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    2022版新高考数学人教版一轮课件:第2章 第9讲 函数与方程

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    2022版新高考数学人教版一轮课件:第2章 第9讲 函数与方程

    1、必考部分 第二章 函数、导数及其应用 第九讲 函数与方程 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 知识点一 函数的零点 1函数零点的定义 对于函数yf(x)(xD),把使_成立的实数x叫做函数y f(x)(xD)的零点 注:函数的零点不是点是函数f(x)与x轴交点的横坐标,而不是y f(x)与x轴的交点 f(x)0 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 2几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数 yf(x)

    2、有_ 3函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并 且有_,那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a, b),使得_,这个c也就是方程f(x)0的根 x轴 零点 f(a)f(b)0 f(c)0 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 知识点二 二分法 1对于在区间a,b上连续不断且_的函数yf(x),通过 不断地把函数f(x)的零点所在的区间_,使区间的两个端点逐步 逼近_,进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间a,b,验证

    3、f(a) f(b)0,给定精确度; (2)求区间(a,b)的中点c; f(a)f(b)0 一分为二 零点 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (3)计算f(c); 若f(c)0,则c就是函数的零点; 若f(a) f(c)0,则令bc (此时零点x0(a,c); 若f(c) f(b)0,则令ac (此时零点x0(c,b) (4)判断是否达到精确度,即:若|ab|,则得到零点近似值a(或 b);否则重复(2)(3)(4) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 1有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,

    4、则f(x)至多有一个 零点 (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变 号 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (4)由函数yf(x)在闭区间a,b上有零点不一定能推出f(a) f(b)0, 如图所示所以f(a) f(b)0是yf(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必 要条件事实上,只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时,函数值 才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号 (5)若函数f(x)在a,b上单调,且f(x)的图象是连续不断的一条曲 线,则f(a) f(b)0)的图象与零

    5、点的关系 0 0 0 二次函数yax2 bxc(a0)的 图象 与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个零点 一个零点 无零点 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 ( ) (2)二次函数yax2bxc(a0)在当b24ac0时没有零点 ( ) (3)函数yf(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a) f(b)0,则f(x)在(a,b)内 没有零点 ( ) (5)函数y2x与yx2只有两个交点

    6、 ( ) 解析 (1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标 (2)当b24ac0. (4)若在区间a,b内有多个零点,f(a) f(b)0也可以 (5)yx2与y2x在y轴左侧一个交点,y轴右侧两个交点,如在x2和 x4处都有交点 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 B 题组二 走进教材 2(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下 对应值表: x 1 2 3 4 5 f(x) 4 2 1 4 7 在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为 ( ) A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 返回导航 高考一轮总复习

    7、数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 由所给的函数值的表格可以看出,x2与x3这两个数字 对应的函数值的符号不同,即f(2) f(3)0, f(1) f(2) f(4)0,则下列命题正确的是 ( ) A函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B函数f(x)在区间(1,2)内有零点 C函数f(x)在区间(0,2)内有零点 D函数f(x)在区间(0,4)内有零点 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (2)(2021 开封模拟)函数f(x)xln x3的零点所在的区间为( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) (3)(多选题)若abc

    8、,则函数f(x)(xa)(xb)(xb) (xc)(x c)(xa)的零点位于区间可能为 ( ) A(,a) B(a,b) C(b,c) D(c,) C BC 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)因为f(1) f(2) f(4)0,所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小 于0. 若f(1)0,则在(0,1)内有零点,在(0,4)内必有零点; 若f(2)0,则在(0,2)内有零点,在(0,4)内必有零点; 若f(4)0,则在(0,4)内有零点故选D. (2)解法一:利用零点存在性定理 因为函数f(x)是增函数,且f(2)ln 210,所以由零

    9、 点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故选C. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解法二:数形结合 函数f(x)xln x3的零点所在区间转化为 g(x)ln x,h(x)x3的图象的交点横坐标所在 范围如图所示,可知f(x)的零点在(2,3)内 (3)易知f(a)(ab)(ac),f(b)(bc) (ba),f(c)(ca)(c b)又ab0,f(b)0,又该函数是二次函数,且图象 开口向上,可知两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选B、C. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 确定函数零点所

    10、在区间的方法 (1)解方程法:当对应方程f(x)0易解时,可先解方程,然后再看求 得的根是否落在给定区间上 (2)利用函数零点的存在性定理:首先看函数yf(x)在区间a,b上 的图象是否连续,再看是否有f(a) f(b)0 的零点个数为( ) A3 B2 C7 D0 (2)已知f(x) |lg x|,x0, 2|x|,x0, 则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数为 _ 5 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)解法一:(直接法)由f(x)0得 x0, x2x20或 x0, 1ln x0, 解得x2或xe. 因此函数f(x)共有2个零点 解法二:

    11、(图象法)函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2 个零点 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (2)令2f2(x)3f(x)10,解得f(x)1或f(x)1 2,作出f(x)的简图: 由图象可得当f(x)1或f(x) 1 2 时,分别有3个和2个交点,则关于x 的函数y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为5. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 函数零点个数的判定有下列几种方法 (1)直接求零点:令f(x)0,如果能求出解,那么有几个解就有几个 零点 (2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在a,b上是连

    12、续的 曲线,且f(a) f(b)0, 则函数yf(x)3x的零点个数是 ( ) A0 B1 C2 D3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 C (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)exx3,则 f(x)的零点个数为 ( ) A1 B2 C3 D4 (3)(2020 河南名校联考)函数f(x) |log2x|,x0, 2x,x0, 则函数g(x) 3f(x)28f(x)4的零点个数是 ( ) A5 B4 C3 D6 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)由已知得yf(x)3x x2x,x0,

