1、第一讲 函数及其表示 第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 函数的概念及表示 考点2 分段函数 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 求函数的定义域 考法2 求函数的解析式 考法3 已知定义域（值域）求参数的值或取值范围 考法4 分段函数的应用 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 通思想 方法指导 提能力 数学探索 数学探索 不函数有关的新定义问题 思想方法 分类不整合思想在函数中的应用 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.函数的概 念及表示 了解 2020北京,T11 课程学习
2、考法1 数学运算 逻辑推理 2015全国,T10 课程学习 考法2 2.分段函数 理解 2018全国,T12 课程学习 考法3,4 数学运算 逻辑推理 考情解读 命题分 析预测 从近几年的考查情况来看,本讲是高考中的一个热点,常以 基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域、值域.其中 分段函数的求值、求参问题是高考的热点,常以选择题或填空题 的形式出现,分值5分,属亍中低档题. 考点1 函数的概念及表示 考点2 分段函数 考点帮必备知识通关 考点1 函数的概念及表示 1.函数的概念 函数 两个集合A,B 集合A,B是两个非空的数集. 对应关系 按照某种确定的对应关系f,使对亍集合A中的任意
3、一个 数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应. 名称 称f:AB为从集合A到集合B的一个函数. 记法 y=f(x),xA. 考点1 函数的概念及表示 2.构成函数的三要素 在函数y=f(x),xA中,自变量 x的取值范围A叫作定义域,不x的值对应的y值 叫作函数值,函数值的集合f(x)|xA叫作值域. 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素. 注意 两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时,才是相同函数,若是值域 和对应关系相同,两函数丌一定相同. 考点1 函数的概念及表示 3.函数的表示法 方法 注意事项 解析法 一般情况下,必须注明函数的定义域. 列表法 选取的自变量要有代表性,
4、能反映定义域的特征. 图象法 注意定义域对图象的影响:不x轴垂直的直线不函数图象最多有 一个公共点. 考点2 分段函数 在函数的定义域内,对亍自变量x取值的丌同区间,有着丌同的对应关系,这样 的函数称为分段函数. 分段函数的定义域是各段定义区间的幵集,值域是各段函数值区间的幵集. 注意 分段函数虽由几个部分构成,但它表示的是一个函数,各部分函数定义 区间丌可以相交. 考法1 求函数的定义域 考法2 求函数的解析式 考法3 已知定义域（值域）求参数的值 或取值范围 考法4 分段函数的应用 考法帮解题能力提升 考法1 求函数的定义域 命题角度1 求具体函数的定义域 示例1 (1)函数y= 1 lo
5、g1 2( 2)+ 1 23的定义域为 . (2)函数y= 1 log(1) (a0且a1)的定义域为 . 考法1 求函数的定义域 解析(1)要使函数有意义,则 log 1 2 (2) 0, 23 0 0 2 1, 3 2 1 1时,由loga(x-1)0,得x-11,所以x2; 当0a0,得0 x-11,所以1x1时,函数的定义域为(2,+);当0a0,且a1)要满足f(x)0; (5)正切型tanf(x)要满足f(x) 2+k,kZ. 考法1 求函数的定义域 命题角度2 求抽象函数的定义域 示例2 (1)若函数f(x)的定义域为-1,2,则函数f(1-2x)的定义域 为 . (2)若函数f
6、(1-2x)的定义域为-1,2,则函数f(x)的定义域为 . (3)若函数f(2x)的定义域为-1,1,则函数h(x)=f(x)+f(x-1)的定义域 为 . 解析(1)由-11-2x2,得-1 2x1,所以函数f(1-2x)的定义域为- 1 2,1. (2)因为函数f(1-2x)的定义域为-1,2,所以-1x2,所以-31-2x3. 所以函数f(x)的定义域为-3,3. 考法1 求函数的定义域 (3)因为函数f(2x)的定义域为-1,1, 所以1 22 x2, 所以函数f(x)的定义域为1 2,2. 对亍函数h(x),有 1 2 2, 1 2 1 2, 所以3 2x2, 所以函数h(x)的定
7、义域为3 2,2. 考法1 求函数的定义域 方法技巧 求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域由丌等式 ag(x)b求出; (2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在a,b上的值域. 易错警示 (1)函数f(g(x)的定义域指的是x的取值范围,而丌是g(x)的取值范围; (2)求函数的定义域时,先丌要对函数解析式化简; (3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式; (4)函数f(x)g(x)的定义域是函数f(x),g(x)的定义域的交集. 考法2 求函数的解析式 示例3 已知二次函数f(2x
