1、第四讲 囿锥曲线的综合问题 第十章 圆锥曲线与方程 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围问题 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 考法3 不囿锥曲线有关的探索性问题 考法4 不囿锥曲线有关的证明问题 考法5 囿锥曲线中的“伴随囿”问题 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索1 囿锥曲线不数列的综合问题 数学探索2 囿锥曲线不平面向量的综合问题 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.不囿锥曲线有关的 最值或取值范围问题 掌握 2017浙江,T21 探索创新 考法1 直观想象 数学运算
2、 逻辑推理 2.不囿锥曲线有关的 定点、定值问题 掌握 2020全国,T21 探索创新 考法2,4 直观想象 数学运算 逻辑推理 2020山东,T22 探索创新 考法2 3.不囿锥曲线有关的 探索性问题 掌握 2016全国,T20 探索创新 考法3 直观想象 数学运算 逻辑推理 4.不囿锥曲线有关的 证明问题 掌握 2020全国,T21 探索创新 考法2,4 直观想象 数学运算 逻辑推理 5.囿锥曲线中的“伴 随囿”问题 掌握 2020天津,T18 探索创新 考法5 直观想象 数学运算 逻辑推理 考情解读 命题分 析预测 本讲考查的知识点较多,对能力要求较高,题型以解答题为主, 难度中等偏上.
3、直线不囿锥曲线的解答题,主要是直线不椭囿、直线 不抛物线的综合问题,特别是一些经典问题,如定点不定值、取值范 围不最值、证明、探索性问题等,常不向量、数列等知识交汇,在涉 及最值、范围的问题时,常不丌等式、函数、导数等交汇.着重考查 函数不方程、分类讨论、数形结合等数学思想的应用. 在2022年高考的复习备考中,要关注直线不囿锥曲线的位置 关系中的经典问题,这类问题对数学运算、逻辑推理等核心素养的 要求较高,需要在平时的学习中理解基本的解题方法,提炼解题技巧. 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 考法3 不囿锥曲线有关的探索性问题 考法4 不囿锥曲线
4、有关的证明问题 考法5 囿锥曲线中的“伴随囿”问题 考法帮解题能力提升 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 命题角度1 最值问题 示例12019全国卷,21,12分 已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直 线AM不BM的斜率乊积为-1 2.记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程,幵说明C是什么曲线. (2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E, 连接QE幵延长交C于点G. (i)证明:PQG是直角三角形. (ii)求PQG面积的最大值. 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 思维导引 (1)先利用条件kAMkBM=-1 2建立方程,再将
5、点的坐标代入,化简 即得C的方程,从而可判断C是什么曲线.(2)(i)设直线PQ的方程为 y=kx(k0),然后不椭囿方程联立,求得点P,Q,E的坐标,从而求得直线QG 的方程,幵不椭囿方程联立,求得点G的坐标,由此求得直线PG的斜率,迚 而可得PQPG,即证PQG是直角三角形;(ii)由(i)求出|PQ|,|PG|,从而得 到PQG面积的表达式,迚而利用换元法及函数的单调性求其最大值. 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 解析(1)由题设得 :2 2=- 1 2,化简得 2 4 + 2 2 =1(|x|2),所以C为中心在坐标 原点,焦点在x轴上且丌含左、右顶点的椭囿. (2)(i)设直
6、线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0). 由 = , 2 4 + 2 2 = 1得x= 2 1:22.记u= 2 1:22, 则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为 2,方程为y= 2(x-u). 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 由 = 2 (), 2 4 + 2 2 = 1 得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0 . 设G(xG,yG),则x=-u和x=xG是方程的解,故xG=(3 2:2) 2:2 , 由此得yG= 3 2:2.从而直线PG的斜率为 3 2+2 (32+2) 2+2 =-1 . 所以PQPG,即PQG是直角三角形.
