1、必考部分 第二章 函数、导数及其应用 第三讲 函数的单调性与最值 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点一 函数的单调性 1单调函数的定义 f(x1)f(x2) 增函数 减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2 定义 当 x1x2时， 都有_， 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1f(x2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 上升
2、的 增函数 减函数 图象描 述 自左向右看图象是 _ 自左向右看图象是_ 下降的 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 2单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是_，那么就说函数y f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做函数yf(x)的单调区 间 增函数或减函数 区间D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点二 函数的最值 f(x)M 前提 设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意xI，都有 _； (2)存在x0I，使得_ (1)对于任意xI，都有 _； (2)存在x0I，使得_
3、结论 M为最大值 M为最小值 f(x0)M f(x)M f(x0)M 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1复合函数的单调性 函数yf(u)，u(x)，在函数yf(x)的定义域上，如果yf(u)，u (x)的单调性相同，则yf(x)单调递增；如果yf(u)，u(x)的单 调性相反，则yf(x)单调递减 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 2单调性定义的等价形式 设任意 x1，x2a，b，x1x2. (1)若有(x1x2)f(x1)f(x2)0 或f（x 1）f（x2） x1x2 0， 则 f(x)在闭区间 a，b上是增函数 (
4、2)若有(x1x2)f(x1)f(x2)0 或f（x 1）f（x2） x1x2 0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同，若 k0)在公共定义域内与 yf(x)， y 1 f（x）的单调 性相反 (4)函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y f（x）的单调性相同 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)f(x2)时都有 x1x2，则 y f(x)为增函数 ( ) (5)已知函数 yf(x)是增函数， 则函数 yf(x)与 y 1 f（x）
5、都是减函 数 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意 两个自变量值 x1，x2，均有 f(x1)f(x2)，而不是区间上的两个 特殊值 (2)单调区间是定义域的子区间，如 yx 在1，)上是增函数，但 它的单调递增区间是 R，而不是1，) (3)多个单调区间不能用“”符号连接，而应用“，”或“和”连 接 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (4)设 f(x) x x0，1， 1 x（1，2） ，如图 当 f(x1)f(x2)时都有 x1x2，但 yf(x)不是增
6、函数 (5)当 f(x)x 时，y 1 f（x） 1 x，有两个减区间，但 y 1 x并不是减函 数，而 yf(x)是由 yf(t)与 tx 复合而成是减函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1，1和5，7 题组二 走进教材 2(必修 1P32T3 改编)设定义在1，7上的函数 yf(x)的图象如图 所示，则函数 yf(x)的增区间为_ 3(必修 1P44AT9 改编)函数 y(2m1)xb 在 R 上是减函数，则 m 的取值范围是_ m1 2 解析 使 y(2m1)xb 在 R 上是减函数，则 2m10，即 m0)在(，1)上的单调性 解析 (1)对于
7、A、B 若 f(x)x，则 A、B 都错，对于 C，当 f(x)0 时无意义， 对于 D，y2 f(x) 1 2 f（x），y 1 2 t，tf(x)，复合函数 y 1 2 f（x）是减函数，故选 A、B、C. (2)解法一：x1，x2(，1)，且 x1x2， f(x)a x11 x1 a 1 1 x1 ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 f(x1)f(x2)a 1 1 x11 a 1 1 x21 a（x2x1） （x11）（x21），由于 x1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)， 函数 f(x)在(，1)上
8、单调递减 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解法二：f(x)a（x1）ax （x1）2 a （x1）2， (x1)20，a0，f(x)0 时，f(x)在(，1)上是减函数 解法三：f(x)a（x1）a x1 a a x1， 又 a0，f(x)在(，1)上是减函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考向2 求函数的单调区间师生共研 例 2 求下列函数的单调区间 (1)f(x)x22|x|3； (2)f(x)log1 2(x 24x5)； (3)f(x)xln x. 分析 (1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解；
9、(2)复合函数求解； (3)导数法 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)解法一：(图象法) f(x) x22x3（x0）， x22x3（x0）， 其图象如图所示，所以函数 yf(x)的单调递增区间为(，1和 0，1；单调递减区间为1，0和1，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解 法 二 ： ( 化 为 分 段 函 数 求 解 )f(x) x22x3（x0） x22x3（x0） （x1）24（x0） （x1）24（x0） y(x1)24(x0)图象开口向下， 对称轴为 x1， 增区间为(0， 1)，减区间为(1
10、，)； y(x1)24(x0 得1x0.y11 x x1 x . x (0，1) 1 (1，) y 0 y 极小值 由上表可知，函数的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0， 1) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 引申1本例(1)f(x)|x22x3|的增区间为_ (1，1)和(3，) 解析 作出 f(x)|x22x3|的图象，由图可知所求增区间为( 1，1)和(3，) 引申 2本例(2)f(x)loga(x24x5)(a1)的增区间为_ (1，2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 求函数的单调区间(确定函数单调性)
