1、第二讲 三角恒等变换 第四章第四章 三角函数三角函数、解三角形、解三角形 目 录 考点帮必备知识通关 考点 三角恒等变换 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 公式的应用 考法2 三角函数式的化简 考法3 三角函数的求值 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 明易错 误区警示 易错 不会缩小角的范围而致误 考情解读 考点 内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.两角和与差 的正弦、余弦、 正切公式 掌握 2020全国,T5 课程学习 考法1,3 数学运算 2.二倍角的正 弦、余弦、正 切公式 掌握 2020全国,T13 课程学习 考法1,3 数学运算 3.简
2、单的三角 恒等变换 理解 2019江苏,T13 探索创新 考法1,3 数学运算 逻辑推理 命题分 析预测 本讲在近五年高考中均有考查,重点考查两角和与差的正弦 、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用,主要体现在:(1) 三角函数式的化简;(2)三角函数的求值;(3)通过恒等变换研究函 数的性质等.预计 2022 年高考命题趋势变化不大,注意三角恒等 变换与三角函数的图象和性质、解三角形、平面向量的综合命 题,难度中等偏下. 在2022年复习备考中要切实掌握公式的正用、逆用和变形 用,注意角和函数名的变换是解决三角恒等变换的关键. 考情解读 考点 三角恒等变换 考点帮必备知识通关 考点 三角恒
3、等变换 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S():sin()=sin cos cos sin . C():cos()=cos cos sin sin . T():tan()= tantan 1tantan (,+k,kZ). 注意 在公式T()中,都不等于k+(kZ),即保证tan ,tan , tan()都有意义. 考点 三角恒等变换 2.二倍角公式 S2:sin 2=2sin cos. C2:cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2. T2:tan 2= 2tan 1tan2(k+ 2且 2 + 4,kZ). 说明 对于两角和的正弦、余弦、正切公式,分别令=,可得
4、二倍角的正弦、 余弦、正切公式. 考点 三角恒等变换 3.辅助角公式 asin+bcos= 2+ 2sin(+)(其中sin = 2+2,cos= 2+2,tan = ). 说明 常见形式有sin x+cosx= 2sin(x+ 4),sin x+ 3cosx=2sin(x+ 3), 3sin x+ cos x=2sin(x+ 6). 考点 三角恒等变换 觃徇总结 1.两角和与差的正切公式的变形 tan tan =tan()(1tan tan );tan tan =1-tan+tan tan(+) =tantan tan() -1. 2.降幂公式:sin2=1cos2 2 ;cos2=1+co
5、s2 2 ;sin cos=1 2sin 2. 3.升幂公式:1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2;1+sin 2=(sin +cos)2; 1-sin 2=(sin -cos)2. 4.其他常用变式 sin 2= 2sincos sin2+cos2= 2tan 1+tan2;cos 2= cos2sin2 cos2+sin2 =1tan 2 1+tan2 ;tan 2= sin 1+cos= 1cos sin . 考法1 公式的应用 考法2 三角函数式的化简 考法3 三角函数的求值 考法帮解题能力提升 考法1 公式的应用 命题角度1 公式的正用、逆用、变形用 示例1(1)2
6、021山东新高考模拟已知sin(-)cos-cos(-)sin =3 5,为第三 象限角,则cos(+ 4)= . (2)(1+tan 20)(1+tan 25)= . 考法1 公式的应用 解析(1)sin(-)cos-cos (-)sin =sin(-)cos-cos (-)sin =sin(- )=sin(-)=-sin =3 5, (两角差的正弦公式的逆用) sin =-3 5,因为为第三象限角,所以cos=- 4 5,所以cos (+ 4)=coscos 4- sin sin 4=(- 4 5) 2 2 -(-3 5) 2 2 =- 2 10.(两角和的余弦公式的正用) (2)由题意知
7、,(1+tan 20)(1+tan 25)=1+tan 20+tan 25+tan 20tan 25. 因为tan 20+tan 25=tan 45(1-tan 20tan 25)=1-tan 20tan 25. 所以(1+tan 20)(1+tan 25)=1+1-tan 20tan 25+tan 20 tan 25=2. (两角和的正切公式的变形用) 考法1 公式的应用 方法技巧 应用三角函数公式的策略 1.正用三角函数公式时,要记住公式的结构特征和符号变化觃徇,如两角 差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号反”. 2.逆用公式时,要准确找出所给式子和公式的异同,创造条件逆用公式. 3.注意
8、和差角和倍角公式的变形用,详见P085觃徇总结. 4.三角恒等变换常与同角三角函数基本关系、诱导公式等综合应用. 说明 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系. (2)tan tan ,tan +tan (或tan -tan ),tan(+)(或tan(-)三者中可以 知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题. 考法1 公式的应用 命题角度2 角(函数名)的变换 示例22018江苏,16,14分已知,为锐角,tan =4 3,cos(+)=- 5 5 . (1)求cos 2的值; (2)求tan(-)的值. 解析 (1)因为tan =4 3 = sin cos,所以s