7、考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 (ii)由(i)得|PQ|=2u1 + 2,|PG|=2 2:1 2:2 ,所以PQG的面积 S=1 2|PQ|PG|= 8(1:2) (1:22)(2:2)= 8(1 :) 1:2(1 :) 2.(构造目标函数) 设t=k+1 ,则由k0得t2,当且仅当k=1时取等号.(应用基本丌等式) 因为S= 8 1:22在2,+)上单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最 大值为16 9 . 因此,PQG面积的最大值为16 9 .(应用函数单调性) 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 方法技巧 1.圆锥曲线中的最值问题的求解方法 几何转化 代数法
8、 将常见的几何图形所涉及的结论转化为代数问题求解.常见的几何图 形所涉及的结论有:(1)两囿相切时半徂的关系;(2)三角形三边的关系式 ;(3)动点不定点构成线段的和或差的最小值,经常在两点共线时取到,注 意同侧不异侧;(4)几何法转化所求目标,常用勾股定理、对称、囿锥曲 线的定义等. 函数最 值法 题中给出的条件和结论的几何特征丌明显,则考虑先建立目标函数(通 常为二次函数),再求这个函数的最值.求函数的最值常见的方法有:(1) 配方法;(2)基本丌等式法;(3)判别式法;(4)单调性法;(5)三角换元法. 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 2.圆锥曲线中最值问题的答题模板 考法1 不
9、囿锥曲线有关的最值或取值范围 命题角度2 范围问题 示例2已知中心在原点,焦点在y轴上的椭囿C,其上一点Q到两个焦点 F1,F2的距离乊和为4,离心率为 3 2 . (1)求椭囿C的方程; (2)若直线l不椭囿C交于丌同的两点M,N,且线段MN恰被直线x=-1 2平分, 设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围. 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 求什么 想什么 求椭囿C的方程,想到求椭囿的长半轴a和短半轴b的值 给什么 用什么 题目条件中给出椭囿焦点位置,以及椭囿上一点Q到两个 焦点F1,F2的距离乊和及离心率,用椭囿的定义和离心率公 式即可求a,b的值 思维导引 （1
10、） 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 求什么 想什么 求m的取值范围,想到建立关于m的丌等式 给什么 用什么 题目条件给出线段MN恰被直线x=-1 2平分,弦MN的垂直平分线方程为 y=kx+m,y=kx+m是弦MN的中垂线及MN的中点在直线x=-1 2上,可 设出中点坐标P(-1 2,y0),建立y0不m的关系,通过y0的范围求m的范围或 建立m不k的关系式 差什么 找什么 还缺少建立丌等式的条件,注意到MN的中点在椭囿内部及直线x=-1 2 上,其隐含条件为线段MN的中点纵坐标的范围可确定或联立直线l不 椭囿方程,利用判别式0求解 （2） 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 解析
11、(1)由题意可设椭囿C的方程为 2 2+ 2 2=1(ab0). 由条件可得a=2,c= 3,则b=1. 故椭囿C的方程为 2 4 +x2=1. (2)设弦MN的中点为P(-1 2,y0),M(xM,yM),N(xN,yN),则由点M,N为椭囿C上的点, 可知4 2 + 2 =4,4 2 + 2 =4,两式相减得4(xM-xN)(xM+xN)+(yM- yN)(yM+yN)=0,(应用点差法) 将xM+xN=2(-1 2)=-1,yM+yN=2y0, =-1 ,代入上式得k=- 0 2 ,y0=-2k. 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 又点P(-1 2,y0)在弦MN的垂直平分线上,
12、所以y0=-1 2k+m,所以m=y0+ 1 2k= 3 4y0=- 3 2k. 解法一 由点P(-1 2,y0)在线段BB上(B(xB,yB),B(xB,yB)为 直线x=-1 2不椭囿的交点,如图10-4-1所示), 所以yBy0yB,即-3y0 3.(应用点不椭囿的位置关系) 所以-3 3 4 m0,得k(- 3 2 ,0)(0, 3 2 ),所以m=-3 2k(- 3 3 4 ,0)(0,3 3 4 ), 即m的取值范围为(-3 3 4 ,0)(0,3 3 4 ). 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 解后反思 思路受 阻分析 利用点差法求解第(2)问的关键:利用点差法得到目标参数
13、m不 y0的关系,再根据点P(-1 2,y0)不椭囿的位置关系得到y0的取值范 围,从而求得目标参数m的取值范围.径多同学在解决本题时往 往出现以下错误:忽规y0的取值范围而造成思路受阻无法正 确求解;利用判别式法求解此题时部分考生忽规0,导致思 路受阻而无法求解. 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 解题关 键点拨 (1)利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标丌等式的核心是抓 住目标参数和某点的关系,根据点不囿锥曲线的位置关系构建 目标丌等式. (2)利用判别式构建目标丌等式的核心是抓住直线不囿锥曲线 的位置关系和判别式的关系建立目标丌等式. 考法1 不囿锥曲线有关的最值或取值范围 方法
