1、必考部分 第二章 函数、导数及其应用 第五讲 幂函数与二次函数 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 x|x0 知识点一 幂函数 函数 yx yx2 yx3 yx1 2 yx 1 图象 定义域 R R R _ _ x|x0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 值域 R _ R _ _ 奇偶性 _ 函数 _ 函数 _ 函数 _ 函数 _ 函数 单调性 在R上单 调递增 在_ 上单调递减， 在_ 上单调递增 在R上 单调递 增 在_ 上
2、单调递增 在_ 和_ 上单调递减 公共点 _ y|y0 y|y0 y|y0 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (，0) (0，) 0，) (，0) (0，) (1，1) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点二 二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0，且0” (2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0，且0” 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)yx0的图象是一条
3、直线 ( ) (2)幂函数的图象不可能出现在第四象限 ( ) (3)若幂函数yxn是奇函数，则yxn是增函数 ( ) (4)二次函数yax2bxc(xR)不可能是奇函数 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (5)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb 2 4a . ( ) (6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 2 题组二 走进教材 2(必修1P79T1改编)(此题为更换后新题)若幂函数y(m23m 9)xm2m6的图象不经过原点，则实数m的值为_ 解析
4、 由 m23m91， m2m60， 解得m2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 2(必修1P79T1改编)(此题为发现的重题，更换新题见上题)若幂函 数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为 _ 1或2 解析 由 m23m31， m2m20， 解得m1或m2. 经检验m1或m2都适合 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (0，) 3(必修1P39BT1改编)已知幂函数yf(x)的图象过点 2， 2 2 ，则此 函数的解析式为_，在区间_上单调递减 yx1 2 解析 f(x)的图象过点 2， 2 2 ，
5、2 2 2 21 2， 1 2，f(x)x 1 2. 由f(x)的图象可知，f(x)的减区间是(0，) 4(必修1P44AT9改编)二次函数yf(x)满足f(1)f(3)，x1，x2是方 程f(x)0的两根，则x1x2_ 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1 题组三 走向高考 5(2018 上海，7，5分)已知 2，1，1 2， 1 2，1，2，3 .若 幂函数f(x)x 为奇函数，且在(0，)上递减，则_ 解析 本题主要考查幂函数的图象和性质 幂函数f(x)x 为奇函数，可取1，1，3， 又f(x)x 在(0，)上递减，0，故1. 返回导航 高考一轮总
6、复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 B 6(2017 浙江卷，5)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值 是M，最小值是m，则Mm ( ) A与a有关，且与b有关 B与a有关，且与b无关 C与a无关，且与b无关 D与a无关，且与b有关 解析 f(x) xa 2 2a 2 4 b，当0a 21时，f(x)minmf a 2 a2 4 b，f(x)maxMmaxf(0)，f(1)maxb，1ab，Mm max a2 4 ，1aa 2 4 与a有关，与b无关；当 a 2 1时，f(x) 在0，1上单调递减，Mmf(0)f(1)1a与a有关，与b无 关综上所述，Mm与a有关，但与
7、b无关，故选B. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点一 幂函数图象与性质自主练透 C 例 1 (1)(2021 河北衡水武邑中学高三上第一次调研)已知幂函数 yf(x)的图象，经过点(2，2 2)，则幂函数的解析式为( ) Ay2x 1 2 Byx 1 2 Cyx 3 2 Dy1 2x 5 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象 如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 ( ) Adcba Babcd Cdcab Dabd
8、c B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 B (3)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称， 且在(0，)上是减函数，则n的值为 ( ) A3 B1 C2 D1或2 (4)若(a1) 1 2a1 a10 ，解得1a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2 bxc的开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而 b 2a 0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排 除B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 二次函数图象的识别方法 二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标 轴的
9、交点等方面识别 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度2 利用二次函数的图象和性质求最值 4 例 4 已知f(x)x22x5. (1)若xR，则函数f(x)的最小值为_； (2)若x1，2，则函数f(x)的最小值为_，最大值为 _； (3)若xt，t1，则函数f(x)的最小值为_ 4 8 t22t5，t1， 4，0t1， t24，t0. 分析 对于(1)(2)直接利用二次函数的图象性质求解；对于(3)由于 函数f(x)的对称轴确定为x1，但函数的定义域不确定，因此解题时要以 定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第
10、二章 函数、导数及其应用 解析 (1)f(x)x22x5(x1)244， f(x)的最小值为4. (2)f(x)的对称轴为x1，又11，2， f(x)minf(1)4，由二次函数的图象知，f(x)在1，1上单调递 减，在1，2上单调递增 又f(1)(1)22(1)58，f(2)222255， f(x)max8，f(x)min4. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)f(x)的对称轴为x1. 当t1时，f(x)在t，t1上单调递增， f(x)minf(t)t22t5， 当t1t1即0t1时，f(x)在t，1上单调递减，在1，t1上单调 递增，f(x)min
11、f(1)12254. 当t11即t0，f(x)在t，t1上单调递减，f(x)minf(t1)t24. f(x)min t22t5，t1， 4，0t1， t24，t0. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 引申在(3)的条件下，求f(x)的最大值 解析 当tt1 2 1即t1 2时f(x)最大值为f(t1)t 24 当tt1 2 1，即t1 2时f(x)最大值为f(t)t 22t5. 综上所述，f(x)max t24 t1 2 ， t22t5 t0，则yminc，若xR，a0，则ymaxc.当定义域不 是R时，常见的题型有三种：(1)区间确定，对称轴确定，此类题
