1、2020-2021 学年辽宁省鞍山市九年级第一学期期末数学试卷学年辽宁省鞍山市九年级第一学期期末数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 圆 2. 一元二次方程 4x2+1=4x的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 3. 把抛物线 y2x2先向左平移 3 个单位，再向上平移 4个单位，所得抛物线函数表达式为（ ） A. y2（x+3）2+4 B. y2（x+3）24
2、C. y2（x3）24 D. y2（x3）2+4 4. 如图，AB是O的直径，C、D是圆上两点， 110AOC，则D的度数为（ ） A. 25 B. 35 C. 55 D. 70 5. COD是AOBV绕点O顺时针方向旋转30后所得图形， 点C恰好在AB上， 则A的度数为 （ ） A. 30 B. 60 C. 70 D. 75 6. 某超市 1 月份的营业额是 0.2 亿元，第一季度的营业额共 1 亿元如果平均每月增长率为，则由题意 列方程应为（ ） A. 0.2(1)21 B. 0.20.2 21 C. 0.20.2 31 D. 0.2 1(1)(1)21 7. 如图，在平行四边形 ABCD
3、 中，点 E是 AB的中点，CE 和 BD 交于点 O，若 SEOB1，则四边形 AEOD 的面积为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC 与 BD相交于点 O，AC6，BD8，动点 P从点 B出发，沿着 BAD 在菱形 ABCD的边 AB，AD上运动，运动到点 D停止点 P是点 P关于 BD的对称点，连接 PP交 BD于点 M，若 BMx（0 x8） ，DPP的面积为 y，下列图象能正确反映 y与 x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9. 中心角为 30 的正多
4、边形边数为_ 10. 反比例函数的图象经过点 P（1，2） ，则此反比例函数的解析式为_ 11. 已知ABCABC，AD 和 AD是它们的对应中线，若 AD10，AD8，则ABC与ABC的周长 比等于_ 12. 已知 x=1是一元二次方程 x24x+k=0的一个根，则 k=_ 13. 已知点 A（4，y1） ，B（ 2，y2） ，C（2，y3）都在二次函数 y（x2） 2+k 的图象上，则 y 1、y2、 y3的大小关系是_ （请用“”连接） 14. 如图，点 A、B、C、D在O上，AD是O的直径，且 AD3 2，若ABCCAD，BC 交 AD于 点 E，则 CEBC为_ 15. 如图，在矩形
5、 ABCD中，BC2AB，点 E是边 BC 的中点，连接 AE、DE，分别交 BD、AC点 P、Q， 过点 P作 PFAE 交 CB于点 F， 下列结论： EACEDB； AP2PF； 若 SDQC16 3 ， 则 AB8； CEEFEQDE其中正确的结论有_ （填序号即可） 16. 如图， 点 A 的坐标为(1， 0)， 点 B 的坐标为(1， 2)， 将VOAB 绕点 A 第一次顺时针旋转 90 得到VO1AB1， 将VO1AB1绕点 B1第二次顺时针旋转 90 得到VO2A1B1，将VO2A1B1绕点 B1第三次顺时针旋转 90 得到V O3A2B1，如此进行下去，则点 O2021的坐标
6、为_ 三、解答题（每题三、解答题（每题 8 分，共分，共 16 分）分） 17. 用适当的方法解方程： （1） 2 410 xx ； （2） 2 2350 xx 18. 如图，将ABC 绕点 A旋转得到ADE，连接 BD，CE求证：ADBAEC 四、解答题（每题四、解答题（每题 10 分，共分，共 20 分）分） 19. 如图，一次函数 ykxb的图象与反比例函数 y m x 的图象相交于 A(-1，n)，B(2，-1)两点，与 y轴相 交于点 C （1）求一次函数与反比例函数表达式； （2）若点 D与点 C 关于 x 轴对称，求ABD的面积 20. 如图， 要设计一个长为 15cm， 宽为
7、10cm的矩形图案， 其中有两横两竖彩条， 横竖彩条的宽度之比为 5： 4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 五、解答题（每题五、解答题（每题 10 分，共分，共 20 分）分） 21. 小明根据学习函数的经验，对 y1+ 1 x 的图象的性质进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完整； （1）函数 y1+ 1 x 的自变量 x取值范围为 ； （2）完成表格，并画出函数的图象； x -3 -2 -1 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 3 y （3）写出函数 y1+ 1 x 的两条性质 22. 如图，在锐角ABC 中，点 E是 AB边上一点，B
