1、必考部分 第二章 函数、导数及其应用 第十讲 函数模型及其应用 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点 函数模型及其应用 1几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a，b为常数，a0) 反比例函数模型 f(x)k xb(k，b为常数且k0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 函数模型 函数解析式 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0) 指数函数模型 f(x)baxc(a，
2、b，c为常数，b0，a0且a1) 对数函数模型 f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1) 幂函数模型 f(x)axnb(a，b为常数，a0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 递增 2三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0，) 上的增减性 单调_ 单调_ 单调递增 增长速度 越来越_ 越来越_ 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与_ 平行 随x的增大逐渐表 现为与_ 平行 随n值变化而各有 不同 值的比较 存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0，b0，x0)在区间(0，
3、 ab内单调递减，在 区间 ab，)内单调递增 2直线上升、对数缓慢、指数爆炸 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大 ( ) (2)“指数爆炸”是指数型函数ya bxc(a0，b0，b1)增长速 度越来越快的形象比喻 ( ) (3)幂函数增长比直线增长更快 ( ) (4)不存在x0，使ax0 xa 0logax0. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)当x1时，2 11，a0的指数型函数g(x)ab
4、xc. (3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢， 题目说的太绝对，也没有任何条件限制 (4)当a(0，1)时存在x0，使ax0 xa 0logax0. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组二 走进教材 2(必修1P107BT1改编)某工厂一 年中各月份的收入、支出情况的统计 图如图所示，则下列说法中错误的是 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 A收入最高值与收入最低值的比是31 B结余最高的月份是7月 C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D前6个月的平均收入为40万元 答
5、案 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 D 3(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y 0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是 ( ) Ay2x Byx21 Cy2x2 Dylog2x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x 2.01，y0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y log2x，可知满足题意，故选D. 返回导航
6、高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 4(必修1P104例5改编)某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y alog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( ) A200只 B300只 C400只 D500只 解析 繁殖数量y只与时间x年的关系为yalog3(x1)，这种动 物第2年有100只， 100alog3(21)，a100，y100log3(x1)， 当x8时，y100log3(81)1002200.故选A. A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 18 5(必修1P107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费
7、用称为生产成 本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x) 1 2 x22x 20(万元)一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生 产该商品数量为_万件 解析 利润L(x)20 xC(x)1 2(x18) 2142， 当x18时，L(x)有最大值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 C 题组三 走向高考 6(2020 全国，4)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流 行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例 数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t) K 1e 0.23（t53），其中K
8、为最大 确诊病例数当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19 3) ( ) A60 B63 C66 D69 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 本题以Logistic模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运 算由题意可得I(t*) K 1e0.23（t*53） 0.95K，化简得e0.23(t* 53) 1 19，即0.23(t *53)ln 19，所以t*ln 19 0.23 53 3 0.235366.故 选C. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考向1 利
9、用函数图象刻画实际问题的变化过程自主练透 考点 函数模型及应用 例 1 (1)(2017 全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提 高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游 客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 根据该折线图，下列结论错误的是 ( ) A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小， 变化比较平稳 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其
10、应用 (2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年 中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中A点表示十月的平 均最高气温约为15 ，B点表示四月的平均最低气温约为5 .下面叙述 正确的是 ( ) A各月的平均最低气温都在0 以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于20 的月份有5个 ABC 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最 后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所 示若图中PQ为一线段，则与之对
11、应的容器的形状是 ( ) B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年 是递增的，所以B正确从图观察C是正确的，D也正确，1月至6月比较 平稳，7月至12月波动比较大故选A. (2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 以上，A正确；七月的 平均温差约为10 ，而一月的平均温差约为5 ，故B正确；三月和十 一月的平均最高气温都在10 左右，基本相同，C正确；平均最高气温 高于20 的月份只有2个，D错误故选A、B、C. (3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象 的变化先慢后快，所以容器
12、下边粗，上边细再由PQ为线段，知这一段 是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A、C、D，选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小 等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻 合即可 2判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模 型，再结合模型选图象 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时
13、，则根据实际问题中两 变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排 除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考向2 已知函数模型解决实际问题师生共研 2 292 例 2 (2020 北京十一中月考)已知14C的半衰期为5 730年(是指经 过5 730年后，14C的残余量占原始量的一半)设14C的原始量为a，经过x 年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系为bae kx，其中x表示经 过的时间，k为一个常数现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的 残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉
14、墓修建距今约 _年(参考数据：log20.7670.4) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 由题意可知，当x5 730时，ae 5 730k1 2a，解得k ln 2 5 730 . 现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%. 所以76.7%e ln 2 5 730 x，得ln 0.767 ln 2 5 730 x， x5 730ln 0.767 ln 2 5 730log2 0.7672 292. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练1 (2020 山西太原模拟)某公司为了业务发
15、展，制定了一项激励销售人 员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖 励4万元，若公司拟定的奖励模型为yalog4xb(其中x为销售额，y为相 应的奖金)某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为_万 元 1 024 解析 依题意得 alog48b1， alog464b4，即 3 2ab1， 3ab4， 解得 a2， b2. 所以y2log4x2，当y8时，有2log4x28，解得x1 024. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考向3 构建函数模型解决实际问题多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型 例 3 某校学生研究学习
16、小组发现，学生上课的注意力指标随着 听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学 生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散， 设f(t)表示学生注意力指标 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意 力越集中)如下： f(t) 100a t 1060（0t10）， 340（10t20）， 15t640（200且a1) 若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a的值； (2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？
17、并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多 长？ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)由题意得，当t5时，f(t) 140， 即100 a 5 1060140，解得a4. (2)因为f(5)140，f(35)1535640115，所以f(5)f(35)，故上 课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中 (3)当0t10时，由(1)知，f(t)100 4 t 1060140，解得5t10； 当10140恒成立； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 当20t40时，f(t)15t6
18、40140，解得200)模型及应用 (2021 烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进 行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元在年产量不足8 万件时，W(x)1 3x 2x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)6x100 x 38(万元)每件产品售价为5元通过市场分析，小王生产的商品当年 能全部售完 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年 利润年销售收入固定成本流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在
19、这一商品的生产中所获利润最大？ 最大利润是多少？ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得： 当0 x8时，L(x)5x 1 3x 2x 31 3x 24x3. 当x8时，L(x)5x 6x100 x 38 335 x100 x . 所以L(x) 1 3x 24x3，0 x8， 35 x100 x ，x8. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)当0 x8时，L(x)1 3(x6) 29， 此时，当x6时，L(x)取得最大值L(6)9(万元) 当x
20、8时，L(x)35 x100 x 352x100 x 352015(万 元) 此时，当且仅当x100 x ，即x10时，L(x)取得最大值15万元 因为915，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所 获利润最大，最大利润为15万元 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域 (2)利用模型f(x)ax b x 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条 件 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练3 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室、在矩形温室 内，沿左、右两
21、侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地当矩形温室的边长各为_时，蔬菜的种植面积 最大？最大面积是_. 40 m，20 m 648 m2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 设矩形温室的左侧边长为x m，则后侧边长为800 x m，所以 蔬菜种植面积y(x4) 800 x 2 8082 x1 600 x (4x400) 因为x1 600 x 2x1 600 x 80，所以y808280648. 当且仅当x1 600 x ，即x40时取等号，此时800 x 20，ymax648. 即当矩形温室的相邻边长分别为40 m，20 m时，蔬菜的种植面积最 大，最大面积是648 m2. 谢谢观看
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