9、in = 4 3cos. 因为sin2+cos2=1,所以cos2= 9 25, 因此,cos 2=2cos2-1=- 7 25. 考法1 公式的应用 (2)因为,为锐角,所以+(0,). 又cos(+)=- 5 5 ,所以sin(+)= 1cos2( + ) = 2 5 5 , 因此tan(+)=-2. 因为tan =4 3, 所以tan 2= 2tan 1tan2=- 24 7 , 因此tan(-)=tan2-(+)= tan2tan(+) 1+tan2tan(+)=- 2 11. 考法1 公式的应用 方法技巧 1.三角函数求值中的变角技巧 (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为
10、两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应 用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 2.常见的配角技巧 2=(+)+(-);=(+)-=(-)+;-=(-)+(-);15=45-30; 4+= 2-( 4-)等. 3.函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系,常用到同角三角函数间的基本关系、诱导公 式等. 考法2 三角函数式的化简 示例3 化简: 2cos21 2tan( 4)sin 2( 4+) = . 解析 原式= cos2 2tan( 4)cos 2( 4) = cos2 2sin( 4)cos( 4) =
11、cos2 sin( 22) = cos2 cos2=1. 点评 该题化简中运用了“同化原则”,先根据角( 4-)与角( 4+)互余的关 系,将sin( 4+)化成cos( 4-),能减少角,再采用切化弦法,减少函数名,最后 分母逆用二倍角公式,与分子化成同次,徆容易得出结果. 考法2 三角函数式的化简 方法技巧 1.三看原则 一看角 通过看角之间的差别与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用 公式. 二看函 数名 看函数名之间的差别与联系,从而确定使用的公式,常用的有诱 导公式,弦切互化等,最后实现名称的统一. 三看结 构特征 分析结构特征,找到变形的方向,常见的有:遇到分式要通分,遇到 根式要
12、升幂,常值代换,逆用变形公式,分解与组合,配方与平方等 ,使其更贴近某个公式或某个期待的目标. 考法2 三角函数式的化简 2.化简方法 (1)弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂; (2)常值代换,三角公式的正用、逆用、变形用; (3)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本觃徇,根号中 含有三角函数式时,一般需要升次. 3.化简要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少; (2)式子中的分母尽量不含三角函数; (3)尽量使被开方数不含三角函数等. 考法3 三角函数的求值 命题角度1 给角求值 示例4 (1)sin 133cos 197+cos 4
13、7cos 73= . (2)(tan 10- 3)cos10 sin50 = . 思维导引 (1)通过诱导公式、两角和的余弦公式的逆用求解.(2)注意到 10,50与特殊角60的关系:10+50=60,同时 3=tan 60,考虑利用特殊 值化切为弦;也可直接将tan 10化为 sin10 cos10,然后通分变为 sin103cos10 cos10 , 再考虑用引入辅助角的方法求解. 考法3 三角函数的求值 解析 (1)sin 133cos 197+cos 47cos 73=-sin 47 cos 17+cos 47cos 73= -sin 47sin 73+cos 47cos 73=cos
14、(47+73)=cos 120=-1 2. (两角和的余弦公式的逆用) (2)解法一 原式=(tan 10-tan 60)cos10 sin50=( sin10 cos10 sin60 cos60) cos10 sin50 = sin(50) cos10cos60 cos10 sin50=-2. 解法二 原式=( sin10 cos10 3)cos10 sin50 = sin103cos10 cos10 cos10 sin50 = 2(1 2sin10 3 2 cos10) sin50 = 2sin(1060) sin50 =-2. 考法3 三角函数的求值 方法技巧 给角求值问题的解题策略 一
15、般给出的角都是非特殊角,求解时要观察所给角与特殊角的关系及三角函数 名称,然后进行角的变换和式子结构的变换,通过公式的正用、逆用及变形应 用化简求值.变换思路:(1)化为特殊角的三角函数值;(2)化为正、负相消的项消 去求值;(3)化为分子分母相约形式求值. 注意 注意特殊角的应用,当式子中出现1 2,1, 3 2 , 3等数时,要考虑引入特殊角, 通过“值变角”构造适合公式的形式. 考法3 三角函数的求值 命题角度2 给值求值 示例5(1)已知为锐角,为第二象限角,且cos(-)=1 2,sin(+)= 1 2,则sin(3-)= A.-1 2 B. 1 2 C.- 3 2 D. 3 2 (
16、2)已知sin +cos=2 3 3 ,则sin2(- 4)= . 考法3 三角函数的求值 思维导引 (1)根据已知角与所求角之间的关系,可以从两个角度求解:一是3- =2+(-),需先利用2=(+)+(-)及为锐角求出2的值,进而求得结果;二 是3-=2(-)+(+),需先利用倍角公式求出cos 2(-)和sin 2(-)的值,进而 求得结果. (2)根据所求目标式,将已知式化为一角一函数的形式,然后利用同角三角函 数的基本关系求值即可;或将已知式两边同时平方,求出sin 2的值,再利用降 幂公式求解即可. 考法3 三角函数的求值 解析 (1)解法一 因为为锐角,为第二象限角,cos(-)0
17、,sin(+)0, 所以-为第四象限角,+为第二象限角,(符号定象限) 因此sin(-)=- 3 2 ,cos(+)=- 3 2 , 所以sin 2=sin(-+)=- 3 2 (- 3 2 )+1 2 1 2=1. 因为为锐角,所以2= 2, 所以sin(3-)=sin(2+-)=cos(-)=1 2,故选B.(变换角求值) 考法3 三角函数的求值 解法二 同解法一可得,sin(-)=- 3 2 ,cos(+)=- 3 2 . 所以cos 2(-)=2cos2(-)-1=2(1 2) 2-1=-1 2, sin 2(-)=2sin(-)cos(-)=2(- 3 2 )1 2=- 3 2 .
