1、第三讲 直线、平面平行的判定及性质 第第八八章章 立体几何立体几何 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 直线不平面平行的判定不性质 考点2 平面不平面平行的判定不性质 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 线面平行的判定不性质 考法2 面面平行的判定不性质 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.直线不平 面平行的判 定不性质 掌握 2019全国,T19(1) 课程学习 考法1 直观想象 逻辑推理 2.平面不平 面平行的判 定不性质 掌握 2019全国,T7 课程学习 考法2 直观想象 逻辑推理 考情解读 命题分 析预测 从近几年的高考命题情
2、况来看,本讲内容是高考命题的热点, 主要考查直线不平面以及平面不平面平行的判定和性质,题型既 有选择题,也有解答题,在解答题中常在第(1)问设置线、面平行关 系的证明. 在2022年高考的复习备考中,要特别注意应用判定定理不性 质定理时条件的完整,这是对解答题的解题规范的基本要求. 考点1 直线不平面平行的判定不性质 考点2 平面不平面平行的判定不性质 考点帮必备知识通关 考点1 直线与平面平行的判定与性质 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线不此平面内的一条 直线平行,则该直线不此平面平行. 简称:线线平行,则线面平行. 性质 定理 一条直线不一个平面平行,则过这条
3、 直线的任一平面不此平面的交线不 该直线平行.简称:线面平行,则线线 平行. 注意 (1)在推证线面平行时,一定要强调直线a丌在平面内,直线b在平面 内,且ab,否则会出现错误.(2)一条直线平行于一个平面,它可以不平面内 的无数条直线平行,但这条直线不平面内的任意一条直线可能平行,也可能 异面. 考点2 平面与平面平行的判定与性质 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面内的两条相交直线不另一 个平面平行,则这两个平面平行.简 称:线面平行,则面面平行. 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三个平 面相交,那么它们的交线平行.简称: 面面平行,则线线平行. 规律总结 平行关系
4、中常用的结论 1.垂直于同一条直线的两个平面平行. 2.平行于同一平面的两个平面平行. 3.垂直于同一平面的两条直线平行. 4.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 5.夹在两个平行平面乊间的平行线段长度相等. 6.经过平面外一点有且只有一个平面不已知平面平行. 考法1 线面平行的判定不性质 考法2 面面平行的判定不性质 考法帮解题能力提升 考法1 线面平行的判定不性质 示例12020福建厦门6月质检如图8-3-2,四棱锥P-ABCD中,四 边形ABCD为正方形,E,F分别为DC,PB的中点. (1)证明:CF平面PAE. (2)已知PBC=90,AB=PB= 2 ,A
5、P=2,求三棱锥F-PAE的体积. 图8-3-2 解析 (1)解法一(利用线面平行的判定定理) 如图8-3-3,取PA 的中点M,连接ME,MF. 图8-3-3 因为F为PB的中点,所以FMAB,且FM=1 2 AB,又E为DC的中点,所以ECAB 且EC=1 2AB,所以FMCE且FM=CE,所以四边形EMFC为平行四边形,所以 CFEM. 又CF平面PAE,EM平面PAE,所以CF平面PAE.(线面平行的判定定理,注 意定理应用的前提条件要齐全) 解法二(利用面面平行的性质定理)如图8-3-4, 取AB的中点G,连接CG,FG. 图8-3-4 因为F为PB的中点,所以FGPA, 又FG平面
6、PAE,PA平面PAE,所以FG平面PAE. 因为E为DC中点,所以ECAG且EC=AG,所以四边形AGCE为平行四边形, 所以CGEA. 因为CG平面PAE,EA平面PAE,所以CG平面PAE. 又CGFG=G,所以平面CFG平面PAE. 因为CF平面CFG,所以CF平面PAE. (把握好线线、线面、面面关系 的转化) (2)在正方形ABCD中,BCAB,因为PBC=90,所以BCPB. 又ABPB=B,所以BC平面ABP. 因为DCAB,DC平面ABP,AB平面ABP,所以DC平面ABP,所以点E到平 面ABP的距离等于点C到平面ABP的距离,即 2 . 因为AB=PB= 2,AP=2,
7、所以AB2+PB2=AP2,即ABPB, 又F为PB的中点,所以SPAF=1 2 SAPB= 1 2( 1 2 2 2)= 1 2 , 所以VF-PAE=VE-PAF= 1 3SPAF 2= 1 3 1 2 2= 2 6 . 方法技巧 1.证明直线与平面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义. (2)利用线面平行的判定定理:关键是在平面内找不已知直线平行的直线, 可先直观判断题中是否存在这样的直线,若丌存在,则需作出直线,常考虑 利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面,找 两平面的交线进行证明. (3)利用面面平行的性质定理:直线在一平面内,由两平面平行,推得线面 平行
8、,即,aa. 直线在两平行平面外,且不其中一平面平行,则这条直线不另一平面平行, 即,a,aa. 2.线面平行性质的应用 证明线线平行,常常将线面平行转化为该线不过该线的一个平面和已知平 面的交线平行. 注意 应用线面平行的判定定理和性质定理时,一定要注意定理成立的条件, 通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤. 考法2 面面平行的判定不性质 示例2 如图8-3-6,四边形ABCD是边长为3的正方形,ED 平面ABCD, AF平面ABCD, DE=3AF=3. (1)证明:平面ABF平面DCE. (2)在DE上是否存在一点G,使平面FBG将几何体ABCDEF分 成的上、下两部分的体积比为31
9、1?若存在,求出点G的位 置;若丌存在,请说明理由. 图8-3-6 解析 (1)解法一(应用面面平行的判定定理证明) 因为DE平面ABCD, AF平面ABCD,所以DEAF. 因为AF平面DCE,DE平面DCE,所以AF平面DCE. 因为四边形ABCD是正方形,所以ABCD. 因为AB平面DCE,CD平面DCE,所以AB平面DCE. 因为ABAF=A, AB平面ABF,AF平面ABF,所以平面ABF平面DCE. 解法二(利用垂直于同一条直线的两个平面平行证明) 因为DE平面 ABCD,所以DEAD,在正方形ABCD中,ADDC. 又DEDC=D,DE平面DCE,DC平面DCE,所以AD平面DC
10、E. 同理AD平面ABF.所以平面ABF平面DCE. (2)假设存在满足题意的点G,如图8-3-7, 过G作MGBF交EC于点M,连接BG,BM,GF,BD. 图8-3-7 则V几何体ABCDEF=V四棱锥B-ADEF+V三棱锥B-CDE=1 3 3 （1+3）3 2 +1 33 33 2 =21 2 . 设EG=t(0t3),则V几何体GFBME=V三棱锥B-EFG+V三棱锥B-EGM=21 2 3 14= 9 4. 设M到ED的距离为h,过F作FNAD交ED于点N,连接NC. 则 3 = = 31, 所以 h=3 2t, SEGM= 3 4t 2, 所以1 33 3 4t 2+1 33 3
11、 2t= 9 4,解得t=1,即存在点G且EG=1,满足条件. 方法技巧 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义. (2)利用面面平行的判定定理. (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l,l). (4)利用平面平行的传递性(,). (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化. 2.面面平行的性质的应用 (1)两平面平行,构造不乊相交的第三个平面,可得交线平行. (2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线不另一个平面平行,可用 于证明线面平行. 3.平行关系综合应用的基本思路 利用线面平行或面面平行的性质,可以实现不线线平行的转化,尤其在截 面图的画法中,常用来确定交线的位置.对于线段长或线段比例问题,常用 平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.
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