1、必考部分 第二章 函数、导数及其应用 第六讲 指数与指数函数 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 知识点一 指数与指数运算 1根式 (1)根式的概念 xna 根式的概念 符号表示 备注 如果_,那么x叫做a的n次方根 n1且nN* 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 正数 根式的概念 符号表示 备注 当n为奇数时,正数的n次方根是一个 _,负数的n次方根是一个 _ n a 零的n次方根是零 当n为偶数时,正数的n次方根有 _,它们
2、互为_ n a 负数没有偶次方根 负数 两个 相反数 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 a (2)两个重要公式 na _,n为奇数, |a| _(a0), _ (a0且a1)叫指数函数 底数 a1 0a0时,恒有y1; 当x0时,恒有0y0时,恒有0y1; 当x1 性质 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 1画指数函数yax(a0且a1)的图象时 注意两个关键点:(1,a),(0,1) 2底数a的大小决定了图象相对位置的高 低,不论是a1,还是0a0且a1)的图象关于y
3、轴对称 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)nan(na)na(aN*) ( ) (2)a m na m n(n,mN*) ( ) (3)函数y3 2x,与y2x 1都不是指数函数 ( ) (4)若am0,且a1),则m1时mn,当 0an;(5)y2 x 1 2 x是减函数 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 C 题组二 走进教材 2(必修1P59AT2改编)设a0,将 a2 a 3 a2 表示成分数指数幂,其结 果是 ( ) Aa 1 2 Ba 5
4、6 Ca 7 6 Da 3 2 解析 由题意得 a2 a 3 a2 a2 1 2 1 3 a 7 6,故选C. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 B 3(必修1P60BT2改编)已知f(x)2x2 x,若f(a)3,则f(2a)等于 ( ) A5 B7 C9 D11 解析 f(2a)22a2 2a(2a2a)22f(a)227.故选B. 4(必修1P82AT10改编)若函数f(x)ax(a0,且a1)的图象经过点 P 2,1 2 ,则f(1)_ 2 解析 a21 2,a 2 2 ,f(1) 2 2 1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章
5、函数、导数及其应用 B 题组三 走向高考 5(2020 全国,8)设alog342,则4 a ( ) A 1 16 B1 9 C1 8 D1 6 解析 本题考查对数的运算和指数、对数的互化公式因为alog34 log34a2,所以4a329,所以4 a1 4a 1 9,故选B. 另:alog342log342 a,3 2 a4,4a 3 2 a a1 9. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 A 6(2017 北京,5分)已知函数f(x)3x 1 3 x,则f(x) ( ) A是奇函数,且在R上是增函数 B是偶函数,且在R上是增函数 C是奇函数,且在R上是减函
6、数 D是偶函数,且在R上是减函数 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 因为f(x)3x 1 3 x ,且定义域为R,所以f(x)3 x 1 3 x 1 3 x 3x 3x 1 3 x f(x),即函数f(x)是奇函数又y3x在R上是 增函数,y 1 3 x 在R上是减函数,所以f(x)3x 1 3 x 在R上是增函数,故 选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 A 7(2016 全国卷)已知a2 4 3,b4 2 5,c25 1 3,则 ( ) Abac Babc Cbca Dcab 解析 因为a2 4 316 1
7、3,b4 2 516 1 5,c25 1 3,且幂函数yx 1 3在R 上单调递增,指数函数y16x在R上单调递增,所以bac. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 考点一 指数与指数运算自主练透 ACD 例 1 (1)(多选题)下列命题中不正确的是 ( ) A n ana BaR,则(a2a1)01 C 3 x4y3x 4 3y D 3 5 6 (5)2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 6 (2)计算2 331.5612_ (3)化简:(1 4) 1 2 ( 4ab 1)3 ( 1 10)
8、 1(a3b3)1 2 _ (4)已知a 1 2a 1 23,求下列各式的值 aa 1;a2a2;a 2a21 aa 11. 8 5 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)若 n 是奇数,则 n ana;若 n 是偶数,则 n an|a| a,a0, a,a0,所以 A 错误; 因为 a 2a1 恒不为 0, 所以(a2a1)0 有意 义且等于 1,所以 B 正确; 3 x4y3不能化简为 x 4 3y,所以 C 错误;因 为 3 50,所以 3 5 6 (5)2,所以 D 错误故选 A、C、D. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函
9、数、导数及其应用 (2)原式23 1 2 3 2 1 312 1 623 1 23 1 321 33 1 62 1 3 23 1 2 +1 3 +1 6 2 1 3 + 1 3 6. (3)原式2 23a 3 2b 3 2 10a 3 2b 3 2 21 31018 5.故填 8 5. (4)将 a 1 2a 1 23 两边平方,得 aa129,所以 aa17. 将 aa 17 两边平方,得 a2a2249,所以 a2a247. 由可得a 2a21 aa 11471 71 6. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里
10、的,无括号的先做指数运算 (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带 分数的,先化成假分数 (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指 数幂的运算性质来解答 (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有 负指数,形式力求统一 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 考点二 指数函数图象与性质 A 考向1 指数函数的图象及应用师生共研 例 2 (1)(2021 秦皇岛模拟)函数f(x)21x的大致图象为( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函
11、数、导数及其应用 (2)(2021 湖北黄冈质检)函数yax(a0,a1)与yxb的图象如图, 则下列不等式一定成立的是 ( ) Aba0 Bab0 Cab1 Dloga2b D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (3)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点,则b的取值范围是 _ 1,1 分析 (1)将函数化为f(x)2 1 2 x 的形式,根据函数的性质及过定 点,并结合选项判断; (2)由图确定a、b的范围求解; (3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象,数形结合求解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)