8、ECE，ADBC于点 D，AD 与 EC 交于点 G （1）求证：BEC2AGE； （2）若 2 3 AE BE ，求 AG DG 的值 六、解答题（每题六、解答题（每题 10 分，共分，共 20 分）分） 23. 如图，在ABC中，ACB90 ，ACBC，D是 AB边上一点，作BCD外接圆O，CE是O的直 径，且 CE与 AB交于点 G，DFEC交 AC于点 F （1）求证：DF为O的切线； （2）若 2 3 AD DG ，AC5，求O的半径长 24. 某服装厂自主经销一款精品服装，生产成本为 500 元/套，提价 40%后进行销售，每周可以销售 60 件； 受“新冠疫情”影响，原材料价格上
9、涨，使得该款服装生产成本上涨，该服装厂决定在保持利润率不变的 情况下提高销售价；调研发现该款服装生产成本上涨 10 元/套，每周销量就减少 1套，若设该款服装生产成 本上涨 x元/套（x0 且 x为 10 的整数倍） ，销售价为 y元/套 （利润率 利润 成本 ） （1）求 y与 x 之间函数关系式； （2）设每周销售利润为 w元，求 w 与 x 之间函数关系式，并求服装生产成本上涨多少元/套时，每周销售利 润最大 七解答题（本愿七解答题（本愿 12 分）分） 25. 如图，在 RtACB中，ACB90 ，ABC30 ，点 P、点 G是射线 BA上的两个动点，过 G作 AB 的垂线，点 E 为
10、该垂线上一点，连接 CE，使得CEGCPB （1）如图 1，若点 G与点 A 重合， 求 CE CP 的值； 当 AEAP2 时，求 PC的长； （2）若点 G与点 A 不重合，且 AB8AG，求 CE CP 的值 八、解答题（本题八、解答题（本题 14 分）分） 26. 如图，抛物线 y 1 4 x2+bx+c经过点 B（2，0）和点 C（0，2） ，与 x轴交于点 A （1）求抛物线的解析式； （2）点 P（0，n）是 y 轴上的一个动点，将线段 OB 绕点 P顺时针旋转 90 ，得到线段 OB； 若线段 OB与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请直接写出 n的取值范围； 直线 PB交抛物
11、线于 M、N 两点，若点 B是线段 MN的中点，求 n的值 2020-2021 学年辽宁省鞍山市九年级第一学期期末数学试卷学年辽宁省鞍山市九年级第一学期期末数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 圆 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转 180 后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此判断即可. 【详解】解：A、 等边三角形是轴对称
12、图形 ，不是中心对称图形 ，故 A不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形 ，是中心对称图形 ，故 B 符合题意； C、 正五边形是轴对称图形 ，不是中心对称图形 ，故 C 不符合题意； D、 圆是轴对称图形 ，也是中心对称图形 ，故 D 不符合题意； 故答案为 B. 【点睛】此题考查中心对称图形和轴对称图形，解题关键在于掌握其定理 2. 一元二次方程 4x2+1=4x的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】原方程可变形为 4x24x+1=0， 在方程 4x24x+1=0中，=（
13、4）24 4 1=0， 方程 4x2+1=4x有两个相等的实数根 故选 B 3. 把抛物线 y2x2先向左平移 3 个单位，再向上平移 4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y2（x+3）2+4 B. y2（x+3）24 C. y2（x3）24 D. y2（x3）2+4 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：把抛物线 y=2x2先向左平移 3个单位，再向上平移 4个单位，所得抛物线的函数解析式 为 y=2（x+3）2+4 故选 A 4. 如图，AB是O的直径，C、D是圆上两点， 110AOC，则D的度数为（ ） A. 25 B. 35 C. 55 D. 70 【答案】B 【解析】