18、所以sin(3-)=sin2(-)+(+)=sin 2(-) cos(+)+cos 2(-) sin(+)= (- 3 2 )(- 3 2 )+(-1 2) 1 2 = 1 2.故选B.(变换角求值) 考法3 三角函数的求值 (2)解法一 由已知可得sin +cos= 2( 2 2 sin + 2 2 cos)= 2cos(- 4)= 2 3 3 , 所以cos(- 4)= 2 3 3 2 = 6 3 . 故sin2(- 4)=1-cos 2(- 4)=1-( 6 3 )2=1 3. 解法二 将sin +cos=2 3 3 两边同时平方, 得sin2+2sin cos+cos2=4 3,即si
19、n 2= 1 3. 所以sin2(- 4)= 1cos(2 2) 2 = 1sin2 2 = 11 3 2 = 1 3. 考法3 三角函数的求值 方法技巧 给值求值问题的解题策略 给出某些角的三角函数值求解另外一些角的三角函数值,解题关键是把 待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来或将已知条件与所求 式子建立联系,求解时要注意角的范围不确定时应分类讨论.还要注意公 式的灵活运用,会拆角、拼角等技巧. 考法3 三角函数的求值 命题角度3 给值求角 示例6 在平面直角坐标系xOy中,锐角,的顶点为坐标原点O,始边为x轴的 非负半轴,终边与单位囿O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为2 7 7
20、 ,点Q的 纵坐标为3 3 14 .则2-的值为 . 思维导引 先根据三角函数的定义和已知求出cos,sin ,然后利用同角三角 函数的基本关系求出sin ,cos,再确定2-的取值范围,求出2-的三角函数 值,从而确定2-的值. 考法3 三角函数的求值 解析 由已知可知cos=2 7 7 ,sin =3 3 14 .(利用三角函数的定义求值) 又,为锐角,所以sin = 21 7 ,cos=13 14. (利用同角三角函数的基本关系求值,注意判断符号) 因此cos 2=2cos2-1=1 7,sin 2=2sin cos= 4 3 7 ,(利用倍角公式求值) 所以sin(2)= 4 3 7
21、13 14 1 7 3 3 14 = 3 2 . 因为为锐角,所以020,所以02 2 , (缩小角的范围) 考法3 三角函数的求值 又为锐角,所以 2 20缩小角2,的范围) 所以cos 2=- 1sin22=-2 5 5 . 因为,3 2 , 所以+(5 4,2),-( 2, 5 4 ). 易错 不会缩小角的范围而致误 又sin(-)= 10 10 0,所以-( 2,),(根据sin(-)0缩小角-的范围) 所以cos(-)=- 1sin2()=-3 10 10 .所以cos(+)=cos2+(-)(拼凑角) =cos 2cos(-)-sin 2sin(-)(利用两角和的余弦公式化简) =
22、-2 5 5 (-3 10 10 )- 5 5 10 10 = 2 2 . 又+(5 4 ,2),所以+=7 4 . 答案 A 易错 不会缩小角的范围而致误 素养探源 核心素养 考查途径 素养水平 逻辑推理 找出已知角与所求角之间的关系,根据不等式 的性质推出角的范围,由三角函数值的正负缩 小角的范围. 二 数学运算 同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的 三角函数值的求解. 一 易错 不会缩小角的范围而致误 易错警示 本题的易错点是不能根据题设条件缩小角2,及-的取值范围,导致 求cos(+)时出现两解而造成失误.利用三角函数值求角时,要充分结合条件,先对 角的范围精准定位,再选取合适的三角函数进行求值,最后确定所求角. 方法技巧 缩小角的范围的常用策略 一是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围,如本题中2 2,2,且sin 2= 5 5 0,则2( 2,);二是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较,缩到更 小的范围;三是灵活运用条件中角的取值范围,运用不等式的性质(如“同向可加性”) 求解.
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