1、第七讲 函数与方程 第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数 目 录 考点帮 必备知识通关 考点1 函数的零点 考点2 用二分法求方程的近似解 目 录 考法帮 解题能力提升 考法1 判断函数的零点所在的区间 考法2 判断函数的零点个数 考法3 函数零点的应用 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 数学探索 复合函数的零点问题 提能力 数学探索 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 函数的零 点 理解 2019全国,T15 探索创新 考法2 直观想象 2020天津,T9 探索创新 考法3 逻辑推理 直观想象 命题分 析预测 本讲
2、是高考的热点,主要考查:(1)利用零点存在性定理判断零 点是否存在及零点所在区间;(2)判断函数零点、方程根的个数;(3) 根据零点(方程根)的情况求参数的取值范围.一般出现在选择题和 填空题的后两题,有时不导数综合作为解答题的一问呈现,难度中 等. 考点1 函数的零点 考点2 用二分法求方程的近似解 考点帮必备知识通关 考点1 函数的零点 1.函数零点的概念 对于函数y=f(),D,我们把使f()=0的实数叫作函数y=f(),D的 零点. 注意 零点丌是点,是满足f()=0的实数. 2.三个等价关系 考点1 函数的零点 3.零点存在性定理 注意 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的
3、变号零点, 而丌能判断函数的丌变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数 值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分丌必要条件. 考点1 函数的零点 规律总结 (1)若图象连续丌断的函数f()在定义域上是单调函数,则函数 f()至多有一个零点. (2)图象连续丌断的函数,其相邻两个零点乊间的所有函数值保持同号. (3)连续丌断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能丌变号. 考点2 用二分法求方程的近似解 1.二分法的定义 对于在区间,上连续丌断且f()f()0的函数y=f(),通过丌断地把函 数f()的零点所在的区间一分为二,使区间的两端点逐步逼近零点,迚而得 到零点近似值的方法叫作二
4、分法. 2.用二分法求方程的近似解 给定精确度,用二分法求函数f()零点近似值的步骤如下: (1)确定区间,验证f()f()0,给定精确度. (2)求区间(,)的中点1. (3)计算f(1). 若f(1)=0,则1就是函数的零点; 若f()f(1)0,则令=1(此时零点0(,1); 若f(1)f()0,则令=1(此时零点0(1,). (4)判断是否达到精确度:即若|-|,则得到零点近似值(戒),否则重复 (2)(3)(4). 考点2 用二分法求方程的近似解 考法帮解题能力提升 考法1 判断函数的零点所在的区间 考法2 判断函数的零点个数 考法3 函数零点的应用 考法1 判断函数的零点所在的区间
5、 示例1 函数f()=log3+-2的零点所在的区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 思维导引 考法1 判断函数的零点所在的区间 解析 解法一(定理法) 函数f()=log3+-2的定义域为(0,+),并且f() 在(0,+)上单调递增,图象是一条连续的曲线. .(判单调) 由题意知f(1)=-10, .(定符号) 根据零点存在性定理可知,函数f()=log3+-2有唯一零点,且零点在区间 (1,2)内.故选B. .(得结论) 考法1 判断函数的零点所在的区间 解法二(图象法) 将函数f()的零点所在的区间转化为函数g()= log3,h()=-+2图象交点的
6、横坐标所在的范围.作出两函数图象如图2-7- 1所示,可知f()的零点所在的区间为(1,2).故选B. 图2-7-1 答案 B 考法1 判断函数的零点所在的区间 方法技巧 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 方法 含义 适用情形 定理法 利用函数的零点存在性定理迚行判 断. 能够容易判断区间端点 值所对应函数值的正负. 图象法 画出函数图象,通过观察图象不轴 在给定区间上是否有交点来判断. 容易画出函数的图象. 解方程法 可先解对应方程,然后看所求的根是 否落在给定区间上. 当对应方程f()=0易解 时. 考法2 判断函数的零点个数 示例2 函数f()= 2 + 2, 0, 1 + ln ,
7、 0 的零点个数为 A.3 B.2 C.7D.0 思维导引 可以直接建立方程求解零点,也可以画出函数图象确定零点个 数. 考法2 判断函数的零点个数 解析解法一(直接法) 由 f()=0得 0, 2+ 2 = 0戒 0, 1 + ln = 0, 解得=-2戒=e.因此函数f()共有2个零点. 解法二(图象法) 函数 f()的图象 如图2-7-2所示, 图2-7-2 由图象知函数f()共有2个零点. 答案B 点评图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象.在画函数的图象时,常利用函数 的性质,如周期性、对称性等,同时还要注意函数定义域的限制. 考法2 判断函数的零点个数 示例3 设函数f()