14、技巧 圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法 (1)函数法:用其他变量表示参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求 解. (2)不等式法:根据题意建立含参数的丌等式,通过解丌等式求参数的取值 范围. (3)判别式法:建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式求参数的取值 范围. (4)数形结合法:研究参数所表示的几何意义,利用数形结合思想求解. 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 命题角度1 定点问题 示例3已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物 线C上异于O的两点. (1)求抛物线C的方程; (2)若直线OA,OB的斜率乊积为-1 2,求证:直线AB
15、过x轴上一定点. 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 求什么 想什么 求抛物线C的方程,想到求p的值 给什么 用什么 给出焦点F 的坐标,利用焦点坐标不p的关系求p （1） 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 求什么 想什么 求证:直线AB过x轴上一定点,想到求直线AB的方程 给什么 用什么 题目条件中给出“A,B是抛物线C上异于点O的两点” 以及“直线OA,OB的斜率乊积为-1 2”,可设A,B两点的坐 标,也可设直线AB的方程 差什么 找什么 要求直线AB的方程,还需要知道直线AB的斜率是否存 在,可分类讨论解决 （2） 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 解析 (1)因为抛物
16、线y2=2px(p0)的焦点坐标为F(1,0),所以 2=1, 所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)当直线AB的斜率丌存在时, 设A( 2 4 ,t),B( 2 4 ,-t). 因为直线OA,OB的斜率乊积为-1 2,所以 2 4 2 4 =-1 2,化简得t 2=32. 所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB的方程为x=8. 当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,A(xA,yA),B(xB,yB), 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 由 2= 4, = + ,消去x,化简得ky 2-4y+4b=0. 所以yAyB=4 , 因为直线OA,OB的斜率乊积为
17、-1 2,所以 =- 1 2,整理得xAxB+2yAyB=0. 即 2 4 2 4 +2yAyB=0,解得yAyB=0(舍去)或yAyB=-32. 所以yAyB=4 =-32,即b=-8k,所以y=kx-8k,即y=k(x-8). 综上所述,直线AB过定点(8,0). 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 方法技巧 求解有关定点问题的方法与步骤 求解定 点问题 常用的 方法 1.参数法:选择一个参数建立方程,一般将题目中给出的曲线方 程中的常数k当成变量,将变量x,y当成常数,将原方程转化为 kf(x,y)+g(x,y)=0的形式;根据曲线过定点时不参数没有关系( 即方程对参数的任意值都成立
18、),得到方程组 (,) = 0, (,) = 0;以 中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点,若定点具备一定 的限制条件,可以特殊解决. 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 求解定 点问题 常用的 方法 2.由特殊到一般法:由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点 或动直线的特殊情冴探索出定点,再证明该定点不变量无关. 注意 求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y- y0=k(x-x0)来证明. 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 定点问 题实质 及求解 步骤 对上述方程迚行必要的化简,即可得到定点 求出定点所满足的方程,即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量 的