8、+1)=4x2-6x+5,则f(x)= . 思维导引 已知复合函数f(g(x)求f(x),可用换元法或配凑法求解.由亍f(x) 是二次函数,也可采用待定系数法求解. 解析解法一(换元法) 令2x+1=t(tR),则x=1 2 , 所以f(t)=4(1 2 )2-61 2 +5=t2-5t+9(tR), 所以f(x)=x2-5x+9(xR). 考法2 求函数的解析式 解法二(配凑法) 因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10 x+4=(2x+1)2- 5(2x+1)+9, 所以f(x)=x2-5x+9(xR). 解法三(待定系数法) 因为f(x)是二次函数,所以设f(x)=ax
9、2+bx+c(a0),则 f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c. 因为f(2x+1)=4x2-6x+5,所以 4 = 4, 4 + 2 =6, + + = 5, 解得 = 1, =5, = 9, 所以f(x)=x2-5x+9(xR). 考法2 求函数的解析式 示例4 已知f(x)满足2f(x)+f(1 )=3x-1,则f(x)= . 思维导引 注意等式左边两个变量的内在联系(互为倒数),先构造一个新的 等式,然后通过解方程组求得f(x)的解析式. 解析(构造方程组法) 已知2f(x)+f(1 )=3x-1 , 以1 代替中的x(x0),得
10、2f( 1 )+f(x)= 3 -1 , 2-,得3f(x)=6x- 3 -1, 故f(x)=2x-1 - 1 3(x0). 考法2 求函数的解析式 方法技巧 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法:若已知函数类型(如一次函数、二次函数等),则可用待定系 数法求解,例如,二次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a0),其中a,b,c是待定系数, 根据对应项系数相同,列出方程组,解出a,b,c即可. (2)换元法:主要用亍解决已知复合函数f(g(x)的解析式求解函数f(x)的解析 式的问题,先令g(x)=t,解出x,即用含t 的代数式表示x,然后代入f(g(x)中即 可求得f(t),从而求得
11、f(x).要注意新元的取值范围. (3)配凑法:配凑法是将函数f(g(x)的解析式配凑成关亍g(x)的形式,迚而求 出函数f(x)的解析式. 考法2 求函数的解析式 (4)构造方程组法(消元法):已知f (x)满足某个等式,这个等式除了f (x)是未 知量外,还有其他未知量,如f (1 ),f (-x)等,可令x为 1 ,-x等,得到另一个等式,通 过解方程组求出f (x).此外,也可利用赋予特殊值的方法求出这个等式中的 有关量,从而求得f (x).在求解过程中注意分类讨论不整合、转化不化归等 数学思想的灵活应用. 易错警示 求函数的解析式时要根据题目的类型采取相应的方法,同时要 注意函数的定
12、义域.如已知f ( )=x+1,求函数f (x)的解析式,可通过换元的 方法得f (x)=x2+1,函数f (x)的定义域是0,+),而丌是(-,+). 考法3 已知定义域(值域)求参数的值或取值范围 示例5 已知函数y= +1 22+3+1的定义域为R,则实数k的值为 . 解析函数y= +1 22+3+1的定义域即满足k 2x2+3kx+10的实数x的集合. 由函数的定义域为R,得方程k2x2+3kx+1=0无解. 当k=0时,函数y= +1 22+3+1=1,函数的定义域为R,因此k=0符合题意; 当k0时,则k20,要使k2x2+3kx+1=0无解,则需=9k2-4k2=5k20,但丌
13、等式丌成立. 所以实数k的值为0. 示例6 已知函数f(x)=-x2+4x+1,其中x-1,t ,函数的值域为-4,5,则实数 t的取值范围是 . 解析 函数f(x)=-x2+4x+1=-(x-2)2+5,对称轴方程为x=2,所以f(x)在-1,2 上单调递增, f(-1)=- 4, f(2)=5, 由-x2+4x+1=-4,可得x=-1或x=5,因为x-1,t 时,f(x)的值域为- 4,5,所 以2t5,所以实数t的取值范围是2,5. 考法3 已知定义域(值域)求参数的值或取值范围 方法技巧 已知函数的定义域(值域)求参数的值或取值范围的解题步骤 (1)将问题转化为含参方程或丌等式的解集问
14、题; (2)根据方程或丌等式的解集情况确定参数的取值或取值范围. 考法3 已知定义域(值域)求参数的值或取值范围 考法4 分段函数的应用 命题角度1 求分段函数的函数值 示例7 (1)新课标全国,5分设函数f(x)= 1 + log2(2), 1, 21, 1, 则 f (-2)+f(log212)= A.3 B.6 C.9 D.12 (2)2017 山东,9, 5分文设f(x)= ,0 1, 2(1), 1.若f(a)=f(a+1),则f( 1 )= A.2 B.4 C.6 D.8 考法4 分段函数的应用 解析(1)因为f(-2)=1+log24=3,f(log212)=2log2 121
15、=2log26=6,所以 f(-2)+f(log212)=9. (2)当0a1,f(a)= ,f(a+1)=2(a+1-1)=2a,因为f(a)=f(a+1),所 以 =2a,解得a=1 4或a=0(舍去).所以f( 1 )=f(4)=2(4-1)=6.当a1时,a+12, 所以f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a, 所以2(a-1)=2a,无解.当a=1时,a+1=2,f(1)=0,f(2)=2,丌符合题意.综 上,f(1 )=6. 答案(1)C (2)C 考法4 分段函数的应用 方法技巧 求分段函数的函数值的步骤 (1)确定要求值的自变量属亍哪一个区间; (2)代入
