1、第一讲 导数的概念及运算 第三章 导数及其应用 目 录 考点帮 必备知识通关 考点1 导数的概念和几何意义 考点2 导数的运算 考法帮 解题能力提升 考法1 导数的运算 考法2 导数的几何意义的应用 考情解读 考点 内容 课标 要求 考题 取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.导数的 概念及几 何意义 理解 2020全国,T15 课程学习 考法2 直观想象 数学运算 2.导数的 运算 掌握 2020全国,T15 课程学习 考法1 数学运算 逻辑推理 考情解读 命题分 析预测 从近五年的考查情况来看,本讲一直是高考的必考内容,主要 考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义.
2、导数的运算一 般丌单独考查,而是在考查导数的应用时不单调性、极值、最值 等综合考查,有关导数的几何意义的考查,最常见的是求切线方程 和已知切线方程求参数的值,题型为选择题、填空题或解答题的 第(1)问,难度中等偏下.预计2022年高考变化丌大,但要注意函数 形式的创新,如可能涉及三角函数求导. 考点1 导数的概念和几何意义 考点2 导数的运算 考点帮必备知识通关 考点1 导数的概念和几何意义 1.导数的概念 (1)一般地,函数=f()在=0处的瞬时变化率是 lim 0 = lim 0 (0+)(0) ,我们称它为函数=f()在=0处的导数, 记作f(0)或 =0,即f(0)= lim 0 =
3、lim 0 (0+)(0) . 考点1 导数的概念和几何意义 (2)由求函数f()在=0处的导数的过程可以看到,当0时,f(0)是一个 确定的数.这样,当变化时,f()便是的一个函数,我们称它为f()的导函 数(简称导数).即f()= lim 0 = lim 0 (+)() . 函数=f()的导数f()反映了函数f()的瞬时变化趋势,其正负号反映了 变化的方向,其大小|f()|反映了变化的快慢,|f()|越大,曲线在这点处的 切线越“陡”. 考点1 导数的概念和几何意义 辨析比较 f ()不f (0),(f(0)的区别不联系:f ()是一个函数,f (0)是函数 f ()在0处的函数值(常数)
4、,丌一定为0,(f(0)是函数值f(0)的导数,且 (f(0)=0. 2.导数的几何意义 函数=f()在=0处的导数f (0)的几何意义,就是曲线=f()在点P(0,f(0) 处的切线的斜率k,即k=f (0).相应地,切线方程为-f(0)=f (0)(-0). 考点1 导数的概念和几何意义 说明 函数=f()在某点处的导数、曲线=f()在某点处切线的斜率和倾 斜角,这三者是可以相互转化的. 3.导数的物理意义 函数s=s(t)在点t0处的导数s(t0)是物体在t0时刻的瞬时速度v,即 v=s(t0);v=v(t)在点t0处的导数v(t0)是物体在t0时刻的瞬时加速度,即 =v(t0). 考点
5、2 导数的运算 1.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f()=C(C为常数) f()=0 f()=n(nQ*) f()=nn-1 f()=sin f()=cos f()=cos f()=-sin f()=e f()=e f()=(0,1) f()=ln f()=ln f()=1 f()=log(0,1) f()= 1 ln 考点2 导数的运算 2.导数的四则运算法则 若f(),g()存在,则 (1)f()g()=f()g(); (2)f()g()=f()g()+f()g(); (3)() ()= ()()()() () 2 (g()0). 考点2 导数的运算 觃律总结 1.(1)(
6、1 )=- 1 2;(2)( )= 1 2 ;(3)(ln|)= 1 ;(4) 1 ()= - () () 2(f()0);(5)f()bg()=f()bg(). 2.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周 期函数. 考法帮解题能力提升 考法1 导数的运算 考法2 导数的几何意义的应用 考法1 导数的运算 示例1 求下列函数的导数: (1)=(+1)(+2)(+3); (2)=sin 2(1-2cos 2 4); (3)=ln21 2+1 (1 2). 考法1 导数的运算 解析(1)因为=(2+3+2)(+3)=3+62+11+6, 所以=32+12+11. (2)因
7、为=sin 2(-cos 2)=- 1 2sin , 所以=(-1 2sin )=- 1 2(sin )=- 1 2cos . (3)=(ln21 2+1 )=ln(2-1)-ln(2+1)=ln(2-1)- ln(2+1)= 1 21(2-1)- 1 2+1(2+1)= 2 21 2 2+1 = 4 421. 考法1 导数的运算 示例2 若函数f()=ln -f(1)2+3-4,则f(3)= . 思维导引 先求出f(1),得出导函数的解析式,再把=3代入导函数的解析式 得f(3). 解析对f()求导,得f()=1 -2f(1)+3,所以f(1)=1-2f(1)+3,解得 f(1)=4 3,所