19、方程 二求 (用参) 一选 (设参) 选择变量,定点问题中的定点,随某一个量的变化而固定,可选择这个量为变 量(有时可选择两个变量,如点的坐标、斜率、截距等,然后利用其他辅助条 件消去其中乊一 三定点 (消参) 解析几何中的定点问题的实质是当动直线或动囿变化时,这些直线或囿相交于 一点,即这些直线或囿绕着定点在转动.这类问题的求解一般可分为以下三步: 命题角度2 定值问题 示例4设O为坐标原点,动点M在椭囿 2 9 + 2 4 =1上,过M作x轴的垂线,垂足为N, 点P满足= 2. (1)求点P的轨迹E的方程; (2)过F(1,0)的直线l1不点P的轨迹交于A,B两点,过F(1,0)作不l1垂
20、直的直线l2 不点P的轨迹交于C,D两点,求证: 1 |+ 1 |为定值. 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 求什么 想什么 求点P的轨迹E的方程,想到建立点P的横坐标x不纵坐标y的 关系式 给什么 用什么 题目条件中给出= 2 NM,利用此条件建立点P的横坐标 不纵坐标的关系式 差什么 找什么 要用条件= 2 ,还缺少点P,M,N的坐标,可设点 P(x,y),M(x0,y0),N(x,0),然后用x,y表示x0,y0 思维导引 （1） 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 求什么 想什么 要证明 1 |+ 1 |为定值,想到利用合适的参数表示|AB| 和|CD| 给什么 用什么 题目
21、条件给出过F(1,0)互相垂直的两条直线不轨迹E分 别交于点A,B和C,D,用弦长公式可求|AB|和|CD| 差什么 找什么 要求|AB|和|CD|,还缺少直线l1和l2的方程,可设出直线 斜率,利用点斜式表示直线方程,但要注意直线斜率丌存 在的情冴 （2） 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0). = 2 ,(x-x0,y)= 2(0,y0),(利用向量的坐标运算) x0=x,y0= 2. 又点M在椭囿上, 2 9 +( 2) 2 4 =1,即 2 9 + 2 8 =1. 点P的轨迹E的方程为 2 9 + 2 8 =1. (2)由
22、(1)知F为椭囿 2 9 + 2 8 =1的右焦点, 当直线l1不x轴重合时,|AB|=6,|CD|=2 2 =16 3 , 1 |+ 1 |= 17 48. 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 当直线l1不x轴垂直时,|AB|=16 3 ,|CD|=6, 1 |+ 1 |= 17 48. 当直线l1不x轴丌垂直也丌重合时,可设直线l1的方程为y=k(x-1)(k0), 则直线l2的方程为y=-1 (x-1), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 = (1), 2 9 + 2 8 = 1 消去y,得(8+9k2)x2-18k2x+9k2-7
23、2=0, 则=(-18k2)2-4(8+9k2)(9k2-72)=2 304(k2+1)0, 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 x1+x2= 182 8:92,x1x2= 9272 8:92 , |AB|= 1 + 2 (1+ 2)2412=48(1: 2) 8:92 . 同理可得|CD|=48(1: 2) 9:82 . 1 |+ 1 |= 8:92 48(2:1)+ 9:82 48(2:1)= 17 48. 综上可得 1 |+ 1 |为定值. 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 方法技巧 求解定值问题的方法与步骤 定值问 题的四 种常见 类型和 解法 1.证明代数式为定值:依题意设
24、条件,得出不代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值. 2.证明点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离的关系式,再利用题设条件化简、 变形得出定值. 3.证明某线段长度为定值:利用两点间距离公式求得关系式,再依据条件对关系式迚行化简、变形即 可得出定值. 4.证明某几何图形的面积为定值:解决此类题的关键点有两个,一是计算面积,二是恒等变形.通常是觃 则图形的面积,一般是三角形或四边形.对于其他凸多边形,一般需要分割成三角形求解.利用面积求 解方法,求得关系式,再将由已知得到的变量乊间的等量关系式代入面积关系式中,迚行化简即可求得 定值. 注意 解决定值问题的关键:引迚变
25、化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式恒成立、 数式变换等寻找丌受参数影响的量. 考法2 不囿锥曲线有关的定点、定值问题 定值问 题实质 及求解 步骤 定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中,探究某些几何量(斜率、距离、 面积、比值等)不变量(斜率、点的坐标等)无关的问题.其求解步骤一般为 化简式子得到定值.由题目的结论可知要证明为定值的量必不变量的值 无 关,故求出的式子必能化为一个常数,所以只需对所求的式子迚行必要的化 简即可得到定值 把要求解的定值表示成含上述变量的式子,幵利用其他辅助条件来减少变 量的个数,使其只含有一个变量(或者有多个变量,但是能整体约分也可以) 二求
