1、 第四讲 指数与指数函数 第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数 目 录 考点帮 必备知识通关 考点1 指数不指数运算 考点2 指数函数的图象不性质 目 录 考法帮 解题能力提升 考法1 指数幂的运算 考法2 指数函数的图象及应用 考法3 指数函数的性质及应用 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 明易错 误区警示 易错 忽略对底数的分类讨论而出错 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.指数不指 数运算 掌握 2020全国,T4 生活实 践 考法1 数学运算 逻辑推理 2.指数函数 的图象不性 质 掌握 2019浙江,T
2、6 课程学习 考法2 直观想象 逻辑推理 2017北京,T5 课程学习 考法3 考情解读 命题分 析预测 本讲在高考中的考查热点有:(1)比较指数式的大小;(2)指数函 数的图象不性质的应用;(3)以指数函数为载体,不其他函数、方程、 丌等式等知识的综合应用.题型以选择题和填空题为主,难度丌大. 考点1 指数不指数运算 考点2 指数函数的图象不性质 考点帮必备知识通关 考点1 指数与指数运算 1.根式的性质 (1)( )=(使 有意义). (2)当是奇数时, =;当是偶数时, =|= , 0, , 0,m,N*,且1). (2) = 1 = 1 (0,m,N*,且1). (3)0的正分数指数幂
3、等于0,0的负分数指数幂没有意义. 考点1 指数与指数运算 3.有理数指数幂的运算性质 (1)rs=r+s(0,r,sQ); (2) = r-s(0,r,sQ); (3)(r)s=rs(0,r,sQ); (4)()r=rr(0,0,rQ). 说明有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂. 考点2 指数函数的图象与性质 1.指数函数的概念 函数y=(0且1)叫作指数函数,其中指数是自变量,函数的定义域是R, 是底数. 辨析比较 幂函数与指数函数的区别 式子 名称 常数 y 指数函数y= 为底数,0且1. 指数 幂值 幂函数y= 为指数,R. 底数 幂值 考点2 指数函数的图象与性质 函数 y=
4、(1) y=(00时,恒有y1; 当0时,恒有0y0时,恒有0y1; 当1. 函数在定义域R上为增函数. 函数在定义域R上为减函数. 2.指数函数的图象和性质 考点2 指数函数的图象与性质 注意(1)当指数函数的底数的大小丌确定时,需分1和01时,指数函数的图象呈上升趋势; 当01时,指数函数的图象呈下降趋势. (3)指数函数在同一平面直角坐标系中的 图象的相对位置不底数的大小关系 如图2- 4-1所示,其中0cd10,0); (3)若 1 2+ 1 2=3,求 3 2: 3 23 2:22的值. 考法1 指数幂的运算 解析(1)原式=(-1) 2 3(33 8) 2 3+( 1 500) 1
5、 2- 10 52+1 =(27 8 ) 2 3+500 1 2-10( 5+2)+1 =4 9+10 5-10 5-20+1 =-167 9 . (2)原式=( 321 3 2 3) 1 2 2 1 3 1 3 = 3 2: 1 61: 1 31: 1 32 1 3=ab-1. 考法1 指数幂的运算 （3）由 1 2+ 1 2=3,两边平方,得x+x-1=7, x2+x-2=47.x2+x-2-2=45. 由( 1 2+ 1 2)3=33,得 3 2+3 1 2+3 1 2+ 3 2=27. 3 2+ 3 2=18, 3 2+ 3 2-3=15. 3 2: 3 23 2:22= 1 3. 考
6、法1 指数幂的运算 方法技巧 指数幂的运算技巧 运算 顺序 有括号先算括号内的;无括号先进行指数的乘方、开方,再 乘除,最后加减;底数是负数的先确定符号. 运算基 本原则 化负指数为正指数;化根式为分数指数幂;化小数为分数; 化带分数为假分数. 觃律总结 (1)1的代换,如1=-1,1= 1 2 1 2等; (2)乘法公式的常见变形,如( 1 2+ 1 2)( 1 2- 1 2)=-, ( 1 2 1 2)2=2 1 2 1 2+,( 1 3 1 3)( 2 3 1 3 1 3+ 2 3)=. 考法2 指数函数的图象及应用 示例2 (1)已知函数y=k+的图象如图2-4-2所示,则函数y =+
7、k的图象 可能是 图2-4-2 (2)若曲线|y|=2+1不直线y=没有公共点,则的取值范围是 . 考法2 指数函数的图象及应用 思维导引 考法2 指数函数的图象及应用 解析 (1)由函数y=k+的图象可得k0,0-1,所以-1k0.函数y=+k的图象可以看成是把 y=的图象向右平移-k个单位长度得到的,且函数y=+k是减函数,故此函 数的图象不y轴交点的纵坐标大于1,结合所给的选项,选B. (2)曲线|y|=2+1不直线y=的图象 如图2-4-3所示,由图象可得:如果 曲线|y|=2+1不直线y=没有公 共点,则应满足的条件是-1,1. 图2-4-3 考法2 指数函数的图象及应用 方法技巧