14、【分析】 【详解】解：AOC=110 ， BOC=180 -110 =70 ， BDC=70 2=35 ， 故选：B 5. COD是AOBV绕点O顺时针方向旋转30后所得的图形， 点C恰好在AB上， 则A的度数为 （ ） A. 30 B. 60 C. 70 D. 75 【答案】D 【解析】 【分析】 根据旋转的性质可得30AOC，OAOC， 利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求解 【详解】解：COD是AOBV绕点O顺时针方向旋转30后所得的图形， 30AOC，OAOC， 180 75 2 AOC A ， 故选：D 【点睛】本题考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键 6. 某超市 1 月
15、份的营业额是 0.2 亿元，第一季度的营业额共 1 亿元如果平均每月增长率为，则由题意 列方程应为（ ） A. 0.2(1) 21 B. 0.20.2 21 C. 0.20.2 31 D. 0.2 1(1)(1) 21 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平均每月增长率为 x 表示出二月份的，再在二月份的基础上表示出三月份的，把这三个月 的相加即可得到第一季度的，从而可以列出方程 【详解】解：设平均每月增长率为，由题意列方程应为 0.2 1+（1+x）+（1+x）2=1， 故选 D 【点睛】此类增长率的问题的一般公式为：原来的量 （1 x）2=现在的量，x为增长或减少的百分率增加 用+，减少用
16、- 7. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E是 AB的中点，CE 和 BD 交于点 O，若 SEOB1，则四边形 AEOD 的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和相似的判定和性质，可以得到BOC 和COD 的面积，从而可以得到 BCD 的面积，再根据ABD 和BCD的面积一样，即可得到四边形 AEOD的面积 【详解】解：在平行四边形 ABCD中，点 E 是 AB 的中点， CDAB，CD=AB=2BE DOCBOE， OCCD OEBE =2， SEOB =1， SBOC=2，SDOC =4， SBCD =6， SDA
17、B =6， 四边形 AEOD的面积为：SDAB-SEOB=6-1=5， 故选：B 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形 结合的思想解答 8. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC 与 BD相交于点 O，AC6，BD8，动点 P从点 B出发，沿着 BAD 在菱形 ABCD的边 AB，AD上运动，运动到点 D停止点 P是点 P关于 BD的对称点，连接 PP交 BD于点 M，若 BMx（0 x8） ，DPP的面积为 y，下列图象能正确反映 y与 x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得出 AB=
18、BC=CD=DA，OA= 1 2 AC=3，OB= 1 2 BD=4，ACBD，分两种情况：当 BM4时，先证明PBPCBA，得出比例式，求出 PP，得出DPP的面积 y 是关于 x 的二次函数，即 可得出图象的情形；当 BM4时，y与 x之间的函数图象的形状与中的相同；即可得出结论 【详解】解：四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=DA，OA= 1 2 AC=3，OB= 1 2 BD=4，ACBD， 当 BM4时， 点 P与点 P 关于 BD对称， PPBD， PPAC， PBPCBA， PPBM ACOB ，即 64 PPx ， PP= 3 2 x， DM=8-x， DPP的面积
19、y= 1 2 PPDM= 1 2 3 2 x（8-x）=- 3 4 x2+6x； y与 x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，12） ； 当 BM4时，如图： 同理PDPCDA， PPDM ACOD ，即 8 64 PPx ， PP= 3 (8) 2 x， DPP的面积 y= 1 2 PPDM= 1 2 3 2 （8-x）2= 3 4 （8-x）2； y与 x之间的函数图象是抛物线，开口向上，过（4，12）和（8，0） ； 综上所述：y与 x之间的函数图象大致为： 故选：D 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以 及二次函