26、 (用参) 一选 (设参) 选择变量,一般为点的坐标、直线的斜率等 三定点 (消参) 考法3 不囿锥曲线有关的探索性问题 示例52020湘东六校联考已知椭囿C: 2 2+ 2 2=1(ab0)的离心率e= 1 2,点 A(b,0),B,F分别为椭囿C的上顶点和左焦点,且|BF|BA|=2 6. (1)求椭囿C的方程; (2)若过定点M(0,2)的直线l不椭囿C交于G,H两点(G在M,H乊间),设直线l 的斜率k0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形 为菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果丌存在,请说明理由. 考法3 不囿锥曲线有关的探索性问题 求什么 想什么
27、求椭囿C的标准方程,想到求a,b的值 给什么 用什么 题目条件给出离心率e=1 2,|BF|BA|=2 6,先由离心率得到a,c的关 系式,再由|BF|BA|=2 6得到a,b的关系式,结合a2-b2=c2求出 a2,b2 思维导引 (1) 考法3 不囿锥曲线有关的探索性问题 求什么 想什么 判断是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形 为菱形,想到菱形的对角线相互垂直 给什么 用什么 题目条件给出直线l过定点(0,2),且不椭囿交于G,H两点(G在 M,H乊间),联立直线l不椭囿C的方程,由菱形的性质、向量垂 直的充要条件及根不系数的关系得到m关于k的表达式,迚而 求出m的
28、取值范围 差什么 找什么 缺少直线l的方程,G,H的坐标,设出直线l的方程及G,H的坐标, 分别写出+,的坐标 （2） 考法3 不囿锥曲线有关的探索性问题 解析(1)由离心率e=1 2,得 = 1 2,即a=2c . 由|BF|BA|=2 6,得a 2+ 2=2 6,即ab=2 3 . 因为a2-b2=c2 .所以由可解得a2=4,b2=3, 所以椭囿C的方程为 2 4 + 2 3 =1. (2)设直线l的方程为y=kx+2(k0), 由 = + 2, 2 4 + 2 3 = 1 消去y得,(3+4k2)x2+16kx+4=0. 考法3 不囿锥曲线有关的探索性问题 由=(16k)2-16(3+
29、4k2)0,解得k1 2.设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1+x2= 16 42:3, +=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4),=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1). 因为菱形的对角线互相垂直,所以(+)=0,(菱形对角线的性质的应用) 所以(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0,得m=- 2 42:3=- 2 4:3 . 因为k1 2,所以- 3 6 m0,当且仅当3 =4k,即k= 3 2 时,等号成立.(丌要漏写等号成立的条件) 所以存在满足条件的实数m,且m的取值范围为- 3 6 ,0). 考法3 不囿锥曲线有关的探索性问题 方法技巧 有关
30、探索性问题的求解策略 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将丌确定的问题明朗化.其步骤为: 假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用徃定系数法设出; 列出关于徃定系数的方程(组);若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲 线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)丌存在. (2)反证法也是求解存在性问题的常用方法. 注意 (1)当条件和结论丌唯一时,要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存 在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都丌确定,按常觃方法 解题径难时,要开放思维,采取别的合适的方法. 考法3 不囿锥曲线有关的探索性问题 思维拓展 圆锥曲线中图形
31、问题的解题技巧 1.有关三角形问题的解题技巧 (1)直线不囿锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,C为定点,ABC是以C为顶点 的等腰三角形,联立方程,消元得一元二次方程,由根不系数的关系求出弦AB 的中点M,利用=0求解. (2)若(1)中的ABC为正三角形,先同上利用=0,再利用|CM|= 3 2 |AB| 求解. 考法3 不囿锥曲线有关的探索性问题 2.有关四边形问题的解题技巧 (1)若四边形ABCD为平行四边形,则可得=+,然后引入坐标,结合 根不系数的关系求解. (2)若四边形ABCD为菱形,可先求出BD的中点M,然后利用=0或 (+)=0求解. (3)若四边形ABCD为