11、的方法 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或 复合函数，再求单调区间 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解 (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出， 可由图象直接写出它的单调区间 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 (5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：求函数的定义域；求 简单函数的单调区间；求复合函数的单调区间，依据是“同增异 减” 注意： (1)求函数单调区间，定义域优先 (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个
12、单调区间应分别写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连 接 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 A 变式训练 1 (1)(2019 北京)下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是( ) Ayx 1 2 By2x Cylog1 2x Dy1 x (2)函数 f(x)(a1)x2 在 R 上单调递增， 则函数 g(x)a|x 2|的单调 递减区间是_ (3)函数 f(x)x|1x|的单调区间为_ (，2 (，1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 B (4)函数 yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数 g(x)f(logax
13、)(0a0 时，yx在(0，)上单调 递增，当 0，且 a1)，当 0a1 时，yax在(，) 上单调递增，而选项 B 中的函数 y2 x 可转化为 y 1 2 x，因此函数 y2 x 在(0，)上单调递减，故选项 B 不符合题意； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 对于对数函数 ylogax(a0，且 a1)，当 0a1 时，ylogax 在(0，)上单调递增，因此选项 C 中的函数 ylog1 2x 在(0，)上单调递减，故选项 C 不符合题意，故 选 A. (2)由已知得 a10， a1， g(x)a|x 2|减区间为 q(x)|x2|减区 间，(，2
14、，故填(，2 (3)f(x) 2x1（x1）， 1（x1）， 画图知单调递增区间为(，1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (4)设 g(x)f(t)， tlogax(0ax11 时， f(x2) f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 由已知得 f(x)在(1，)上单调递减，又 f 1 2 f 5 2 ，e5 2 2，f(e)f 5 2 f(2)，即 cab.故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度2 利用单调性求参
15、数的取值范围 A 例 4 (1)(2021 江西赣州南康中学高三月考)若 f(x)lg(x22ax 1a)在区间(，1上单调递减，则 a 的取值范围为 ( ) A1，2) B1，2 C1，) D2，) (2)(2021 广 东 汕 头 湖 南 区 第 一 次 模 拟 ) 如 果 函 数g(x) （2m1）x3 4，x1， mx，x0，二次函数ux22ax1a在(， 1上单调递减，故只需当x1时，x22ax 1a0，代入x1解得a0 ， 1a2.故选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)若g(x)为减函数，必有 2m10， 0m1， （2m1）3 4m
16、， 解得00， 若f(2x2)f(x)，则 实数x的取值范围是_ (2)已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)x，2x1. (2)因为函数f(x)ln x2x在定义域(0，)上单调递增，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2得，f(x24)f(1)，所以0 x241，解得 5x2或2x 5. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后 利用函数的单调性解决 (2)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图 象或单调性定义，确定函数的单调区间
17、，与已知单调区间比较，利用区 间端点间关系求参数求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意 分点处左、右端点函数值的大小关系 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数 的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别 注意函数的定义域 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (0，1) 变式训练2 (1)(角度2)已知yf(x)在定义域(1，1)上是减函数，且f(1a)f(a2 1)，则a的取值范围为_ (2)(角度3)已知函数yloga(2ax)在0，1上是减
18、函数，则实数a的 取值范围是_ (3)(角度1) e4 16， e5 25， e6 36(其中e为自然常数)的大小关系是( ) A. e4 16 e5 25 e6 36 B e6 36 e5 25 e4 16 C. e5 25 e4 16 e6 36 D e6 36 e4 161aa211， 即 11a1， 1aa21， 1a211. 解得0a0且a1， 函数u在0，1上是减函数 由题意可知函数ylogau在0，1上是增函数， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 a1.又u在0，1上要满足u0， 2a10， 2a00，得a2. 综上得1a0，得x2， 即函数f
19、(x)在(2，)内单调递增， 因此有f(4)f(5)f(6)，即 e4 16 e5 250，y0都有f x y f(x)f(y)，当x1时，有f(x)0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性并证明； (3)若f(6)1，解不等式f(x5)f 1 x 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)f(1)f x x f(x)f(x)0. (2)f(x)在(0，)上是增函数 证明：设0 x11，所以f x2 x1 0.所以f(x2)f(x1)0，即f(x)在(0，)上是增函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其
20、应用 (3)因为f(6)f 36 6 f(36)f(6)，又f(6)1，所以f(36)2，原不等式 化为：f(x25x)0， 1 x0， x25x36， 解得0 x4. 不等式的解集为x|0 x0时，f(x)x2，则x1x20，于是f(x1 x2)0， 从而f(x1)f(x2)f(x1x2)x2f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1 x2)0， 所以f(x)在R上是减函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)由(2)知，所求函数在3，6上的最大值为f(3)，最小值为 f(6) 因为f(3)f(3)f(2)f(1)2f(1)f(1)3f(1)2， f(6)f(6)f(3)f(3)4. 所以f(x)在3，6上的最大值为2，最小值为4. 谢谢观看
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