20、数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9. 中心角为 30 的正多边形边数为_ 【答案】12 【解析】 【分析】根据正 n边形的中心角的度数为 360 n 进行计算即可得到答案 【详解】解：因为 360 30 =12 所以这个正多边形的边数为 12 故答案为：12 【点睛】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键 10. 反比例函数的图象经过点 P（1，2） ，则此反比例函数的解析式为_ 【答案】y= 2 x 【解析】 【分析】设反比例函数的解析式为
21、(0) k yk x ，由已知把（-1，2）代入解析式求得 k 的值，即可求出解 析式. 【详解】设反比例函数的解析式为(0) k yk x ， 把（-1，2）代入则有2 1 k ， 解得：k=-2， 所以反比例函数的解析式为：y= 2 x ， 故答案为 y= 2 x . 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键. 11. 已知ABCABC，AD 和 AD是它们的对应中线，若 AD10，AD8，则ABC与ABC的周长 比等于_ 【答案】5：4 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质相似三角形周长的比等于相似比解答即可 【详解】解：ABCABC，AD和 A
22、D是它们的对应中线，AD10，AD8， :10:85:4 ABCA B C CCAD AD 故答案为：5：4 【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形对应高的比、对 应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键 12. 已知 x=1是一元二次方程 x24x+k=0的一个根，则 k=_ 【答案】3 【解析】 【分析】把 x=1代入方程 x2-4x+k=0得 1-4+k=0，然后解关于 k的方程即可 【详解】解：把 x=1代入方程 x2-4x+k=0 得 1-4+k=0， 解得 k=3 故答案为：3 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程
23、左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解 13. 已知点 A（4，y1） ，B（ 2，y2） ，C（2，y3）都在二次函数 y（x2） 2+k 的图象上，则 y 1、y2、 y3的大小关系是_ （请用“”连接） 【答案】y3y1y2 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线 x=2，根据 x2 时，y 随 x 的增大而减 小，即可得出答案 【详解】解：y（x2）2+k， 图象的开口向上，对称轴是直线 x2， A（4，y1）关于直线 x2 的对称点是（0，y1） ， 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小， 20 22， y3y1y2， 故答案为 y3y1y2
24、【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练 地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键 14. 如图，点 A、B、C、D在O上，AD是O的直径，且 AD3 2，若ABCCAD，BC 交 AD于 点 E，则 CEBC为_ 【答案】9 【解析】 【分析】由圆周角定理可知ABCD，又ABCCAD ，则可得DCAD ，从而可得出 CACD； 由直径所对的圆周角为直角可得90ACD； 由勾股定理求得CA的值； 由ABCCAD， ACBECA，可判定 ACBECA，由相似三角形的性质可得比例式，变形即可得出答案 【详解】解：ABCCADQ，ABCD， DC
25、AD， CACD， ADQ是Oe的直径， 90ACD， 在Rt ACD中，由勾股定理得： 222 CACDAD， 3 2AD Q，CACD， 2 218CA， 解得：3CA ABCCAD Q，ACBECA， ACBECA， :BC ACAC CE， 9CE BCAC AC 故答案为：9 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质 及定理是解题的关键 15. 如图，在矩形 ABCD中，BC2AB，点 E是边 BC 的中点，连接 AE、DE，分别交 BD、AC点 P、Q， 过点 P作 PFAE 交 CB于点 F， 下列结论： EACEDB； AP2
