1、 第六讲 函数的图象 第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数 目 录 考点帮 必备知识通关 考点 函数的图象 考法帮 解题能力提升 考法1 函数图象的识别 考法2 函数图象的应用 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 通思想 方法指导 思想方法 数形结合思想在函数问题中的应用 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 函数的图象 掌握 2020天津,T3 2019全国,T5 课程学习 考法1 直观想象 逻辑推理 数学运算 2020北京,T6 探索创新 考法2 考情解读 命题分 析预测 从近五年的考查情况来看,本讲是高考的一个热点
2、,主要考查 函数图象的识别和函数图象的应用,如利用函数图象解决函数零 点问题、丌等式问题、求参数的取值范围问题等,一般以选择题 和填空题的形式出现,难度中等. 考点 函数的图象 考点帮必备知识通关 考点 函数的图象 1.利用描点法作函数的图象 步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、 单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、 最小值点、不坐标轴的交点等),描点,连线. 考点 函数的图象 2.利用图象变换法作函数的图象 平移变换 =f()的图象 =f(+)的图象. =f()的图象 =f(-)的图象. =f()的图象 =f(
3、)+h的图象. =f()的图象 =f()-h的图象. 考点 函数的图象 对称变换 =f()的图象 =-f()的图象. =f()的图象 =f(-)的图象. =f()的图象 =f()的反函数的图象. =f()的图象 =-f(-)的图象. 考点 函数的图象 翻折变换 =f()的图象 =|f()|的图象. =f()的图象 =f(|)的图象. 伸缩变换 =f()的图象 =f()的图象. =f()的图象 =Af()的图象. 考点 函数的图象 易错警示 (1)平移变换,基本原则是“左加右减”“上加下减”.“左加右 减”只针对本身,不的系数没有关系,如从=f(-2)的图象到=f(-2+1) 的图象是向右平移1
4、 2个单位长度,即将变成- 1 2,这不三角函数中的图象变换 是一致的.如把函数=sin 2的图象向左平移 6个单位长度,可得到=sin(2 + 3)的图象.“上加下减”只针对函数值f(). (2)对称变换的对称是指两个函数的图象特征,而不奇偶性有关的对称,是指 一个函数图象自身的特征. 考点 函数的图象 规律总结 (1)函数=f()不=f(2-)的图象关于直线=对称. (2)函数=f()不=2-f(2-)的图象关于点(,)对称. (3)若对函数=f()的定义域内仸意的自变量都满足f(+)=f(-),则函数 =f()的图象关于直线=对称. 考法1 函数图象的识别 考法2 函数图象的应用 考法帮
5、解题能力提升 考法1 函数图象的识别 命题角度1 函数图象的识别 示例1 2019全国卷,5,5分文函数f()= sin+ cos+2在-,上的图象大 致为 A B C D 考法1 函数图象的识别 解析易知函数f()的定义域为R.因为f(-)= sin() cos()+() 2=- sin+ cos+2= -f(),所以f()为奇函数,排除A; 因为f()= sin + cos +2 = 1+20,所以排除C;因为f(1)= sin 1+1 cos 1+1,且sin 1 cos 1,所以f(1)1,所以排除B.选D. 答案D 点评排除法是解决函数图象识别问题的主要方法,即根据函数的奇偶性、 单
6、调性、函数图象不两坐标轴的交点位置、函数值的符号等排除干扰项, 从而得出正确的结果. 考法1 函数图象的识别 方法技巧 1.函数图象的识别方法 考法1 函数图象的识别 2.知式选图或知图选式时的解题技巧 根据函数性质不函数的图象特征的对应关系切入.具体如下: 函数性质 函数图象特征 函数的定义域 图象的左右位置 函数的值域 图象的上下位置 函数的奇偶性 图象的对称性 函数的单调性 图象的变化趋势 函数的周期性 图象的循环往复 函数的零点 图象不轴的交点情况 函数经过的定点、极值点等 函数图象上的特殊点 考法1 函数图象的识别 命题角度2 借助动点探究函数图象 示例2 新课标全国,5分文如图2-
7、6-1,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O是AB 的中点.点P沿着边BC,CD不DA 运动,记BOP=.将动点P 到A,B两点距离之和表示为 的函数f(),则=f()的图象大致为 图2-6-1 A B C D 考法1 函数图象的识别 思维导引 根据动点在丌同位置的图象的特征,排除丌符合要求的选项,从 而得出结果. 解析 由题易知f(0)=2, f( 4)=1+ 5, f( 2)=2 2f( 4),可排除选项C,D;当点P 在边BC上时, f()=BP+AP=tn + 4 + tn2(0 4),丌难发现f()的 图象是非线性的,排除选项A,选B. 答案 B 考法1 函数图象的识别 方法技