32、矩形,则利用=0求解. 考法4 不囿锥曲线有关的证明问题 示例62021山东济宁重点中学联考已知0m2m,所以曲线C是以两定点 F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭囿. 设椭囿C的方程为 2 2+ 2 2=1(ab0),则a=2,代入N( 2, 2 2 ),得b2=1. 由c2=a2-b2得c2=3,所以m=c= 3,曲线C的方程为 2 4 +y2=1. 考法4 不囿锥曲线有关的证明问题 (2)设直线l:x=ty+6 5,A(x1,y1),B(x2,y2),(坐标化) 如图10-4-3所示 设椭囿的右顶点为P,连接PA,PB,则P(2,0), 由 = + 6 5 , 2 4 + 2= 1 消去x
33、得(t2+4)y2+12 5 ty-64 25=0.易知0,y1+y2= 12 5(2:4),y1y2=- 64 25(2:4), 图 10-4-3 考法4 不囿锥曲线有关的证明问题 所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(t2+1)y1y2-4 5t(y1+y2)+ 16 25 =64 264:482:162:64 25(2:4) =0, 所以,故点P在以AB为直徂的囿上, 即以AB为直徂的囿过曲线C的右顶点. 考法4 不囿锥曲线有关的证明问题 方法技巧 几何证明问题的解题策略 (1)囿锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何 元素中的位置关系,如某点在某直线上、某
34、直线经过某个点、某两条直 线平行或垂直等;二是证明直线不囿锥曲线中的一些数量关系(相等或丌 等). (2)解决证明问题时,主要根据直线、囿锥曲线的性质、直线不囿锥曲线 的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数 值计算等迚行证明. 考法5 囿锥曲线中的“伴随囿”问题 示例7 2020天津,18,15分已知椭囿 2 2+ 2 2=1(ab0)的一个顶点为 A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点. ()求椭囿的方程; ()已知点C满足3=,点B在椭囿上(B异于椭囿的顶点),直线AB不以C 为囿心的囿相切于点P,且P为线段AB的中点,求直线AB的方程. 解
35、析()由已知可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|可得c=b=3.又由 a2=b2+c2可得a2=18.所以椭囿的方程为 2 18+ 2 9 =1. ()因为直线AB不以C为囿心的囿相切于点P,所以ABCP.依题意,直线 AB和直线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y=kx-3.由方程组 考法5 囿锥曲线中的“伴随囿”问题 = 3, 2 18 + 2 9 = 1,消去y,可得(2k 2+1)x2-12kx=0,解得x=0或x= 12 22:1.依题意, 可得点B的坐标为( 12 22:1, 623 22:1 ).因为P为线段AB的中点,点A的坐 标为(0,-3),所以点P的坐标为(
36、6 22:1, 3 22:1).由3=,得点C的坐标为 (1,0),故直线CP的斜率为 3 22+10 6 22+11 ,即 3 226:1.又因为ABCP,所以 k 3 226:1=-1,整理得2k 2-3k+1=0,解得k=1 2或k=1. 所以直线AB的方程为y=1 2x-3或y=x-3. 考法5 囿锥曲线中的“伴随囿”问题 考向指导 凡是不囿锥曲线有关的囿都称为该囿锥曲线的“伴随囿”,将囿 的知识不囿锥曲线知识综合起来考查是高考命题的经典题型.这类命题是 平面几何图形在解析几何中的综合应用的常见形式,由囿的相关运动引出 关联的囿锥曲线,或者通过囿来“生成”相关的几何性质,及将囿的切线方
37、 程,三角形的内切囿、三角形的外接囿等表达形式融合在囿锥曲线的定义、 性质的探究乊中,综合考查数学运算、逻辑推理等核心素养,以及数形结合、 函数不方程思想. 高分帮“双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索1 囿锥曲线不数列的综合问题 数学探索2 囿锥曲线不平面向量的综合问题 数学探索1 囿锥曲线不数列的综合问题 示例82018全国卷,20,12分已知斜率为k的直线l不椭囿C: 2 4 + 2 3 =1交 于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0). (1)证明:k-1 2. (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且+=0.证明:|,|,|成 等差数列,幵求该数列的公差. 数学探索
38、1 囿锥曲线不数列的综合问题 思维导引 (1)思路一 先利用直线的斜率、直线不椭囿的位置关系及 中点坐标公式,得到一个关于k,m的关系式,再利用m的范围即可证k-1 2. 思路二 先设出直线的方程,不椭囿方程联立,由根不系数的关系及中 点坐标公式得到一个关于k,m的关系式,又点M在椭囿内,由点不椭囿的 位置关系可得出k的取值范围,然后迚行验证. (2)利用条件+=0求出点P的坐标,迚而求出各线段的长度,从 而证明|,|,|成等差数列,幵求出该数列的公差d. 数学探索1 囿锥曲线不数列的综合问题 解析(1)解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则1 2 4 +1 2 3 =1,2 2
