sin 5 6 1 21，错误；把函数 ysin x 的图象上所有点向左平移 3个单位长度，得到的是函数 ysin x 3 的图 象，正确综上，正确，错误故选 B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 6(2019 全国卷，5 分)下列函数中，以 2
10、为周期且在区间 4， 2 上 单调递增的是 ( ) Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x| Cf(x)cos |x| Df(x)sin |x| A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 A 中，函数 f(x)|cos 2x|的周期为 2，当 x 4， 2 时，2x 2， ，函数 f(x)单调递增，故 A 正确；B 中，函数 f(x)|sin 2x|的周期为 2，当 x 4， 2 时，2x 2， ，函数 f(x)单调递减，故 B 不正确；C 中， 函数 f(x)cos |x|cos x 的周期为 2，故 C 不正确；D 中，f(x)sin |
11、x| sin x，x0， sin x，x0， 由正弦函数图象知， 在 x0 和 x0，函数 f(x)sin x 4 在 2， 上单调递 减，则 的取值范围是 ( ) A. 1 2， 5 4 B 1 2， 3 4 C 0，1 2 D(0,2 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)ycos 2x 3 cos 2x 3 ， 由 2k2x 32k(kZ)， 得 k 6xk 2 3 (kZ) 即所求单调递减区间为 k 6，k 2 3 (kZ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 y3tan 6 x 4 3tan x 4 6
12、 ， 由 k 2 x 4 6k 2，解得 4k 4 3x4k 8 3(kZ) 函数的单调递减区间为 4k4 3，4k 8 3 (kZ) 画图知单调递减区间为 k 4，k 4 (kZ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)由 2x 得 2 4x 40) 的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如 果0， a 4， 解得 00)的最小正周期为 ， 则该函数的图象 ( ) A关于点 3，0 对称 B关于直线 x 4对称 C关于点 4，0 对称 D关于直线 x 12对称 例 5 AD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三
13、角形 解析 由 T 知 2 T 2 2， 所以函数 f(x)sin 2x 3 . 函数 f(x)的对称轴满足 2x 3 2k(kZ)，解得 x 12 k 2 (kZ)； 函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x 3k(kZ)， 解得 x 6 k 2 (kZ)故选 A、D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为 yAsin(x )或 yAcos(x)或 yAtan(x)(A， ， 为常数， A0)的形式， 再分别应用公式 T 2 |或 T |求解 (2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与
14、 性质，对 yAsin(x)代入 x0，若 y0 则为奇函数，若 y 为最大或 最小值则为偶函数若 yAsin(x)为奇函数，则 k(kZ)，若 y Asin(x)为偶函数，则 2k(kZ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)求函数 yAsin(x)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方 程问题 ysin x 的对称中心是(k，0)，(kZ)， yAsin(x)的对称中心，由方程 xk 解出 xk ， 故对称中心为 k ，0 (kZ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 ysin x 的对称轴是 xk 2，kZ， xk
15、2解出 x k 2 ，即 x k 2 为函数 y Asin(x)的对称轴方程 函数 f(x)Asin(x)(A， 为常数，A0)图象的对称轴一定 经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因 此在判断直线 xx0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时， 可 通过检验 f(x0)的值进行判断 (4)注意 ytan x 的对称中心为 k 2 ，0 (kZ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练 2 (1)(角度 1)(2018 课标全国，6)函数 f(x) tan x 1tan2x的最小正周期为 ( ) A. 4 B 2 C
16、D2 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)(角度 2)(多选题)下列函数中，最小正周期为 的奇函数是( ) Aysin 2x 2 Bycos 2x 2 Cysin 2xcos 2x Dysin 2x 4 cos 2x 4 (3)(角度 3)(2018 江苏)已知函数 ysin(2x) 2 2 的图象关于 直线 x 3对称，则 的值是_. BD 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)本题考查三角函数的周期 解法一：f(x)的定义域为 x xk 2，kZ . f(x) sin x cos x 1 sin x
17、 cos x 2sin x cos x 1 2sin 2x， f(x)的最小正周期 T2 2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解法二：f(x) tanx 1tan2x tan x 1tan2xf(x)， 是 f(x)的周期 f x 2 tan x 2 1tan2 x 2 ， 而 tan x 2 sin x 2 cos x 2 cos x sin x 1 tan x， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 f x 2 tan x 1tan2xf(x)， 2不是 f(x)的周期， 4也不是 f(x)的周期故选 C. 返回导航