26、PF； 若 SDQC16 3 ， 则 AB8； CEEFEQDE其中正确的结论有_ （填序号即可） 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质和等腰三角形的性质可求AEB=DEC=45 ，由外角的性质可求EAC=EDB，可 判断；通过证明ADPEBP，可得2 ADAP BEPE ，可判断；通过证明ADQCEQ，可得 ADAQ ECQC =2，可得 AQ=2QC，由三角形的面积公式可求 AB=4，可判断，由“SAS”可证ABEDCE， 可得 AE=DE，由相似三角形的性质可求 PE=EQ，通过证明PEFCDE，可得 PEEF ECDE ，可判断， 即可求解 【详解】解：四边形 ABCD 是矩形，
27、AB=CD，AD=BC，OA=OB=OC=OD，ABC=BCD=90 ，ADBC， OBC=OCB， BC=2AB，点 E 是边 BC的中点， BE=EC=AB=CD， AEB=DEC=45 ， AEB=ACB=EAC，DEC=DBC+BDE， EAC=EDB，故正确； PFAE， PFE=PEF=45 ， PE=PF， ADBC， ADPEBP， 2 ADAP BEPE ， AP=2PE=2PF，故正确； ADBC， ADQCEQ， ADAQ ECQC =2， AQ=2QC， SDQC= 16 3 ， SADC =16， 1 2 AD DC=16， DC=4， AB=4，故错误， AB=BE
28、，DC=CE，ABE=DCE=90， ABEDCE（SAS） ， AE=DE， ADPEBP，ADQCEQ， 1 2 BEPE ADAP ， 1 2 ECEQ ADQD ， PEEQ APQD ， PEEQ AEDE ， PE=EQ， AEB=DEC=45 ，EPF=ECD=90 ， PEFCDE， PEEF ECDE ， CEEF=EQDE故正确； 故答案为： 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似 三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 16. 如图， 点 A 的坐标为(1， 0)， 点 B 的坐标为(1， 2)， 将
29、VOAB 绕点 A 第一次顺时针旋转 90 得到VO1AB1， 将VO1AB1绕点 B1第二次顺时针旋转 90 得到VO2A1B1，将VO2A1B1绕点 B1第三次顺时针旋转 90 得到V O3A2B1，如此进行下去，则点 O2021的坐标为_ 【答案】(2021，1) 【解析】 【分析】根据题意得出 O点坐标变化规律，进而得出点 O2021的坐标位置，进而得出答案 【详解】解：点 A的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（1，2） ，AOB 是直角三角形， OA1，AB2， 将OAB绕点 A 第一次顺时针旋转 90 得到O1AB1，此时 O1为（1，1） ， 将O1AB1绕点 B1第二次顺时
30、针旋转 90 得到O2A1B1，得到 O2为（1+2+1，2） ， 再将O2A1B1绕点 B1第三次顺时针旋转 90 得到O3A2B1，得到 O3（1+2+2，1） ，依此规律， 每 4 次循环一周，O1（1，1） ，O2（4，2） ，O3（5，1） ，O4（4，0） ， 2021 45051， 点 O2021（505 4+1，1） ，即（2021，1） 故答案为（2021，1） 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-旋转，得出 O 点坐标变化规律是解题关键 三、解答题（每题三、解答题（每题 8 分，共分，共 16 分）分） 17. 用适当的方法解方程： （1） 2 410 xx ； （2）
31、2 2350 xx 【答案】 （1） 1 25x ， 2 25x ； （2） 1 5 2 x ， 2 1x 【解析】 【分析】 （1）方程变形后，利用配方法求出解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可 【详解】 （1） 2 410 xx 移项得： 2 41xx， 配方得： 2 4414xx ， 即 2 25x， 开方得：25x ， 原方程的解是： 1 25x ， 2 25x （2） 2 2350 xx 因式分解得2510 xx， 250 x 或10 x ， 1 5 2 x ， 2 1x 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键 18. 如图，将A