12、型只需 结合二次函数便可求出最值；(2)区间确定，对称轴变化(含参)；(3)对称 轴确定，区间不确定(含参)(2)(3)两类问题，通常要把 b 2a 与区间端 点、中点比较，分类求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度3 二次函数中的恒成立问题 (，1) 例 5 (1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都 有f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_ 2 2 ，0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有 f(x)0， 则有 f（m）0， f（
13、m1）0， 即 m2m210， （m1）2m（m1）10， 解得 2 2 m2xm等价于x2x12xm， 即x23x1m0， 令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1，1上恒 成立， 只需使函数g(x)x23x1m在1，1上的最小值大于0即可， g(x)x23x1m在1，1上单调递减，g(x)ming(1)m 1. 由m10，得m2xm等价于m1， 所以g(x)在区间1，1上递减， 则g(x)在区间1，1上的最小值为g(x)ming(1)1，所以m1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(，1) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 二次函数中恒成立
14、问题的求解思路 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，分类求 解 (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关 键是看参数是否能分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立a f(x)max，af(x)恒成立af(x)min. 注：af(x)有解af(x)min，af(x)有解af(x)max. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 ABD 变式训练2 (1)(多选题)(角度1)设b0，二次函数yax2bxa21的图象为下 列之一，则a的值为 ( ) A1 5 2 B1 5 2 C1 D1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
15、 第二章 函数、导数及其应用 D (2)(角度2)已知f(x)4x24ax4aa2在0，1内的最大值为 5，则a的值为 ( ) A5 4 B1或5 4 C1或5 4 D5或5 4 (3)(角度3)(2021 石家庄模拟)设函数f(x)ax22x2，对于满足 1x0，则实数a的取值范围为_ 1 2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)当b0时，对称轴为y轴，a1 5 2 时开口向下，a2 10，A正确a 1 5 2 时开口向上，a210时，对 称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a0，所以二 次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a
16、210，a 1，又a0， 所以a1.故选A、B、D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)f(x)4 xa 2 24a，对称轴为直线xa 2. 当a 21，即a2时，f(x)在0，1上递增， f(x)maxf(1)4a2. 令4a25，得a 1(舍去) 当0a 21，即0a0，即ax22x20，x(1，4)，得a 2 x2 2 x 在 (1，4)上恒成立 令g(x) 2 x2 2 x2 1 x 1 2 21 2， 1 x 1 4，1 ，所以g(x)maxg(2) 1 2， 所以要使f(x)0在(1，4)上恒成立，只要a1 2即可 返回导航 高考一轮总复习
17、 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解法二：当a0时，f(x)2x2， 显然f(4)6，不合题意，a0 当a0时，二次函数f(x)开口向上，对称轴为x1 a. .若1 a1即a1时，f(x)minf(1)a0，即a1. .若1 a4即00得a 3 8矛盾 .若11 a4即 1 4a0得a 1 2.即 1 2a1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 当a0 a3 8 ，解得a3 8矛盾 综上可知a的取值范围是 1 2， . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 引申若将“一切x值都有f(x)0”改为“f(x)0有解”呢
18、？ 解析 由解法一知a 2 x2 2 x在(1，4)上有解 即a 2 x2 2 x ming(1)0， a的取值范围是(0，) 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2021 沧州七校联考)已知两函数f(x)8x216xk，g(x) 2x24x4，其中k为实数 (1)对任意x3，3，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围； (2)存在x3，3，使f(x)g(x)成立，求k的取值范围； (3)对任意x1，x23，3，都有f(x1)g(x2)，求k的取值范围 转换变量解决二次函数问题中的核心素养 例 6 返回导航 高考一轮总复习
19、数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)设h(x)f(x)g(x)6x212x4k，问题转化为当 x3，3时，h(x)0恒成立，故h(x)max0.由二次函数性质可知 h(x)maxh(3) 86k，有86k0，得k86. (2)由题意，存在x3，3，使f(x)g(x)成立，即h(x)f(x)g(x) 6x212x4k0在x3，3时有解，故h(x)min0.由二次函数的 性质可知h(x)minh(1)10k，有10k0，得k10. (3)对任意x1，x23，3，都有f(x1)g(x2)成立，所以f(x)max g(x)min，x3，3由二次函数的性质可得，f(x)maxf(3)
20、 120k， g(x)ming(1)2.故有120k2.得k118. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 答案 (1)k86 (2)k10 (3)k118 探究 本题的三个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径 庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 二次函数中恒成立问题的求解思路 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数 (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关 键是看参数是否易分离这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，
21、af(x)af(x)min. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练3 已知函数f(x) x22x，g(x)ax2(a0)，对任意的x11，2 都存在x01，2，使得g(x1)f(x0)，则实数a的取值范围是_ 0，1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 当x01，2时，由f(x)x22x，得f(x0)1，3 因为对任意的x11，2都存在x01，2， 使得g(x1)f(x0)， 所以 g（x1）minf（x0）min， g（x1）maxf（x0）max， 即当x11，2时，g(x1)1，3 所以当a0时， a21， 2a23， 解得a1 2，故实数a的取值范围是 0，1 2 . 谢谢观看
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