12、解法一:函数f(x)21 x2 1 2 x ,单调递减且过点(0, 2),选项A中的图象符合要求 解法二:(采用平移法)因为函数f(x)21 x2(x1),所以先画出函数 y2 x的图象,再将y2x图象的所有点的横坐标向右平移1个单位,只 有选项A符合 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (2)由图可知,yax单调递增,则a1;yxb单调递减,则b0不一定成立,如a3,b1; B:ab0不一定成立,如a2,b3; C:ab1不成立,ab0,a1)的图象,应抓住三个关键点:(1, a),(0,1),(1, 1 a)由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证,从 而作
13、出判断 (2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的 图象,通过平移、对称变换得到其图象 (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数 图象数形结合求解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 D 变式训练1 (1)函数yax1 a(a0,a1)的图象可能是 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 CD (2)(多选题)已知实数a,b满足等式 1 2 a ( 1 3 )b,下列关系式中不可能 成立的是 ( ) A0ba Bab0 C0ab Dba1时,函数单调递增,且函数的图象恒过点 0,1
14、1 a . 因为01 1 a 1,所以A、B均不正确;当0a1时,函数单调递减, 且函数的图象恒过点 0,11 a , 因为11 ab0时, 1 2 a 1 3 b可能成立 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 ab0时, 1 2 a 1 3 b可能成立 0a 1 3 b. ba0时,显然 1 2 a0. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 考向2 指数函数的性质及其应用多维探究 角度1 比较指数幂的大小 B 例 3 已知 a 1 2 2 3,b24 3,c 1 2 1 3,则下列关系式中正确的是 ( ) Acab Bbac C
15、acb Dab 2 3 1 3, 所以 1 2 4 3 1 2 2 3 1 2 1 3,即bac. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 角度2 利用指数函数的性质求解简单指数方程、不等式 3 例 4 (1)已知实数m2,函数f(x) 3x1,x0, 9m x,x0的解集为 _ x|x4或x0 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)当m2时,9m (2m)3m21,即34m43m3,解得m1 3 (舍),故m 3. (2)f(x)为偶函数,f(x)在0,)上递增, 且f(2)0,|x2|2,解得x4或x0,且a1)满足
16、f(1)1 9 ,则f(x)的单调 递减区间是 ( ) A(,2 B2,) C2,) D(,2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 由f(1)1 9得a 21 9, 又a0,所以a1 3,因此f(x) 1 3 |2x4|. y 1 3 t 为减函数,f(x)的减区间为t|2x4|的递增区间2, ), 所以f(x)的单调递减区间是2,) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (1)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的 单调性要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论 (2)求解与指数函数有关的复合函
17、数问题,首先要熟知指数函数的定 义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值 域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判 断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (3)解指数方程的方法 同底法:把方程化为af(x)ag(x)的情形,然后得出f(x)g(x) 化为axb,利用对数定义求解xlogab. 把方程化为f(ax)0的情形,然后换元,即设axt,然后解方程 f(t)0,注意只要t0的解 (4)解指数不等式的方法 同底法:把方程化为af(x)ag(x)的情形,根据函数单调性建
18、立f(x)和 g(x)的不等式 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 D 变式训练2 (1)(角度1)下列各式比较大小不正确的是 ( ) A1.72.50.62 C0.8 0.11.250.2 D1.70.30.93.1 (2)(角度2)已知实数a1,函数f(x) 4x,x0, 2a x,x0, 若f(1a)f(a 1),则a的值为_ 1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 (3,1) (3)(角度 3)设函数 f(x) 1 2 x7,x0, x,x0, 若 f(a)1.701,0.93.10.901,D 不正确,故选 D.
19、 (2)当 a1 时,代入不成立故 a 的值为1 2. (3)若 a0,则 f(a)1 1 2 a71 1 2 a3,故3a0; 若 a0,则 f(a)1 a1,解得 a1,故 0a1. 综合可得3a0,a1)在区 间 3 2,0 上有最大值 3 和最小值 5 2,试求 a,b 的值 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 分析 本题易出现的错误有两个,一个是二次函数 tx22x 在区 间 3 2,0 上的范围求错,直接将端点值代入,二是不分类讨论,直接认 为 f(x)是单调递增函数 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 解析 设
20、tx22x,x 3 2,0 , 由图象得 t1,0 当 a1 时, f(t)atb 在1, 0上为增函数, 值域为 1 ab,1b , 1 ab 5 2, 1b3 解得 a2 b2. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 当 0a1和0a0且a1,函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14,求 实数a的值 解析 设 axt,则 a2xt2, 当 a1 时,t 1 a,a ,yt 22t1,在 1 a,a 上为增函数, 当 ta 时,取得最大值,a22a1, 所以 a22a114,解得 a3 或 a5(舍); 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第二章 函数、导数及其应用 当 0a1 时,t a,1 a ,yt22t1,在 a,1 a 上为增函数, 当 t1 a时,取得最大值, 1 a 22 a1, 所以 1 a 22 a114,解得 a 1 3或 a 1 5(舍) 综上所述,a3 或1 3. 谢谢观看