32、BC 绕点 A旋转得到ADE，连接 BD，CE求证：ADBAEC 【答案】见解析 【解析】 【分析】 由题知， 将ABC绕点 A旋转得到ADE， 可得到 ACAE， ABAD， CAEBAD， 即可证明 详解】将ABC绕点 A旋转得到ADE， ACAE，ABAD，CAEBAD， AEAC ADAB ， ADBAEC 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定，属于基础题，明白旋转前后的边和角都不变 是解题的关键 四、解答题（每题四、解答题（每题 10 分，共分，共 20 分）分） 19. 如图，一次函数 ykxb的图象与反比例函数 y m x 的图象相交于 A(-1，n)，B(2，-
33、1)两点，与 y轴相 交于点 C （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点 D与点 C 关于 x 轴对称，求ABD的面积 【答案】 （1）一次函数的表达式为 y-x1，反比例函数的表达式为 y- 2 x ； （2）SABD3 【解析】 【分析】 （1）先把 B 点坐标代入 m y x 中求出 m，得到反比例函数解析式为 2 y x ，再利用解析式确定 A 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先利用一次函数解析式确定0,1C，利用关于 x 轴对称性质得到0, 1D，则BDx轴，然后 根据三角形面积公式计算即可； 【详解】解：(1)反比例函数 m y x 的图象经过点
34、 B(2，1)， m2 点 A(1，n)在 2 y x 的图象上，n2A(1，2) 把点 A，B的坐标代入 ykxb，得 2 21 kb kb 解得 1 1 k b ， 一次函数的表达式为 yx1，反比例函数的表达式为 2 y x ； (2)直线 yx1交 y轴于点 C，C(0，1) 点 D与点 C关于 x轴对称，D(0，1)B(2，1)，BDx 轴 SABD 1 2 2 33 【点睛】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题知识点， 准确理解待定系数法求解析式是关键 20. 如图， 要设计一个长为 15cm， 宽为 10cm的矩形图案， 其中有两横两竖彩条， 横竖彩条的宽度之比为 5：
35、 4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 【答案】每个横彩条的宽度为 5 4 cm，每个竖彩条的宽度为 1cm 【解析】 【分析】设每个横彩条的宽度为 5x cm，则每个竖彩条的宽度为 4x cm，根据所有彩条所占面积是原来矩形 图案面积的三分之一，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论 【详解】解：设每个横彩条的宽度为 5x cm，则每个竖彩条的宽度为 4x cm， 依题意得： （15-2 5x） （10-2 4x）=15 10 （1- 1 3 ） ， 整理得：8x2-22x+5=0， 解得：x1= 5 2 ，x2= 1 4 ，
36、 当 x= 5 2 时，10-2 4x=-100，不合题意，舍去； 当 x= 1 4 时，10-2 4x=80，符合题意， 5x= 5 4 ，4x=1 答：每个横彩条的宽度为 5 4 cm，每个竖彩条的宽度为 1cm 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 五、解答题（每题五、解答题（每题 10 分，共分，共 20 分）分） 21. 小明根据学习函数的经验，对 y1+ 1 x 的图象的性质进行了探究 下面是小明探究过程，请补充完整； （1）函数 y1+ 1 x 的自变量 x取值范围为 ； （2）完成表格，并画出函数的图象； x -3 -2 -1 1
37、 2 1 3 1 3 1 2 1 2 3 y （3）写出函数 y1+ 1 x 的两条性质 【答案】 （1）x0； （2）完成表格，画图象见解析； （3）该函数没有最大值，也没有最小值；图象不经过原 点 【解析】 【分析】 （1）根据分式中分母不能为 0求出自变量 x 的取值范围即可； （2）根据图表中 x的值代入解析式即可完成表格，用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可； （3）观察函数图象，写出一条函数性质即可，答案不唯一 详解】解： （1）根据题意得：x0， 即函数 y=-1+ 1 x 的自变量 x 的取值范围 x0， 故答案为：x0； （2）完成表格如下， x -3 -2 -1 - 1 2
