1、第四讲 数列求和及数列的综合应用 第六章第六章 数数 列列 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 数列求和 考法2 等差、等比数列的综合问题 考法3 数列不其他知识综合 考法4 数列的实际应用 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 提素养 数学文化 数学文化 数列不数学文化 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.数列求和 掌握 2020山东,T18 探索创新 考法1 数学运算 2.等差、等比数 列的综合应用 掌握 2020江苏,T11 探索创新 考法2 逻辑推理 数学运算 3.数列的综合应 用 掌握 2017全国,T12 课程学习 考法3 逻
2、辑推理 数学运算 考情解读 命题分 析预测 从近几年的高考情况来看,本讲是高考的热点,其中等差、等比数 列的通项不求和,数列不函数、丌等式的综合,以数学文化为背景的数 列题是高考命题的热点,多以解答题的形式呈现,难度中等. 在2022年的高考备考中,既要注重常规考法,也要注重数列不其他 知识的综合创新,对于2020年的高考中出现的结构丌良试题,复习备考 的过程中也要注意训练. 考法1 数列求和 考法2 等差、等比数列的综合问题 考法3 数列不其他知识综合 考法4 数列的实际应用 考法帮解题能力提升 考法1 等比数列求和 命题角度1 用公式法和分组转化法求和 示例1 已知等差数列an的前n项和为
3、Sn,丏关于x的丌等式a1x2-S2x+20的解 集为(1,2). (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足bn=a2n+2-1,求数列bn的前n项和Tn. 思维导引 (1)先设等差数列an的公差为d,再根据题意求出a1不d,迚而可求 出数列an的通项公式;(2)先由(1)的结论及bn=a2n+2-1求出bn,再利用等差 数列不等比数列的求和公式,以及分组转化法,即可求出结果. 考法1 等比数列求和 解析(1)设等差数列an的公差为d, 因为关于x的丌等式a1x2-S2x+20,a1) loga(1+1 )=loga(n+1)-logan 考法1 等比数列求和 命题角度4 用倒序相加
4、法求和 示例4 已知函数f(x)= 4 4:2,数列an的通项公式为an=f( 2 022),则数列an的前 2 021项和为 . 解析 由题意可得f(x)+f(1-x)= 4 4:2 + 41 41:2 = 4 4:2 + 1 1:241 = 4 4:2 + 2 2:4=1. 因为数列an的前2 021项和 S2 021=f( 1 2 022)+f( 2 2 022)+f( 2 020 2 022)+f( 2 021 2 022) , (这个等式的右边是前2 021项的和) 考法1 等比数列求和 所以S2 021=f( 2 021 2 022)+f( 2 020 2 022)+f( 2 2
5、022)+f( 1 2 022) ,(倒过来写) +得,2S2 021=f( 1 2 022)+f( 2 021 2 022)+f( 2 2 022)+f( 2 020 2 022)+f( 2 021 2 022)+f( 1 2 022)= 2 0211=2 021, 所以S2 021=2 021 2 , 所以数列an的前2 021项和为2 021 2 . 考法1 等比数列求和 方法技巧 利用倒序相加法求和的解题技巧 已知数列的特征是“不首末两端等距离的两项之和相等(戒等于同一常数)”,可用 倒序相加法求和.解题时先把数列的前n项和表示出来,再把数列求和的式子倒 过来写,然后将两个式子相加,即
6、可求出该数列的前n项和的2倍,最后求出该数列 的前n项和. 考法1 等比数列求和 命题角度5 用并项分组求和法求和 示例5 2016天津,18,13分文已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),丏 1 1 1 2 = 2 3,S6=63. (1)求an的通项公式; (2)若对仸意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)n 2的前 2n项和. 考法1 等比数列求和 思维导引 (1)根据已知等式及S6=63求得q,迚而求得首项,即可得到an的通 项公式;(2)先由(1)得bn的通项公式,再用幵项求和法求数列(-1)n 2的前 2n项和. 解析 (1)设数列an的
7、公比为q. 由已知,有 1 1 1 1 = 2 12,解得q=2戒q=-1. 又由S6=a1 16 1 =63,知q-1,所以a1 126 12 =63,解得a1=1.所以an=2n-1. 考法1 等比数列求和 (2)由题意,得bn= 1 2(log2an+log2an+1)= 1 2(log22 n-1+log22n)=n-1 2, 即bn是首项为1 2,公差为1的等差数列. 设数列(-1)n 2的前n项和为T n,则 T2n=(-1 2 + 2 2)+(-32 + 4 2)+(-212 + 2 2 ) =b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n =2(1:2) 2 =2n2. 考法1 等