    13、 11 x3x,x0. 令x2x0,解得x0或x1.令1 1 x 3x0(x0)可得3x2x1 0.因为1120,所以方程3x2x10无实根所以yf(x)3x 的零点个数是2. (2)f(x)exx3在(0,)上为增函数,f 1 2 e 1 2 5 2 0,f(x)在(0,)上只有一个零点,由奇函数性质得f(x)在(, 0)上也有一个零点,又f(0)0,所以f(x)有三个零点,故选C. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (3)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系 函数g(x)3f(x)28f(x)43f(x)2f(x)2的零点,即方程f(x) 2 3和f(

    14、x)2的根 函数f(x) |log2x|,x0, 2x,x0 的图象如图所示, 由图可得方程f(x)2 3和f(x)2共有5个根, 即函数g(x)3f(x)28f(x)4有5个零点 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 考向3 函数零点的应用多维探究 角度1 与零点有关的比较大小 D 例 3 已知函数f(x)2xx,g(x)xlog 1 2 x,h(x)log2xx 的 零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系为 ( ) Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx1x3x2 Dx3x2x1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及

    15、其应用 解析 由f(x)2xx0,g(x)xlog 1 2 x0,h(x)log2xx 0,得2xx,xlog 1 2 x,log2xx,在平面直角坐标系中分别作出y 2x与yx的图象;yx与ylog1 2x的图象;ylog2x与y x的图象,由 图可知:1x10,0 x21.所以x3x2x1. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 角度2 已知函数的零点或方程的根求参数 C 例 4 (2018 全国)已知函数f(x) ex,x0, ln x,x0, g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ( ) A1,0) B0,) C1,) D1,)

    16、 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 令h(x)xa,则g(x)f(x) h(x)在同一坐标系中画出yf(x),yh(x)图 象的示意图,如图所示若g(x)存在2个零点, 则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点 由图知a1,a1. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 1比较零点大小常用方法: (1)确定零点取值范围,进而比较大小; (2)数形结合法 2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数 范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成

    17、求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函 数的图象,然后观察求解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 B 变式训练2 (1)(角度1)(2021 安徽蚌埠月考)已知函数f(x)3xx,g(x)log3x x,h(x)x3x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系为( ) Aabc Bacbc Dcab 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 D (2)(角度2)(2021 杭州学军中学月考)已知函数f(x) 2xa,x0, 2x1,x0 (aR),若函数f(x)在R上有两个零点

    18、,则a的取值范围是 ( ) A(,1) B(,1 C1,0) D(0,1 分析 (1)解法一:依据零点存在定理,确定a,b,c所在区间,进 而比较大小;解法二:分别作出y3x、ylog3x、yx3与yx的图 象,比较其交点横坐标的大小即可 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)解法一:f(1)3 11 2 3 , f(0)1,a 2 3,0 ,又g 1 3 log3 1 3 1 3 2 3,g(1)1,b 1 3,1 ,显然c0,acb, 故选B. 解法二:数形结合法,在同一坐标系中分别作出y3x、ylog3x、y x的图象,结合图象及c0可知ac0

    19、,a0,c0时,f(x)2x1, 由f(x)0得x1 2, 要使f(x)在R上有两个零点, 则必须2xa0在(,0上有解 又当x(,0时,2x(0,1 故所求a的取值范围是(0,1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 考点二 二分法及其应用自主练透 (0,0.5) 例 5 (1)用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时,第一次经 计算f(0)0,可得其中一个零点x0_,第二次应计算 _ (2)在用二分法求方程x32x10的一个近似解时,现在已经将根 锁定在区间(1,2)内,则下一步可判定该根所在的区间为_ f(0.25) 3 2,2 返回导航 高考一轮总复习

    20、 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (3)在用二分法求方程x22的正实数根的近似解(精确度0.001)时,若 我们选取初始区间是1.4,1.5,则要达到精确度要求至少需要计算的次 数是_ 7 解析 (1)因为f(0)0,由二分法原理得一个零点x0(0, 0.5);第二次应计算f 00.5 2 f(0.25) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (2)区间(1,2)的中点x0 3 2,令f(x)x 32x1,f 3 2 27 8 40,则根所在区间为 3 2,2 . (3)设至少需要计算n次,由题意知 1.51.4 2n 100.由26 64,2712

    21、8,知n7. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 1用二分法求函数零点的方法:定区间,找中点,中值计算两边 看,同号去,异号算,零点落在异号间周而复始怎么办?精确度上来 判断 2利用二分法求近似解需注意的问题 (1)在第一步中:区间长度尽量小;f(a),f(b)的值比较容易计算 且f(a) f(b)0 ,若函 数g(x)f(x)a恰有三个互不相同的零点x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围 是 ( ) A 1 32,0 B 1 16,0 C 0, 1 32 D 0, 1 16 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 解法

    22、一:显然x0时,2xa,有一根不妨记为x1,则x1 a 2 (a0),当x0时x2xa即x2xa0有两个不等正根,不妨 记为x2,x3,则14a0,即a 1 4 ,从而a2 1 16,0 且x2x3 a.x1x2x3a 2 2 1 32,0 ,故选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解法二:作出yf(x)及ya的图象,显然0a 1 4 ,不妨设x1x2x3显 然x10,x30,x1x2x30. 若f(x) a(aR)有四个不等实根,则所有实根之积的取值范围是 ( ) A(,1) B0,1) C(0,1) D(1,) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 本题考查已知方程根的个数求根的乘积的取值范围 设四个根依次为x1,x2,x3,x4(x1x2x3x4), 则2x11,1x20,x1x22, 由|lg x3|lg x4|, 得lg x3lg x4, 则lg x3lg x4lg(x3x4)0, x3x41,x1x2x3x4x1x2(2x2)x2(x21)210,1) 故选B. 谢谢观看


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