38、 - 1 3 1 3 1 2 1 2 3 y - 4 3 - 3 2 -2 -3 -4 2 1 0 - 1 2 - 2 3 用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如图所示： （3）观察函数图象，发现该函数没有最大值，也没有最小值，图象不经过原点， 即该函数的性质：该函数没有最大值，也没有最小值；图象不经过原点 【点睛】 本题考查了函数的图象和性质以及函数的最值， 观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键 22. 如图，在锐角ABC 中，点 E是 AB边上一点，BECE，ADBC于点 D，AD 与 EC 交于点 G （1）求证：BEC2AGE； （2）若 2 3 AE BE ，求 AG DG 的值
39、 【答案】 （1）见解析； （2） AG GD 4 【解析】 【分析】 （1）根据题意利用同角的余角相等，得出ECB=90 -CGD=90 -AGE，又因为 BE=CE，所以 B=ECB=90 -CGD=90 -AGE，再根据三角形内角和定理容易求解； （2）由（1）问的角度关系，可求证EFCGDC，可得线段比例关系，进而求证BEFBAD，求得 3 5 EF AD ，通过等量代换可求解 【详解】 （1）证明：AGE=CGD，ADBC，即GDC=90 ， ECB=90 -CGD=90 -AGE， BE=CE， B=ECB=90 -CGD=90 -AGE， BEC=180 -B-ECB=180 -
40、2（90 -AGE）=2AGE， BEC=2AGE； （2）如图，过点 E 作 EFBC交于点 F， 由（1）知BEC=2AGE，则BEC=AGE+EAG， AGE=EAG，则 AE=EG， EFC=GDC，FCE=DCG， EFCGDC， 2 3 AE BE ，BE=BC， 2 3 EG EC ， 1 3 GC EC ， GDGC EFEC ， 1 3 GDGC EFEC ， ABC=EBC，EFB=ADB=90 ， BEFBAD， BEEF BAAD ， 3 5 BE BA ， 3 5 EF AD ， AD= 5 3 EF，GD= 1 3 EF， AG= 4 3 EF， AG GD =4
41、【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和相似三角形判定与性质，熟练掌握相似三角形判定和相应线 段比例关系是解决问题的关键 六、解答题（每题六、解答题（每题 10 分，共分，共 20 分）分） 23. 如图，在ABC 中，ACB90 ，ACBC，D是 AB边上一点，作BCD的外接圆O，CE是O的 直径，且 CE 与 AB 交于点 G，DFEC 交 AC 于点 F （1）求证：DF为O的切线； （2）若 2 3 AD DG ，AC5，求O的半径长 【答案】 （1）见解析； （2）O的半径长为 30 2 【解析】 【分析】 （1）由ACB=90 ，AC=BC得B=A=45 ，再由圆周角定理得DOC=
42、90 ，再由 DFEC，即可 证 DF为O的切线； （2）先证明CDF=A=45 ，由CDF=A和ACD=DCF 可证ACDDCF，从而有 CDAC CFCD ， 再由 2 3 AD DG 、DFEC、AC=5 得 CF=3、AC=5，由此求出 CD，再用勾股定理求出 OC即可 【详解】 （1）证明：连接 OD， ACB=90 ，AC=BC， B=A=45 ， DOC=2B=90 ， ODCE， DFEC， ODDF， DF为O的切线； （2）解：由（1）知，DOC=90 ，OD=OC， DCO=45 ， DFEC， CDF=DCO=45 ， CDF=A， ACD=DCF， ACDDCF， C
43、DAC CFCD ，即 CD2=ACCF， 2 3 AD DG ，DFEC， AF：CF=2：3， AC=5， CF=3，AC=5， CD= 15， CO2+OD2=CD2， OC= 30 2 ， O的半径长为 30 2 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，勾股定 理，解决本题的关键是证明ACDDCF、求出 CD 24. 某服装厂自主经销一款精品服装，生产成本为 500 元/套，提价 40%后进行销售，每周可以销售 60 件； 受“新冠疫情”影响，原材料价格上涨，使得该款服装生产成本上涨，该服装厂决定在保持利润率不变的 情况下提高销售价；调研发
44、现该款服装生产成本上涨 10 元/套，每周销量就减少 1套，若设该款服装生产成 本上涨 x元/套（x0 且 x为 10 的整数倍） ，销售价为 y元/套 （利润率 利润 成本 ） （1）求 y与 x 之间函数关系式； （2）设每周销售利润为 w元，求 w 与 x 之间函数关系式，并求服装生产成本上涨多少元/套时，每周销售利 润最大 【答案】 （1）y700+1.4x； （2）服装生产成本上涨 50 元/套时，每周销售利润最大 【解析】 【分析】 （1）可利用每套的生产成本加上提高的的钱数即为销售价； （2）可利用 w=每套的利润 销售量列函数关系式，根据抛物线的性质及最值可计算求解 【详解】解