18、 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)ysin 2x 2 cos 2x 是偶函数，不符合题意ycos 2x 2 sin 2x 是 T 的奇函数， 符合题意， 同理 C 不是奇函数， D 为 y 2sin 2x， 故选 B、D. (3)由题意可得 sin 2 3 1，所以2 3 2k， 6k(k Z)，因为 2 2，所以 k0， 6.故填 6. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (1)函数 y2sin x1 sin x2 的值域为_. (2)函数 f(x)2sin xsin x 6 ，当 x 0，
19、2 时，函数 f(x)的值域为 _. (3)函数 y 1sin x 3cos x的值域为_. 例 6 三角函数的值域与最值 3，1 3 0，2 3 2 0，3 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (4)若 x 是三角形的最小内角， 则函数 ysin xcos xsin xcos x 的最 小值是 ( ) A1 2 2 B1 2 2 C1 D 2 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)解法一：y2sin x1 sin x2 2 5 sin x2， 由于1sin x1，所以5 5 sin x2 5 3， 函数的值
20、域为 3，1 3 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解法二：由 y2sin x1 sin x2 ，解得 sin x2y1 y2 ， 1sin x1， 12y1 y2 1，解得3y1 3， 函数的值域为 3，1 3 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)f(x)2sin x 3 2 sin x1 2cos x 3sin 2xsin xcos x 31cos 2x 2 sin 2x 2 sin 2x 3 3 2 ， x 0， 2 ，2x 3 3， 2 3 ， sin 2x 3 3 2 ，1 . f(x) 0，2 3
21、2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)解法一：由 y 1sin x 3cos x得 sin xycos x3y1， sin(x) 3y1 1y2 其中 sin y 1y2，cos 1 1y2. 3y1 1y2 1，解得 0y3 4. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解法二： 1sin x 3cos x可理解为点 P(cos x，sin x)与点 C(3,1)连线的斜 率，点 P(cos x，sin x)在单位圆上，如图所示 故 t 1sin x 3cos x满足 kCAtkCB，设过点 C(3,1)的 直线方程
22、为 y1k(x3)，即 kxy13k0. 由原点到直线的距离不大于半径 1，得 |13k| k211，解得 0k 3 4.从 而值域为 0，3 4 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (4)由条件知 0 x 3， 令 tsin xcos x 2sin x 4 ， 又 0 x 3， 4x 4 7 12，得 1t 2； 又 t212sin xcos x，得 sin xcos xt 21 2 ， 得 ytt 21 2 1 2(t1) 21，则1 2 2y1， 所以函数的最小值为1 2 2.故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解
23、三角形 求三角函数值域或最值的方法 (1)yasin xb(或 yacos xb)的值域为|a|b，|a|b (2)yasin2xbcos xc 可转化为关于 cos x 的二次函数， 求在给定区 间上的值域(或最值)即可 (3)yasin2xbsin xcos xc cos2x 利用二倍角公式 降幂整理 yAsin 2xBcos 2x 辅助角 公式 y A2B2sin(2x)，再利用 sin(2x)的有界性求解，注意 2x 的取值范围 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (4)yasin xb csin xd(或 y acos xb ccos xd)可反解出
24、 sin xf(y)(或 cos xf(y) 由正、余弦函数的有界性(|f(y)|1)求解；y asin xb ccos xd可根据式子的几何 意义用数形结合方法求解，或化为 sin(x) ydb a2yc2利用三角函数的 有界性求解 (5)yf(sin x cos x，sin x cos x)常用换元法，令 tsin x cos x 2 sin(x 4)，则 cos xsin x t21 2 或1t 2 2 ，可化为关于 t 的二次函数在某区 间上的值域或最值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练 3 (1)函数 f(x)sin2x 3cos x3
25、4 x 0， 2 的最大值是_. (2)(2021 黑龙江宜春二中月考)函数 y 1 2sin xcos x的最大值是 ( ) A. 2 2 1 B 2 2 1 C1 2 2 D1 2 2 1 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)(2021 云南调研)函数ysin xcos xsin xcos x的值域是 _. 1 2 2，1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)依题意， f(x)sin2x 3cos x3 4cos 2x 3cos x1 4 cos x 3 2 21， 因为 x 0， 2 ，所以 cos
26、 x0,1， 因此当 cos x 3 2 时，f(x)max1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)y 1 2 2sin x 4 ， 2 22 2sin x 4 2 2， y 1 2 21 2 2 ，故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)设 tsin xcos x，则 t212sin xcos x， sin xcos x1t 2 2 ，且 2t 2， yt 2 2t 1 2 1 2(t1) 21. 当 t1 时，ymax1，当 t 2时，ymin1 2 2. 函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为 1 2 2，1 . 谢谢观看
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