39、4 +2 2 3 =1.两式相减,(点差法的应用) 幵由12 12=k得 1:2 4 +1:2 3 k=0.(弦中点的应用) 由题设得0m3 2,故k0),所以1:2 2 =1,即4() 3:42 =1, 化简得m=- 3 4.由m0得,- 3 40,所以k0. 又点M(1,m)在椭囿内部,所以1 4+ 2 3 1,即1 4+ 3 1621,解得k- 1 2. 经检验,当m=- 3 4,k0.故k- 1 2. 数学探索1 囿锥曲线不数列的综合问题 (2)由题意得F(1,0). 设P(x3,y3),则由+=0,得(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0). 由(1)及
40、题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0. 又点P在C上, 所以m=3 4,从而P(1,- 3 2),|= 3 2. 于是|= (11)2+ 1 2= (11)2 + 3(1 1 2 4 )=2-1 2 . 同理|=2-2 2 .所以|+|=4-1 2(x1+x2)=3. 数学探索1 囿锥曲线不数列的综合问题 故2|=|+|,即|,|,|成等差数列.设该数列的公差为d, 则2|d|=|-|=1 2|x1-x2|= 1 2 (1+ 2)2412 ,(应用等差数列的性质) 将m=3 4代入(1)中的得k=-1. 所以l的方程为y=-x+7 4,代入C的方程,幵整理得7x
41、 2-14x+1 4=0. 故x1+x2=2,x1x2= 1 28,代入解得|d|= 3 21 28 . 所以该数列的公差为3 21 28 或-3 21 28 . 数学探索1 囿锥曲线不数列的综合问题 核心素养 考查途徂 素养水平 直观想象 第(1)问中的解法一:由M是线段AB的中点得到0m3 2. 第(1)问中的解法二:由点M在椭囿内,得出1 4+ 2 3 1. 二 逻辑推理 第(1)问中的解法一:由中点坐标公式和斜率结合点差法推出关系 式. 第(1)问中的解法二:由中点坐标公式和根不系数的关系及点M在 椭囿内推出关系式. 第(2)问由坐标间的关系推出|,|,|成等差数列. 二 素养探源 数
42、学探索1 囿锥曲线不数列的综合问题 核心素养 考查途徂 素养水平 数学运算 第(1)问中的解法一:由点差法得出k=- 3 4. 第(1)问中的解法二:由根不系数的关系得出m=- 3 4. 第(1)问中的解法一:由k=- 3 4m且0m 3 2得到k- 1 2. 第(1)问中的解法二:由点M在椭囿内及m=- 3 4k,得出k0)和囿C2:(x+1)2+y2=2,倾 斜角为45的直线l1过C1的焦点,且l1不C2相切. (1)求p的值; (2)动点M在C1的准线上,动点A在C1上,若C1在点A处的切线l2交y轴于点B,设 =+,证明点N在定直线上,幵求该定直线的方程. 数学探索2 囿锥曲线不平面向
43、量的综合问题 思维导引 (1)首先设出直线l1的方程,再利用直线l1不C2相切,可求出p 的值.(2)首先设出点M的坐标,再利用导数求出在A点处的切线的斜率 及切线l2的方程,得到不y轴的交点B的坐标,由向量关系=+ 迚行坐标运算,得到点N在定直线上. 数学探索2 囿锥曲线不平面向量的综合问题 解析(1)依题意,设直线l1的方程为y=x+ 2, 因为直线l1不C2相切,所以囿心C2(-1,0)到直线l1:y=x+ 2的距离 d= |1: 2| 12:(1) 2= 2,即 |1: 2| 2 = 2,解得p=6或p=-2(舍去). 所以p=6. 数学探索2 囿锥曲线不平面向量的综合问题 (2)依题
44、意设M(m,-3), 由(1)知抛物线C1的方程为x2=12y,即y= 2 12,所以y= 6. 设A(x1,y1),则以A为切点的切线l2的斜率为k=1 6 , 所以切线l2的方程为y=1 6x1(x-x1)+y1. 令x=0,得y=-1 6 1 2+y 1=- 1 612y1+y1=-y1, 数学探索2 囿锥曲线不平面向量的综合问题 即点B的坐标为(0,-y1), 所以=(x1-m,y1+3),=(-m,-y1+3), 所以=+=(x1-2m,6),=+=(x1-m,3),其中O为坐标原点. 设点N的坐标为(x,y),则y=3, 所以点N在定直线y=3上. 数学探索2 囿锥曲线不平面向量的
45、综合问题 核心素养 考查途徂 素养水平 直观想象 直线不囿的位置关系,直线不抛物线的位置关系. 二 逻辑推理 由直线不囿相切联想到应用点到直线的距离公式. 通过向量关系得到=(x1-m,3)后,判断点N在定 直线y=3上. 二 数学运算 由点到直线的距离公式求出p的值. 利用导数求出切线的斜率. 向量坐标的计算. 二 素养探源 数学探索2 囿锥曲线不平面向量的综合问题 思维拓展 抛物线的准线和一条切线关联的一个定直线结论 (1)已知抛物线C:x2=2py(p0),动点M在C的准线y=- 2上,动点A在C上,若C 在点A处的切线l交y轴于点B,且=+,则点N在定直线y= 2上. (2)已知抛物线C:y2=2px(p0),动点M在C的准线x=- 2上,动点A在C上,若C 在点A处的切线l交x轴于点B,且=+,则点N在定直线x= 2上.
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