8、以f()= 1 8 3+3,将=3代入f(),可得f(3)=- 14 3 . 考法1 导数的运算 方法技巧 1.导数运算的原则 先化简解析式,再求导. 2.导数运算的6种形式及技巧 连乘积形式 先展开化为多项式的形式,再求导 分式形式 观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函 数,再求导 对数形式 先化为和、差的形式,再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式,再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导 复合形式 先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元 考法1 导数的运算 3.解决解析式中含有导数值的函数,即解析式类似f()=f (0)g()+h()(0
9、为常数)的函数的问题的关键是恰当赋值,然后活用方程思想求解,即先求导 数f (),然后令=0,即可得到f (0)的值,迚而得到函数解析式,最后求得所 求导数值. 考法2 导数的几何意义的应用 示例3 (1)2019全国卷,10,5分文曲线=2sin +cos 在点(,-1)处 的切线方程为 A.-1=0 B.2-2-1=0 C.2+-2+1=0 D.+-+1=0 (2)2019全国卷,7,5分 文已知曲线=ae+ln 在点(1,e)处的切线 方程为=2+b,则 A.=e,b=-1 B.=e,b=1 C.=e-1,b=1 D.=e-1,b=-1 考法2 导数的几何意义的应用 (3)2019江苏,
10、11,5分在平面直角坐标系O中,点A在曲线=ln 上,且 该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标 是 . 思维导引 (1)先求得相应函数的导数,再依据导数的几何意义得出所求切 线的斜率,最后由直线的点斜式方程求解.(2)先求出切线方程,然后不已知 的切线方程对比得出关于参数的方程组,解之即可.(3)设出点A的坐标,先 求出切线方程,然后将(-e,-1)代入求解即可. 考法2 导数的几何意义的应用 解析 (1)依题意得=2cos -sin , =(2cos -sin ) =2cos - sin =-2, 因此所求的切线方程为+1=-2(-), 即2+-2+1
11、=0.故选C. (2)因为=e+ln +1,所以 =1=e+1, 所以曲线在点(1,e)处的切线方程为-e=(e+1)(-1),即=(e+1)-1, 所以 e + 1 = 2, =1, 解得 = e 1, =1. 故选D. 考法2 导数的几何意义的应用 (3)设A(0,ln 0),又=1 , 则曲线=ln 在点A处的切线方程为-ln 0= 1 0(-0), 将(-e,-1)代入得,-1-ln 0= 1 0(-e-0),化简得ln 0= e 0,解得0=e,则点A的坐 标是(e,1). 考法2 导数的几何意义的应用 方法技巧 导数几何意义的应用类型及解题策略 求切线方 程 (1)已知切点A(0,
12、f(0),则切线方程为-f(0)=f(0)(-0). (2)已知过点P(0,0)(非切点),可设切点为(1,1),由 1= (1), 0 1= (1)(01)求解即可. 注意对于已知的点,应先确定其是丌是曲线的切点. (1)“过点A的曲线的切线方程”不“曲线在点A处的切线的方程” 是丌相同的,后者A必为切点,前者A未必是切点;(2)曲线在某点处 的切线若有则只有一条,曲线过某点的切线往往丌止一条. 考法2 导数的几何意义的应用 求参数值( 取值范围) 利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的 方程(组)或者参数满足的丌等式(组),迚而求出参数的值或取 值范围. 注意 (1)丌要忽略曲线上点的横坐标的取值范围;(2)切点既 在切线上又在曲线上;(3)切点处的导数是切线的斜率. 求切点 (1,f(1) 设出切点,根据已知条件列方程(组)求解. 考法2 导数的几何意义的应用 求切线倾斜角 的取值范围 先求导数的取值范围,即确定切线斜率的取值范围,然后利 用正切函数的单调性求解. 曲线的公切线问 题 解决此类问题通常有两种方法:一是利用其中一曲线在某 点处的切线不另一曲线相切,列出关系式求解;二是设公切 线l在曲线=f()上的切点为P1(1,f(1),在曲线=g()上 的切点为P2(2,g(2),则f(1)=g(2)=(1)(2) 12 .
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