8、与指数函数有关的图象问题的求解方法 数形 结合 已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图 象是否过这些点,若丌满足则排除. 变换 作图 对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的 图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到. 注意 当底数不1的大小关系丌确定时应分类讨论. 考法3 指数函数的性质及应用 命题角度1 比较大小 示例3 2016全国卷,7,5分文已知a=2 4 3,b=3 2 3,c=25 1 3,则 A.bacB.abcC.bcaD.ca3 2 3=b,c=25 1 3=5 2 34 2 3=a,所以ba0), 求导得y=(ln )=1ln 2 ,故当
9、(0,e)时,y0,函数y=ln 单调递增;当 (e,+)时,yln 9 9 ,即8998. 考法3 指数函数的性质及应用 方法技巧 比较指数幂大小的常用方法 单调 性法 丌同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大 小,所以能够化同底的尽可能化同底. 取中间 值法 丌同底、丌同指数的指数函数比较大小时,先不中间值(特别是1) 比较大小,然后得出大小关系. 图解法 根据指数函数的特征,在同一平面直角坐标系中作出它们的函数 图象,借助图象比较大小. 考法3 指数函数的性质及应用 命题角度2 指数函数性质的综合问题 示例4 (1)2017北京,5,5分文已知函数f()=3-(1 3)
10、,则f() A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 (2)若丌等式1+2+40在(-,1时恒成立,则实数的取值范围 为 . 考法3 指数函数的性质及应用 解析 （1)因为f()=3-(1 3) ,且定义域为R,所以f(-)=3-(1 3) -=(1 3) -3=-3- (1 3) =-f(),即函数f()是奇函数.又y=3在R上是增函数,y=(1 3) 在R上是减函 数,所以f()=3-(1 3) 在R上是增函数.故选A. (2) 从已知丌等式中分离出实数,得-(1 4) +(1 2) .因为y=(1 4)
11、 ,y=(1 2) 均为减 函数,所以y=-(1 4) +(1 2) 为增函数.所以当1时,-(1 4) +(1 2) -3 4.所以实数 的取值范围为(-3 4,+). 考法3 指数函数的性质及应用 命题角度3 与指数函数有关的复合函数问题 示例5 已知函数f()=(1 3) 24:3. (1)若=-1,则f()的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ; (2)若f()有最大值3,则的值为 ; (3)若f()的值域是(0,+),则的值为 . 考法3 指数函数的性质及应用 解析(1)当=-1时,f()=(1 3) 24:3, 令u=-2-4+3=-(+2)2+7, 则该函数在(-,-2)上单调递增
12、,在(-2,+)上单调递减. 而y=(1 3) u在R上单调递减, 所以函数f()在(-,-2)上单调递减,在(-2,+)上单调递增, 即函数f()的单调递增区间是(-2,+),单调递减区间是(-,-2). 考法3 指数函数的性质及应用 (2)令h()=2-4+3,则f()=(1 3) h(), 因为f()有最大值3, 所以h()有最小值-1, 因此必有 0, 1216 4 =1,解得=1,即当f()有最大值3时,的值为1. (3)令g()=2-4+3,由f()的值域是(0,+)知,g()=2-4+3的值域为 R,则必有=0. 考法3 指数函数的性质及应用 1.与指数函数有关的复合函数的定义域
13、、值域 (1)y=f()的定义域就是f()的定义域. (2)求y=f()和y=f()的值域的解法. 求形如y=f()的函数的值域,要先令u=f(),求出u=f()的值域,再结合y= u的单调性求出y=f()的值域.若的值丌确定,则需要对进行分类讨论:当 01时,y=u为增函数. 求形如y=f()的函数的值域,要先求出u=的值域,再结合y=f(u)的单调 性确定y=f()的值域. 考法3 指数函数的性质及应用 2.与指数函数有关的复合函数的单调性 形如y=f()的函数的单调性,它的单调区间不 f()的单调区间有关: 若1,则函数f()的单调增(减)区间即函数y =f()的单调增(减)区间;若0 0,且1),当0时,则函数的值域 为 . 错因分析 易忽略对底数的分类讨论而出错.(1)当1时,如果0,那么 1;(2)当01时,如果0,那么01时,0,t1,当1时,y2. 当01时,0,0t1.g(0)=-1,g(1)=2,当01时,-11时,函数的值域是2,+); 当01和0 1两种情况讨论.
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