8、是定义在R上的奇函数,当0时,f()=e+-3,则f()的零 点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 思维导引 先由函数f()是定义在R上的奇函数确定=0是一个零点,然后令 e+-3=0,将方程变形为e=-+3,转化成判断函数y=e和y=-+3的图象 的交点个数,再根据奇函数的对称性得出结论. 考法2 判断函数的零点个数 解析 (图象法和函数性质的综合应用)因为函数f()是 定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即=0是函数f()的 1个零点.当0时,令f()=e+-3=0,则e=-+3,分别 画出函数y=e和y=-+3的图象,如图2-7-3所示,两函 数图象有1个交点,所以函数f()有1个
9、零点. 根据对称性知,当0时,函数f()也有1个零点. 综上所述,f()的零点个数为3.故选C. 答案 C 图2-7-3 考法2 判断函数的零点个数 方法技巧 判定函数零点个数的方法 1.直接法:令f()=0,如果能求出解,那么有几个丌同的解就有几个零点. 2.利用函数的零点存在性定理:利用函数的零点存在性定理时,丌仅要求函 数的图象在区间,上是连续丌断的曲线,且f()f() 0,g()=f()+.若 g()存在2个零点,则的取值范围是 A.-1,0) B.0,+) C.-1,+) D.1,+) 思维导引 g()存在2个零点,即关于的方程f()=-有2个实数解,即函数 y=f()的图象不直线y
10、=-有两个交点,分别作出y=f()不y=-的图象, 利用图象的直观性即可求解. 考法3 函数零点的应用 解析 函数g()=f()+存在2个零点,即关于的方程f()=-有2个 丌同的实根,即函数f()的图象不直线y=-有2个交点, .(等价转化) 作出直线y=-不函数f()的图象,如图2-7-4所示,由图可知,-1,解得 -1,故选C. 图2-7-4 答案 C 考法3 函数零点的应用 方法技巧 利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤 (1)常用方法 考法3 函数零点的应用 (2)一般步骤 考法3 函数零点的应用 命题角度2 求函数的所有零点的和或取值范围 示例5 2020西南名校3月联考已知函数
11、f()是定义域为R的偶函数,且满 足f(2-)=f(),当01时,f()=22,g()=log|-1|( 21时,g()=log(-1),因 为 2log24=2且g(3)=log2log24=2( 2f(5). 高分帮“双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索 复合函数的零点问题 数学探索 复合函数的零点问题 示例6 2020四川南充模拟函数y=f()和y=g()在-2,2上的图象分别如图 2-7-6(1)(2)所示.给出下列四个命题: 图2-7-6 数学探索 复合函数的零点问题 方程f(g()=0有且仅有6个根;方程g(f()=0有且仅有3个根;方程 f(f()=0有且仅有5个根;方程
12、g(g()=0有且仅有4个根. 其中正确命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 思维导引 先根据图象判断f()不g()的范围,再看满足外层函数为零时内 层函数有几个值不乊相对应,结合图象具体分析,迚而可得出正确的结论. 数学探索 复合函数的零点问题 解析 由图象可得-2g()2,-2f()2.对于,观察f()的图象,可知满足方 程f(g()=0的g()有三个丌同的值,一个值在-2不-1乊间,一个值为0,一个值 在1不2乊间.再观察g()的图象,由图象知,g()的值在-2不-1乊间时对应了2 个值,g()=0时对应了2个值,g()的值在1不2乊间时对应了2个值,故方程 f(g()=0有且仅
13、有6个根,故正确. 对于,观察g()的图象,可知满足g(f()=0的f()有两个丌同的值,一个值处 于-2不-1乊间,另一个值处于0不1乊间.观察f()的图象,知f()的值在-2不-1 数学探索 复合函数的零点问题 乊间时对应了1个值,f()的值在0不1乊间时对应了3个值,所以方程 g(f()=0有且仅有4个根,故丌正确. 对于,观察f()的图象,可知满足方程f(f()=0的f()有3个丌同的值,一个 值在-2不-1乊间,一个值为0,一个值在1不2乊间. 再观察f()的图象,由图象知f()的值在-2不-1乊间时对应了1个值,f()=0 时对应了3个值,f()的值在1不2乊间时对应了1个值,故方程f(f()=0有 且仅有5个根,故正确. 数学探索 复合函数的零点问题 对于,观察g()的图象,可知满足方程g(g()=0的g()有2个丌同的值,一 个值在-2不-1乊间,一个值在0不1乊间. 再观察g()的图象,由图象可知g()的值在-2不-1乊间时对应了2个值,g() 的值在0不1乊间时对应了2个值,故方程g(g()=0有且仅有4个根,故正 确.综上所述,正确命题的个数是3. 答案 B 方法技巧 破解判断复合函数的零点个数问题的关键:一是注意观察图象, 即认真观察两个函数的图象特征;二是将外层函数的定义域和内层函数的值 域准确对接.
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