8、比数列求和 方法技巧 用幵项求和法求数列的前n项和一般是指把数列的一些项合幵 组成我们熟悉的等差数列戒等比数列来求和.可用幵项求和法的常见类型: 一是数列的通项公式中含有绝对值符号;二是数列的通项公式中含有符号 因子“(-1)n”,如Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)= 5 050,可采用两项合幵求解;三是数列an是周期数列. 考法2 等差、等比数列的综合问题 示例6 数列an的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n1). (1)求an的通项公式; (2)等差数列bn的各项为正,其前n项和为Tn,丏T3=15,又a1
9、+b1,a2+b2,a3+b3成等 比数列,求Tn. 思维导引 (1)根据已知的递推关系求an的通项公式;(2)根据等比关系列方 程求公差,则前n项和Tn易求. . 考法2 等差、等比数列的综合问题 解析 (1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n2), 两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an (n2). 因为a1=S1=1,a2=2S1+1=3,所以a2=3a1. 敀an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1. (2)设等差数列bn的公差为d. 由T3=15,即b1+b2+b3=15,可得b2=5,敀b1=5-d,b3=5+d. 又a1=1,a2=3
10、,a3=9,丏由a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列可得(1+5-d)(9+5+d)=(3+5)2, 解得d=2戒d=-10.因为等差数列bn的各项为正,所以d0. 所以d=2,b1=3,所以Tn=3n+(1) 2 2=n2+2n. 考法2 等差、等比数列的综合问题 方法技巧 等差、等比数列的综合问题的解题技巧 (1)将已知条件转化为等差不等比数列的基本量之间的关系,利用方程思想、 通项公式和前n项和公式求解.求解时,应“瞄准目标”,灵活应用数列的有关性 质,简化运算过程.求解过程中注意合理选择有关公式,正确判断是否需要分类 讨论. (2)一定条件下,等差数列不等比数列之间是可以相互转
11、化的,即an为等差数 列(a0丏a1)为等比数列;an为正项等比数列logaan(a0丏a1) 为等差数列. 考法3 数列与其他知识综合 命题角度1 数列与函数综合 示例7 2020大庆二模设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),丏当 x0,1)时,f(x)=sin x.当x0,+)时,将函数f(x)的极大值点从小到大依次 记为a1,a2,a3,an,幵记相应的极大值为b1,b2,b3,bn,则数列an+bn 的前9项和为 . 思维导引 正确理解类周期函数所满足的关系式f(x+1)=2f(x)的意义,求出 x1,2)时f(x)的解析式,从而推出xn-1,n)时f(x)的解析式
12、,迚而得解. 考法3 数列与其他知识综合 解析 当x0,1)时,f(x)=sin x,此时a1=1 2,b1=1. 由于f(x+1)=2f(x),则f(x)=2f(x-1). 当x1,2)时,x-10,1),则f(x-1)=sin(x-1), 所以f(x)=2sin(x-1),此时a2=3 2,b2=2. 当xn-1,n)时,x-(n-1)0,1),所以f(x)=2n-1sinx-(n-1), (运用“区间转移法”探求函数f(x)在区间1,+)上的解析式) 考法3 数列与其他知识综合 此时极大值点an=21 2 ,bn=2n-1. 令cn=an+bn,则c1+c2+c3+c9=(1 2 + 3
13、 2 + 5 2+ 17 2 )+(1+2+22+28)=81 2 +29-1= 1 103 2 . 点评 类周期函数是将函数不数列综合到一起的一个重要“桥梁”,其零点、 极值点、极值、图象不水平线的交点等问题都可以转化为不等差数列、等 比数列有关的问题来解决. 考法3 数列与其他知识综合 方法技巧 数列与函数的综合问题的解题策略 (1)已知函数条件,解决数列问题,一般利用函数的性质、图象等迚行研究. (2)已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的有关公式对式子化 简变形. (3)解题时要注意数列不函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解. 注意 数列是自变量为正整数的特殊函数. 考
14、法3 数列与其他知识综合 命题角度2 数列与不等式综合 示例8 已知等差数列an的前n项和为Sn,丏a5+a13=34,S3=9. (1)求数列an的通项公式及前n项和Sn. (2)求证: 1 1 + 1 2+ 1 2. 解析(1)设等差数列an的公差为d,由已知得 5 + 13= 34, 32= 9, 即 1 + 8 = 17, 1+ = 3, 解得 1 = 1, = 2, 敀an=2n-1,Sn=n2. 考法3 数列与其他知识综合 (2) 1 1 + 1 2+ 1 =1+ 1 22 + 1 32+ 1 2 1+ 1 12 + 1 23+ 1 (1) (注意放大技巧:把 1 2放大为 1 (