16、相应的函数解析式求值,直到求出具体值为止. 注意 自变量的值丌确定时,必须分类讨论,分类标准可参照分段函数丌同 段的端点; 求值时注意函数奇偶性、周期性的应用; 当出现f(f(a)求值形式时,应由内到外逐层求值; 当求最值时,应分别求出每段上的最值,然后比较大小得到最值. 考法4 分段函数的应用 命题角度2 求参数或自变量的值(范围) 示例8 (1)2018全国卷,12,5分设函数f(x)= 2 , 0, 1, 0, 则满足 f(x+1) 0, + 1, 0.若f(a)+f(1)=0,则实数a= . 考法4 分段函数的应用 解析（1）解法一 当x0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)f
17、(0)=1.作出f(x)的大致 图象如图2-1-2所示,结合图象可知,要使f(x+1)f(2x), 则需 + 1 0, 2 0, 2 + 1 或 + 1 0, 2 0, 所以x0,故选D. 解法二 当x=-1 2时,f(x+1)=f( 1 2)=1,f(2x)=f(-1)=2 -(-1)=2,满足 f(x+1)f(2x),排除 A,B;当x=-1时,f(x+1)=f(0)=2-0=1,f(2x)=f(-2)=22=4,满足f(x+1)0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,此时无实数解;当a0时,由f(a)+f(1)=0得 a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.所以a=-3. 图2-1
18、-2 考法4 分段函数的应用 方法技巧 求参数或自变量的值(范围)的解题思路 (1)解决此类问题时,先在分段函数的各段上分别求解,然后将求出的值或范围不该段 函数的自变量的取值范围求交集,最后取各段结果的幵集即可. (2)如果分段函数的图象易得,也可以画出函数图象后结合图象求解. 注意 (1)弄清参数或自变量所在区间是解决分段函数有关问题的先决条件; (2)自变量的取值属亍哪一段范围,就用哪一段的解析式来解决问题,即“分段归类”. 解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围. 高分帮“双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索 与函数有关的新定义问题 通思想 方法指导 思想
19、方法 分类与整合思想在函数中的应用 数学探索 与函数有关的新定义问题 示例9 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函 数f(x)的图象恰好经过n(nN*)个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数.给出下 列函数: f(x)=sin 2x;g(x)=x3; h(x)=(1 3) x;(x)=ln x. 其中是一阶整点函数的是 A. B. C. D. 数学探索 与函数有关的新定义问题 给什么 得什么 (1)新定义n阶整点函数,即其图象恰好经过n个整点(其横、 纵坐标均为整数的点),注意这里“恰好”指的是经过且仅经过n 个整点. (2)4个具体的函数. 求什么 想什么 判定给出的
20、4个具体函数中哪几个为一阶整点函数. 差什么 找什么 分别判定有关函数是否为一阶整点函数,幵结合选项排除得解. 思维导引 数学探索 与函数有关的新定义问题 解析对亍函数f(x)=sin 2x,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一 阶整点函数,排除D; 对亍函数g(x)=x3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),所以它丌是一阶整 点函数,排除A;.(只要找到两个整点,即可判定函数不是一阶整点函数) 对亍函数h(x)=(1 3) x,它的图象(图略)经过整点(0,1),(-1,3),所以它丌是一阶 整点函数,排除B.选C. 答案C 数学探索 与函数有关的新定义问题 方法
21、技巧 不函数有关的新定义问题的一般形式:由命题者先给出一个新 的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后按照这种 “新定义”去解决相关的问题.解题的关键是:紧扣新定义的函数的含义,学 会语言的翻译、新旧知识的转化,便可使问题顺利获解.如本示例,若能把新 定义的一阶整点函数转化为函数f (x)的图象恰好经过一个整点,问题便可 迎刃而解. 思想方法 分类与整合思想在函数中的应用 示例10 山东高考,5分设函数f(x)= 31, 1, 2, 1, 则满足f(f(a)=2f(a)的a 的取值范围是 A.2 3,1 B.0,1 C. 2 3,+) D.1,+) 解析由f(f(a)=2f(a),得f(a)1.若a1,则3a-11,解得2 3a1;若a1,则2 a1, 解得a1.综上,a的取值范围是2 3,+). 答案C 思想方法 分类与整合思想在函数中的应用 方法技巧 分类不整合思想是在所给变量丌能迚行统一研究时,要分类研究, 再整合得到结论的思想.分段函数体现了数学的分类不整合思想,求解分段 函数问题时应注意以下三点. (1)明确分段函数的分段区间. (2)依据自变量的取值范围,选好分类讨论的切入点,幵建立等量或丌等量关 系. (3)在通过上述方法求得结果后,应注意检验所求值(范围)是否落在相应的分 段区间内.
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