45、： （1）y=（500+x） （1+40%） =700+1.4x； （2）w=40% （500+x） （60- 10 x ） =-0.04x2+4x+12000， =-0.04(x-50)2+12100， a=-0.040， 当 x=50 时，w 有最大值为 12100元 故服装生产成本上涨 50 元/套时，每周销售利润最大 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键 七解答题（本愿七解答题（本愿 12 分）分） 25. 如图，在 RtACB中，ACB90 ，ABC30 ，点 P、点 G是射线 BA上的两个动点，过 G作 AB 的垂线，点 E 为该垂
46、线上一点，连接 CE，使得CEGCPB （1）如图 1，若点 G与点 A 重合， 求 CE CP 的值； 当 AEAP2 时，求 PC的长； （2）若点 G与点 A 不重合，且 AB8AG，求 CE CP 的值 【答案】 （1） 3 3 EC CP ；PC6； （2）满足条件的 EC PC 的值为 3 2 或 3 6 【解析】 【分析】 （1）如图 1-1中，连接 PE，取 PE的中点 O，连接 AO，OC证明 A，E，C，P 四点共圆，推出 CEP=CAP=60 ，可得结论 如图 1-1 中，利用勾股定理求出 PE，解直角三角形求出 PC即可 （2）分两种情形：如图 2中，连接 PE，CG，
47、过点 C作 CHAB于 H如图 3中，当点 G 在线段 AB上时， 证明GCH=CPE，求出 tanGCH 可得结论 【详解】解： （1）如图 1-1 中，连接 PE，取 PE 的中点 O，连接 AO，OC CEG=CPB，CPB+APC=180 ， AEC+APC=180 ， EAP+ECP=180 ， EAPA， PAE=PCE=90 ， OE=OP， OA=OE=OP=OC， A，E，C，P 四点共圆， CEP=CAB， ACB=90 ，ABC=30 ， CAB=60 ， PEC=CAP=60 ， EPC=30 ， EC CP =tan30 = 3 3 如图 1-1 中，AE=AP=2，
48、EAP=90 ， PE= 2AE=22， EPC=30 ， PC=PEcos30 =2 2 3 2 = 6 （2）如图 2中，当点 G在 BA的延长线上时，连接 PE，CG，过点 C作 CHAB于 H AB=8AG， 可以假设 AG=a，则 AB=8a， ABC=30 ， AC= 1 2 AB=4a， 在 RtACH 中，CAH=60 ，AC=4a， AH=ACcos60 =2a， CH= 3AH=23a， tanGCH= 33 22 3 GHa CHa ， 由（1）可知 G，E，C，P四点共圆， CGP=CEP， CGP+GCH=90 ，CEP+CPE=90 ， GCH=CPE， tanCP
49、E=tanGCH= 3 2 ， EC PC =tanCPE= 3 2 如图 3 中，当点 G在线段 AB 上时， 同法可证EPC=GCH，tanGCH 3 62 3 GHa CHa ， 可得 3 6 EC PC ， 综上所述，满足条件的 EC PC 的值为 3 2 或 3 6 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学 会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 八、解答题（本题八、解答题（本题 14 分）分） 26. 如图，抛物线 y 1 4 x2+bx+c经过点 B（2，0）和点 C（0，2） ，与 x轴交于点 A （1）求抛物线的解析式；
50、 （2）点 P（0，n）是 y 轴上的一个动点，将线段 OB 绕点 P顺时针旋转 90 ，得到线段 OB； 若线段 OB与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请直接写出 n的取值范围； 直线 PB交抛物线于 M、N 两点，若点 B是线段 MN的中点，求 n的值 【答案】（1） y= 1 4 x2 1 2 x2；（2） 线段 OB与抛物线有一个公共点时， 1 17n2或 4n1+17； 117 2 【解析】 【分析】 （1）将点 B（-2，0）和点 C（0，-2）代入抛物线 y= 1 4 x2+bx+c，即可求解析式； （2）由题可知 O（-n，n） ，B（-n，n+2） ，当 O在抛物线上时，
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