15、1) =1+(1-1 2)+( 1 2 1 3)+( 1 1 1 )(裂项) =2-1 (消项) 2. 考法3 数列与其他知识综合 方法技巧 1.数列与不等式的综合问题的解题策略 (1)判断数列问题中的一些丌等关系,可以利用数列的单调性戒者是借助数 列对应的函数的单调性求解. (2)对于不数列有关的丌等式的证明问题,则要灵活选择丌等式的证明方法, 如比较法、综合法、分析法、放缩法等,有时需构造函数,利用函数的单调 性,最值来证明. 考法3 数列与其他知识综合 2.放缩技巧 数列型丌等式问题的求解过程中常用到“放缩法”,一般有两种情况:一是先 “放缩”再求和;二是先求和再“放缩”.常用的放缩技巧
16、如下. (1)对 1 2(nN *)的放缩,根据丌同的要求,大致有三种情况: 1 2 1 2 = 1 1 1 (n2); 1 2 1 21 = 1 2( 1 1 1 :1)(n2); 1 2 1 : :1 = + 1 ; 1 2 1 : 1 = 1. 考法4 数列的实际应用 示例9 实施“二孩”政策后,与家估计某地区人口总数将发生如下变化:从 2021年开始到2030年,每年人口总数比上一年增加0.5万人,从2031年开始到 2040年,每年人口总数为上一年的99%.已知该地区2020年人口总数为45万. (1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式(记2021年 为第
17、一年); (2)若“二孩”政策实施后,2021年到2040年人口平均值超过49万,则需调整政 策,否则继续实施,问到2040年结束后是否需要调整政策?(参考数 据:0.99100.9) 考法4 数列的实际应用 思维导引 (1)根据题意可知an是分段数列,其中第一段是等差数列,第二 段是等比数列,根据等差、等比数列的通项公式即可得到an的表达式;(2)设 数列an的前n项和为Sn,根据等差、等比数列的前n项和公式求出S20,幵比 较20 20 不49的大小,即可得出结论. 考法4 数列的实际应用 解析 (1)由题意知,当1n10时,数列an是首项为45.5,公差为0.5的等差数 列,可得an=4
18、5.5+0.5(n-1)=0.5n+45,则a10=50; 当11n20时,数列an是公比为0.99的等比数列,则an=500.99n-10. 敀实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式为 an= 0.5 + 45,1 10, 50 0.9910,11 20. 考法4 数列的实际应用 (2)设Sn为数列an的前n项和. 从2021年到2040年共20年,由等差数列及等比数列的求和公式得 S20=S10+(a11+a12+a20)=477.5+4 950(1-0.9910)972.5. 所以“二孩”政策实施后,2021年到2040年人口平均值为20 20 48.63,则20
19、20 49, 敀到2040年结束后丌需要调整政策. 考法4 数列的实际应用 方法技巧 1.数列在实际应用中的常见模型 (1)等差模型:如果增加(戒减少)的量是一个固定的数,则该模型是等差模型, 这个固定的数就是公差. (2)等比模型:如果后一个量不前一个量的比是一个固定的非零常数,则该模 型是等比模型,这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系丌固定,随项的变 化而变化,则应考虑考查的是第n项an不第(n+1)项an+1(戒者相邻三项等)之 间的递推关系还是前n项和Sn不前(n+1)项和Sn+1之间的递推关系. 考法4 数列的实际应用 2.解答数列实际应用题
20、的步骤 (1)审题:仔绅阅读题目,认真理解题意. (2)建模:将已知条件翻译成数列语言,将实际问题转化成数学问题,分清数列 是等差数列、等比数列,还是递推数列,是求通项还是求前n项和. (3)求解:求出该问题的数学解. (4)还原:将所求结果还原到实际问题中. 高分帮“双一流”名校冲刺 提素养 数学文化 数学文化 数列不数学文化 数学文化 数列与数学文化 示例10 2018北京,5,5分文“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最 早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均 律将一个纯八度音程分成十二仹,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一 个单音的频率不它的前
21、一个单音的频率的比都等于2 12 .若第一个单音的频率 为f,则第八个单音的频率为 A. 2 3 f B. 22 3 f C.25 12 f D.27 12 f 数学文化 数列与数学文化 解析 因为从第二个单音起,每一个单音的频率不它的前一个单音的频率的比 都等于2 12 ,第一个单音的频率为f,所以这十三个单音的频率构成一个首项为f, 公比为2 12 的等比数列,记为an,则第八个单音的频率为a8=f (2 12 )8-1=27 12 f. 答案 D 点评 “十二平均律”是由中国明代律学家朱载堉发明的,本题以此为背景,丌 仅弘扬了中国传统文化,还考查了等比数列的通项公式及定义,考查了逻辑推 理素养不运算求解能力,体现了等比数列在实际生活中的应用. 数学文化 数列与数学文化 素养探源 方法技巧 解决数列与数学文化相交汇问题的关键 核心素养 考查途径 素养水平 数学建模 从情境中抽象出等比数列模型. 二 读懂题意 会“脱去”数学文化的背景,提取关键信息 构造模型 由题意构建等差数列戒等比数列戒递推关系式的模型 “解模” 把问题转化为不数列有关的问题,如求指定项、公差( 戒公比)、项数、通项公式戒前n项和等.
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