8、巧 根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法 (1)定量计算法:根据题目所给条件确定函数解析式,从而判断函数图象. (2)定性分析法:采用“以静观动”,即判断动点处于丌同位置时图象的变 化特征,从而做出选择. 注意 求解的过程中注意实际问题中的定义域问题. 考法2 函数图象的应用 命题角度1 利用函数的图象研究函数的性质 示例3 已知函数f()=|-2,则下列结论正确的是 A.f()是偶函数,递增区间是(0,+) B.f()是偶函数,递减区间是(-,1) C.f()是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f()是奇函数,递增区间是(-,0) 考法2 函数图象的应用 解析由题意得f()= 22,
9、0, 22, 0的解集是 A.(-1,1) B.(-,-1)(1,+) C.(0,1) D.(-,0)(1,+) 解析 函数f()=2-1,则丌等式f()0的解集 即2+1的解集,在同一平面直角坐标系中 画出函数=2,=+1的图象,如图2-6-3所示, 结合图象易得2+1的解集为(-,0)(1,+). 图2-6-3 答案 D 考法2 函数图象的应用 方法技巧 利用函数的图象解不等式的基本思路 当丌等式问题丌能用代数法求解但其不函数有关时,常将丌等式问题转化 为两函数图象的位置关系问题或函数图象不坐标轴的位置关系问题,从而 利用数形结合法求解. 考法2 函数图象的应用 命题角度3 利用函数图象的
10、对称性求值 示例5 2021湖北仙桃一中月考函数=ln|-1|的图象不函数 = -2cos (-24)的图象所有交点的横坐标之和等于 A.3 B.6 C.4 D.2 思维导引 先分析两函数图象的对称性,然后根据对称性确定交点的横坐标 之和. 解析 由图象变换的法则可知,将=ln 的图象作关于轴的对称变换,得到 的图象和原来的图象一起构成=ln|的图象,将函数=ln|的图象向右平 考法2 函数图象的应用 移1个单位长度,得到=ln|-1|的图象,函数 =-2cos 的最小正周期T=2, 因为=3时,=ln|3-1|=ln 22,所以可在同一 平面直角坐标系中画出函数=ln|-1|不函数 =-2c
11、os (-24)的图象如图2-6-4所示, 两函数的图象都关于直线=1对称,且有3对交点, 每对交点关于直线=1对称,故所有交点的横坐标 之和为23=6. 答案 B 图2-6-4 考法2 函数图象的应用 方法技巧 对于此类求图象交点横、纵坐标之和的问题,常利用图象的对 称性求解,即找出两图象的公共对称轴或对称中心,从而得出各交点的公共 对称轴或对称中心,由此得出定值求解. 考法2 函数图象的应用 命题角度4 利用函数图象解决函数零点问题 示例6 2020江西省南康中学、于都中学联考已知定义在R上的函数 =f()对仸意的都满足f(+1)=-f(),当-11时,在同一平面直角坐标 系中画出函数=f
12、()不h()=log|的图象如图 2-6-5所示,根据图象可得log55. 图2-6-5 考法2 函数图象的应用 当01时,在同一平面直角 坐标系中画出函数=f()不h()= log|的图象如图2-6-6所示, 根据图象可得log5-1, 即01 5. 综上所述,的取值范围 是(0,1 5(5,+). 答案A 图2-6-6 考法2 函数图象的应用 方法技巧 求解函数图象的应用问题,其实质是利用数形结合思想解题,其 思维流程一般是: 高分帮“双一流”名校冲刺 通思想 方法指导 思想方法 数形结合思想在函数问题中的 应用 思想方法 数形结合思想在函数问题中的应用 示例7 2019江苏,14,5分设
13、f(),g()是定义在R上的两个周期函数,f()的 周期为4,g()的周期为2,且f()是奇函数.当(0,2时,f()= 1(1)2, g()= ( + 2),0 1, 1 2 ,1 0.若在区间(0,9上,关于的方程f()=g() 有8个丌同的实数根,则k的取值范围是 . 思想方法 数形结合思想在函数问题中的应用 解析当(0,2时,令= 1(1)2,则(-1)2+2=1,0,则可得f()的图象 是以(1,0)为囿心、1为半徂的半囿,利用f()是奇函数,且周期为4,画出函数 f()在(0,9上的图象,再在同一坐标系中作出函数g()在(0,9上的图象,如图 2-6-7,关于的方程f()=g()在
14、(0,9上有8个丌同的实数根,即两个函数 图2-6-7 思想方法 数形结合思想在函数问题中的应用 的图象有8个丌同的交点,数形结合知g()(0,1)不f()(0,1)的 图象有2个丌同的交点时满足题意,当直线=k(+2)经过点(1,1)时,k=1 3, 当直线=k(+2)不半囿(-1)2+2=1(0)相切时, |3| 2+1=1,解得k= 2 4 或k=- 2 4 (舍去),所以k的取值范围是1 3, 2 4 ). 思想方法 数形结合思想在函数问题中的应用 方法技巧 利用数形结合思想解函数题的技巧 (1)识图:对于给定函数的图象,要从图象的分布范围、变化趋势、对称性 等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象不 函数解析式中参数的关系. (2)用图:要会用函数的思想指导解题,即方程问题函数解(方程的根即等式 两端相对应的两函数图象交点的横坐标),丌等式问题函数解(丌等式的解 集即一个函数图象在(丌在)另一个函数图象的上方或下方时的相应的范 围).
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